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8.【情境题】“中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是
540°
。答案
8.540°
解析
【分析】
要计算正五边形的内角和，首先回忆多边形内角和的通用计算公式：多边形内角和仅和边数有关，计算公式为$(n-2)×180°$（$n$为多边形的边数）。正五边形属于五边形，边数$n=5$，直接代入公式即可算出结果。
【解析】
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，其中$n$为多边形的边数（$n≥3$且为整数）。
已知正五边形的边数$n=5$，代入公式计算：
$\begin{aligned}内角和&=(5-2)×180°\\&=3×180°\\&=540°\end{aligned}$
【答案】
$540°$
【知识点】
多边形内角和计算
【点评】
本题结合“中国天眼”的热点情境考查基础的几何计算，难度很低，只要熟练记住多边形内角和公式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要计算正五边形的内角和，首先回忆多边形内角和的通用计算公式：多边形内角和仅和边数有关，计算公式为$(n-2)×180°$（$n$为多边形的边数）。正五边形属于五边形，边数$n=5$，直接代入公式即可算出结果。
【解析】
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，其中$n$为多边形的边数（$n≥3$且为整数）。
已知正五边形的边数$n=5$，代入公式计算：
$\begin{aligned}内角和&=(5-2)×180°\\&=3×180°\\&=540°\end{aligned}$
【答案】
$540°$
【知识点】
多边形内角和计算
【点评】
本题结合“中国天眼”的热点情境考查基础的几何计算，难度很低，只要熟练记住多边形内角和公式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
9.若一个三角形的两边长分别为2 cm,7 cm,且第三边长为奇数,则这个三角形的周长是
16 cm
.答案
9.16 cm
解析
【分析】
首先要利用三角形三边关系确定第三边的取值范围：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。接着根据题目给出的“第三边长为奇数”的限定条件，筛选出符合要求的第三边长度，最后将三边长度相加即可得到三角形的周长。
【解析】
设该三角形的第三边长为$x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系可得：
$7 - 2 ＜ x ＜ 7 + 2$
即$5 ＜ x ＜ 9$。
已知第三边长为奇数，在$5 ＜ x ＜ 9$范围内的奇数只有$7$，因此第三边长为$7\ \mathrm{cm}$。
三角形的周长为三边长度之和，即：
$2 + 7 + 7 = 16\ \mathrm{cm}$
【答案】
16 cm
【知识点】
三角形三边关系；奇数的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先准确求出第三边的取值范围，再结合限定条件确定第三边的具体长度，计算过程较为简单，掌握三角形三边关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
首先要利用三角形三边关系确定第三边的取值范围：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。接着根据题目给出的“第三边长为奇数”的限定条件，筛选出符合要求的第三边长度，最后将三边长度相加即可得到三角形的周长。
【解析】
设该三角形的第三边长为$x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系可得：
$7 - 2 ＜ x ＜ 7 + 2$
即$5 ＜ x ＜ 9$。
已知第三边长为奇数，在$5 ＜ x ＜ 9$范围内的奇数只有$7$，因此第三边长为$7\ \mathrm{cm}$。
三角形的周长为三边长度之和，即：
$2 + 7 + 7 = 16\ \mathrm{cm}$
【答案】
16 cm
【知识点】
三角形三边关系；奇数的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先准确求出第三边的取值范围，再结合限定条件确定第三边的具体长度，计算过程较为简单，掌握三角形三边关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图，BD平分$∠ ABC$，$∠ 1=60°$，$∠ BDC=80°$，$∠ C=70°$，则$△ ABD$是
第10题图 第11题图 第12题图
直角
三角形.第10题图 第11题图 第12题图
答案
10.直角
解析
【分析】
要判断△ABD的形状，需要先求出其内角的度数。首先在△BDC中利用三角形内角和定理算出∠DBC的度数，再根据BD是角平分线的性质得到∠ABD的度数，最后在△ABD中用三角形内角和定理求出∠A的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°，计算∠DBC：
$∠ DBC = 180° - ∠ BDC - ∠ C = 180° - 80° - 70° = 30°$
2. 因为BD平分$∠ ABC$，根据角平分线的性质可得：
$∠ ABD = ∠ DBC = 30°$
3. 在△ABD中，已知$∠ 1=∠ ADB=60°$，再次利用三角形内角和为180°计算$∠ A$：
$∠ A = 180° - ∠ ADB - ∠ ABD = 180° - 60° - 30° = 90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此△ABD是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是熟练运用三角形内角和定理和角平分线的性质逐步推导未知角的度数，再根据角的特征判断三角形的类型，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断△ABD的形状，需要先求出其内角的度数。首先在△BDC中利用三角形内角和定理算出∠DBC的度数，再根据BD是角平分线的性质得到∠ABD的度数，最后在△ABD中用三角形内角和定理求出∠A的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°，计算∠DBC：
$∠ DBC = 180° - ∠ BDC - ∠ C = 180° - 80° - 70° = 30°$
2. 因为BD平分$∠ ABC$，根据角平分线的性质可得：
$∠ ABD = ∠ DBC = 30°$
