【典例3】(1)在$[0,2π]$上，函数$y=\sqrt{2\sin x - \sqrt{2}}$的定义域是（）
A.$[0,\frac{π}{4}]$
B.$[\frac{π}{4},\frac{3π}{4}]$
C.$[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]$
D.$[\frac{3π}{4},π]$
(2)不等式$\cos x ≥ \frac{1}{2}(x\in[-π,π])$的解集为.
解题指导 (1)先由$2\sin x - \sqrt{2}≥0$，得到一个三角不等式$\sin x ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}$，再画出正弦函数图象，根据图象求解.
(2)先画出余弦函数的图象，在$[-π,π]$内找出$\cos x=\frac{1}{2}$的角，再结合图象得出不等式$\cos x ≥ \frac{1}{2}$的解集.
解析 (1)在$[0,2π]$上，函数$y=\sqrt{2\sin x - \sqrt{2}}$的定义域满足$2\sin x - \sqrt{2}≥0$，即$\sin x ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}$.结合图象(如图)，得$x\in[\frac{π}{4},\frac{3π}{4}]$.

(2)画出$y=\cos x(x\in[-π,π])$的图象，如图所示.

由图可知，不等式$\cos x ≥ \frac{1}{2}(x\in[-π,π])$的解集为$[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}]$.
答案 (1)B (2)$[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}]$

(1) $\boldsymbol{B}$；(2) $\boldsymbol{[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}]}$

解：(1) 要使函数$y=\sqrt{2\sin x - \sqrt{2}}$有意义，需满足
$2\sin x - \sqrt{2} \ge 0$
整理得$\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$。
已知$x\in[0,2π]$，结合正弦函数$y=\sin x$在$[0,2π]$上的图象，可得满足条件的$x$的取值范围是$[\frac{π}{4},\frac{3π}{4}]$，因此该函数的定义域为$[\frac{π}{4},\frac{3π}{4}]$，答案选B。
(2) 在$x\in[-π,π]$上，作出函数$y=\cos x$的图象。
令$\cos x = \frac{1}{2}$，在区间$[-π,π]$内解得$x=-\frac{π}{3}$和$x=\frac{π}{3}$。
结合图象可知，满足$\cos x \ge \frac{1}{2}$的$x$的取值范围是$[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}]$，即不等式的解集为$[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}]$。
最终

【变式3】在$(0,2π)$内，求不等式$\sin x ＞ \cos x$的解集。

解:当$x\in(0,2π)$时,由$\sin x=\cos x$,得$\tan x=1$,解得$x=\frac{π}{4}$或$x=\frac{5π}{4}$。
函数$y=\sin x,y=\cos x$在$(0,2π)$内的图象如图所示。
由图可知,在$(0,2π)$内,不等式$\sin x ＞ \cos x$的解集为$(\frac{π}{4},\frac{5π}{4})$。

【典例4】在同一坐标系中,作函数$y=\sin x$和$y=\lg x$的图象,根据图象判断出方程$\sin x=\lg x$的解的个数为.
解题指导 画出两函数的图象,根据交点个数可确定方程解的个数.
解析 画出函数$y=\sin x$和$y=\lg x$的图象,如图所示.

由图象可知,$y=\sin x$与$y=\lg x$的图象有3个不同交点,所以方程$\sin x=\lg x$的解的个数为3.
答案 3

解：
函数$y=\sin x$的值域为$[-1,1]$，周期为$2π$。
函数$y=\lg x$是定义域为$(0,+∞)$的单调递增函数：
1. 当$0＜x＜1$时，$\lg x＜0$，$\sin x＞0$，两函数图象无交点；
2. 当$x=10$时，$\lg 10=1$，当$x＞10$时，$\lg x＞1$，而$\sin x≤1$，两函数图象在$x＞10$区间无交点；
3. 当$1≤ x≤10$时：
$x\in[1,π]$时，$\sin x$从$\sin1＞0$递减到0，$\lg x$从0递增到$\lg π\approx0.49$，两函数图象有1个交点；
$x\in(π,2π]$时，$\sin x≤0$，$\lg x＞0$，两函数图象无交点；
$x\in(2π,3π]$时，$\sin x$从0先递增到1再递减到0，$\lg x$从$\lg 2π\approx0.80$递增到$\lg 3π\approx0.97$，两函数图象有2个交点；
$x\in(3π,10]$时，$\sin x≤0$，$\lg x＞0$，两函数图象无交点。
因此$y=\sin x$与$y=\lg x$的图象共有3个不同交点，即方程$\sin x=\lg x$的解的个数为$\boldsymbol{3}$。