5. 如图，点$A$，$C$，$D$，$B$在同一条直线上，点$E$，$F$分别在直线$AB$的两侧，且$AE = BF$，$\angle A = \angle B$，$\angle ACE = \angle BDF$。
(1) 求证：$\triangle ACE \cong \triangle BDF$；
(2) 若$AB = 8$，$AC = 2$，求$CD$的长。

(1) 在$\triangle ACE$和$\triangle BDF$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle A = \angle B \\\angle ACE = \angle BDF \\AE = BF\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACE \cong \triangle BDF(AAS)$
(2) $\because \triangle ACE \cong \triangle BDF$
$\therefore AC = BD$
$\because AC = 2$
$\therefore BD = 2$
$\because AB = 8$，点$A$，$C$，$D$，$B$在同一条直线上
$\therefore AB = AC + CD + BD$
$\therefore 8 = 2 + CD + 2$
$\therefore CD = 4$

6. 如图，$AC = AD$，$\angle C = \angle CAD$，$\angle B + \angle CED = 180^{\circ}$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEA$。

证明：设∠CAD=∠C=α，则∠DAE=α（∠DAE即∠CAD）。
∵E在AC上，∴∠AED+∠CED=180°（邻补角定义）。
又∵∠B+∠CED=180°（已知），∴∠B=∠AED=∠DEA（同角的补角相等）。
在△ABC和△DEA中：
∠B=∠DEA（已证），
∠C=∠DAE（已证，均为α），
AC=DA（已知AC=AD），
∴△ABC≌△DEA（AAS）。

7. 如图，已知$AD$，$AF$分别是$\triangle ABC$和$\triangle ABE$的高，$AD = AF$，$AC = AE$。求证：$BC = BE$。

证明：
∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
∴∠ADC=∠AFE=90°。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
∵AD=AF，AC=AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）。
∴DC=FE。
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∵AD=AF，AB=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）。
∴BD=BF。
∵BD - DC = BF - FE，
∴BC=BE。
结论：BC=BE。

8. 如图，$AD$是$\triangle ABC$中边$BC$上的中线，$AB = 7$，$AC = 5$。求$AD$的取值范围。

延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$CE$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，
所以$BD = CD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ECD$中，
$\begin{cases}BD = CD,\\\angle ADB=\angle EDC,\\AD = DE.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）全等判定定理，
可得$\triangle ABD\cong\triangle ECD$，
所以$AB = EC = 7$。
在$\triangle ACE$中，根据三角形三边关系：
$AC + EC＞AE$，$|AC - EC|＜AE$，
已知$AC = 5$，$EC = 7$，$AE=2AD$，
则$5 + 7＞2AD$，$|5 - 7|＜2AD$，
即$12＞2AD$，$2＜2AD$，
解得$1 ＜ AD＜6$。
故$AD$的取值范围是$1 ＜ AD＜6$。