3. 在△ABD中，已知$∠ 1=∠ ADB=60°$，再次利用三角形内角和为180°计算$∠ A$：
$∠ A = 180° - ∠ ADB - ∠ ABD = 180° - 60° - 30° = 90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此△ABD是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是熟练运用三角形内角和定理和角平分线的性质逐步推导未知角的度数，再根据角的特征判断三角形的类型，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
11.如图,六边形ABCDEF的各角都相等,若$m// n$,则$∠ 1+∠ 2=$
180
°.答案
11.180
解析
【分析】解题时先从已知条件入手：①六边形各角相等，可先利用多边形内角和公式计算出每个内角的度数，这是解题的基础；②已知$m// n$，求两个角的和，需结合平行线的性质，通过作辅助线将$∠1$和$∠2$转化为平行线关联的角，进而推导二者的和。具体思路：先用$(n-2)×180°$算出六边形内角和，得到每个内角为$120°$，再作辅助线平行于$m$，利用平行公理的推论得到辅助线也平行于$n$，结合等角六边形对边平行的性质，将$∠1$和$∠2$转化为同旁内角即可求解。
【解析】
解：1. 计算等角六边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，$n$边形内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，六边形的边数$n=6$，因此内角和为：
$(6-2)×180°=720°$
因为六边形$ABCDEF$各角相等，所以每个内角的度数为：
$720°÷6=120°$
2. 推导$∠1$与$∠2$的和：
过点$C$作直线$l// m$，已知$m// n$，根据平行公理的推论，可得$l// m// n$。
因为$l// m$，两直线平行内错角相等，所以$∠1=∠ DCl$。
由等角六边形每个内角为$120°$，可证得对边$AF// CD$，因此$∠ DCl=∠ AFl$（两直线平行，同位角相等）。
又因为$l// n$，两直线平行同旁内角互补，所以$∠ AFl + ∠2=180°$。
通过等量代换可得：$∠1 + ∠2=180°$。
【答案】
180
【知识点】
多边形内角和，平行线的性质
【点评】
本题是多边形与平行线的综合题，解题关键是先求出等角六边形的内角度数，再通过作辅助线将所求角转化为平行线中的相关角，考查了转化思想的应用，需要学生熟练掌握多边形内角和公式和平行线的性质。
【难度系数】
0.6
【解析】
解：1. 计算等角六边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，$n$边形内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，六边形的边数$n=6$，因此内角和为：
$(6-2)×180°=720°$
因为六边形$ABCDEF$各角相等，所以每个内角的度数为：
$720°÷6=120°$
2. 推导$∠1$与$∠2$的和：
过点$C$作直线$l// m$，已知$m// n$，根据平行公理的推论，可得$l// m// n$。
因为$l// m$，两直线平行内错角相等，所以$∠1=∠ DCl$。
由等角六边形每个内角为$120°$，可证得对边$AF// CD$，因此$∠ DCl=∠ AFl$（两直线平行，同位角相等）。
又因为$l// n$，两直线平行同旁内角互补，所以$∠ AFl + ∠2=180°$。
通过等量代换可得：$∠1 + ∠2=180°$。
【答案】
180
【知识点】
多边形内角和，平行线的性质
【点评】
本题是多边形与平行线的综合题，解题关键是先求出等角六边形的内角度数，再通过作辅助线将所求角转化为平行线中的相关角，考查了转化思想的应用，需要学生熟练掌握多边形内角和公式和平行线的性质。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$△ ABC$中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为
1
$\mathrm{cm}^2$。答案
12.1
解析
【分析】
本题已知三角形的多个中点，求阴影部分面积，解题核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（二者等底同高）。我们可以从面积已知的△ABC出发，逐层利用中线的性质，依次计算相关小三角形的面积，最终推导得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，AD是△ABC的中线
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
∵E是AD的中点，BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
∵F是CE的中点，BF是△BCE的中线
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的面积性质，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形中线面积性质的基础应用题型，多次运用中线平分三角形面积的规律逐步推导，解题的关键是准确对应每一条中线所属的三角形，理清各部分面积的比例关系。
【难度系数】
0.7
本题已知三角形的多个中点，求阴影部分面积，解题核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（二者等底同高）。我们可以从面积已知的△ABC出发，逐层利用中线的性质，依次计算相关小三角形的面积，最终推导得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，AD是△ABC的中线
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
∵E是AD的中点，BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
∵F是CE的中点，BF是△BCE的中线
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的面积性质，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形中线面积性质的基础应用题型，多次运用中线平分三角形面积的规律逐步推导，解题的关键是准确对应每一条中线所属的三角形，理清各部分面积的比例关系。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在△ABC中，BC，AC边上的高分别是AD，BE. 已知BC=5 cm，AD=6 cm，AC=7 cm，求BE的长. 
