【学以致用3】(1)函数$f(x)=a^{x-1}-3(a＞0,$且$a≠1)$的图象所过定点的坐标为（）

A.$(1,-2)$
B.$(-1,2)$
C.$(-1,-3)$
D.$(1,3)$

A 对任意 $a＞0$,且 $a≠1$,当 $x-1=0$,即 $x=1$ 时,$a^{x-1}=1$,此时 $a^{x-1}-3=-2$,
所以函数 $f(x)=a^{x-1}-3(a＞0,$且 $a≠1)$ 的图象所过定点的坐标为$(1,-2)$.

(2)函数$f(x)=a^x - \frac{1}{a}(a＞0,且a≠1)$的图象可能是 注意对底数a进行讨论. ()

A 若 $a＞1$,则 $0＜\dfrac{1}{a}＜1$,$f(x)=a^x-\dfrac{1}{a}$ 单调递增,
其图象在 $y=a^x$ 图象的基础上,向下平移 $\dfrac{1}{a}＜1$ 个单位长度,B,D 均不满足要求；
若 $0＜a＜1$,则 $\dfrac{1}{a}＞1$,$f(x)=a^x-\dfrac{1}{a}$ 单调递减,
其图象在 $y=a^x$ 图象的基础上,向下平移 $\dfrac{1}{a}＞1$ 个单位长度,A 满足要求,C 不满足要求.(也可根据图象过点$(-1,0)$排除 B,C,D 选项)

【典例1】(1)已知$f(x)=(2a-3)a^x$是指数函数,则$f(1)=$ ()
A.8 B.$\frac{3}{2}$ C.4 D.2
(2)已知指数函数$f(x)$的图象经过点$(-1,2)$,则这个函数的解析式是.
解题指导 (1)根据指数函数的特征求出参数,进而求得函数值.
(2)先设出函数解析式,再将点的坐标代入即可求解.
解析 (1)因为函数$f(x)=(2a-3)a^x$是指数函数,
所以$2a-3=1$,解得$a=2$,所以$f(x)=2^x$,
所以$f(1)=2$.
(2)由已知,设$f(x)=a^x(a＞0,且a≠1)$.
因为函数图象经过点$(-1,2)$,
所以$f(-1)=a^{-1}=2$,
解得$a=\frac{1}{2}$,
即$f(x)=(\frac{1}{2})^x$.
答案 (1)D (2)$f(x)=(\frac{1}{2})^x$

解：
(1) 由指数函数的定义可得：
$\begin{cases}2a-3=1 \\ a＞0, a≠1\end{cases}$
解得$a=2$，因此$f(x)=2^x$，
则$f(1)=2^1=2$，故选D。
(2) 设指数函数的解析式为$f(x)=a^x\ (a＞0且a≠1)$，
将点$(-1,2)$代入解析式得：
$a^{-1}=2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
因此该函数的解析式为$f(x)=(\frac{1}{2})^x$。

【变式1】若函数$y=(m^2 - m - 1)m^x$是指数函数，则$m$的值为 （）

A.－1或2
B.－1
C.2
D.$\frac{1}{2}$

C 根据题意可得,$\begin{cases}m^2 - m - 1=1,\\m＞0 且 m≠1,\end{cases}$ 解得 $m=2$.