答案
13. $BE=\frac{30}{7}\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
要计算BE的长度，可利用同一个三角形面积不变的特点求解。首先回忆三角形面积公式：三角形面积=½×底×对应底边上的高。我们可以先用已知的底BC和对应的高AD算出△ABC的面积，再以AC为底、BE为对应高，用面积公式列等式，即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高
∴△ABC的面积有两种表示方式：
①以BC为底：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$
代入BC=5 cm，AD=6 cm，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 5 × 6 = 15\ \mathrm{cm}^2$
②以AC为底：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BE$
代入AC=7 cm，$S_{△ ABC}=15\ \mathrm{cm}^2$，得：
$\frac{1}{2} × 7 × BE = 15$
解得：$BE=\frac{30}{7}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$BE=\frac{30}{7}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.三角形面积公式
2.等面积法
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题型，解题核心是抓住同一个三角形面积恒定的特点，通过两种不同的底和对应高的组合表示面积，建立等式求解未知量，熟练掌握三角形面积公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要计算BE的长度，可利用同一个三角形面积不变的特点求解。首先回忆三角形面积公式：三角形面积=½×底×对应底边上的高。我们可以先用已知的底BC和对应的高AD算出△ABC的面积，再以AC为底、BE为对应高，用面积公式列等式，即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高
∴△ABC的面积有两种表示方式：
①以BC为底：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$
代入BC=5 cm，AD=6 cm，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 5 × 6 = 15\ \mathrm{cm}^2$
②以AC为底：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BE$
代入AC=7 cm，$S_{△ ABC}=15\ \mathrm{cm}^2$，得：
$\frac{1}{2} × 7 × BE = 15$
解得：$BE=\frac{30}{7}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$BE=\frac{30}{7}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.三角形面积公式
2.等面积法
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题型，解题核心是抓住同一个三角形面积恒定的特点，通过两种不同的底和对应高的组合表示面积，建立等式求解未知量，熟练掌握三角形面积公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
14.已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长,$b,c$满足$(b-2)^2 + |c-3| = 0$,且$a$为方程$|x-4|=2$的解,求$△ ABC$的周长,并判断$△ ABC$的形状.
答案
14. $△ABC$的周长为7;$△ABC$是等腰三角形.
解析
【分析】
解题时首先根据非负数的性质：两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，可求出b、c的值；再解绝对值方程得到a的两个可能取值；最后结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）对a的取值进行筛选，确定a的有效值后即可计算周长，再根据边长特点判断三角形形状。
【解析】
1. 求b、c的值：
因为平方数和绝对值都具有非负性，即$\boldsymbol{(b-2)^2≥0}$，$\boldsymbol{|c-3|≥0}$，且$(b-2)^2 + |c-3| = 0$，
所以$b-2=0$，$c-3=0$，
解得$b=2$，$c=3$。
2. 求a的可能取值：
解方程$|x-4|=2$，根据绝对值的意义，$x-4=2$或$x-4=-2$，
解得$x=6$或$x=2$，即a的可能值为2或6。
3. 筛选符合三角形三边关系的a值：
当a=6时，$b+c=2+3=5＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去；
当a=2时，三边长为2、2、3，满足$2+2＞3$、$2+3＞2$，可以构成三角形。
4. 计算周长、判断形状：
周长为$2+2+3=7$；
因为有两条边长均为2，长度相等，所以△ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC的周长为7；△ABC是等腰三角形。
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，绝对值方程求解
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题的关键是注意三角形三边关系的隐含约束，避免未验证a的取值直接代入计算导致多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据非负数的性质：两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，可求出b、c的值；再解绝对值方程得到a的两个可能取值；最后结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）对a的取值进行筛选，确定a的有效值后即可计算周长，再根据边长特点判断三角形形状。
【解析】
1. 求b、c的值：
因为平方数和绝对值都具有非负性，即$\boldsymbol{(b-2)^2≥0}$，$\boldsymbol{|c-3|≥0}$，且$(b-2)^2 + |c-3| = 0$，
所以$b-2=0$，$c-3=0$，
解得$b=2$，$c=3$。
2. 求a的可能取值：
解方程$|x-4|=2$，根据绝对值的意义，$x-4=2$或$x-4=-2$，
解得$x=6$或$x=2$，即a的可能值为2或6。
3. 筛选符合三角形三边关系的a值：
当a=6时，$b+c=2+3=5＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去；
当a=2时，三边长为2、2、3，满足$2+2＞3$、$2+3＞2$，可以构成三角形。
4. 计算周长、判断形状：
周长为$2+2+3=7$；
因为有两条边长均为2，长度相等，所以△ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC的周长为7；△ABC是等腰三角形。
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，绝对值方程求解
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题的关键是注意三角形三边关系的隐含约束，避免未验证a的取值直接代入计算导致多解错误。
【难度系数】
0.7
