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1. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的相等.
角的平分线上的点到角两边的相等.
答案
距离
解析
根据角的平分线的性质定理可知，角的平分线上的点到角两边的距离相等。
2. 证明几何命题的步骤
(1)明确命题中的和.
(2)根据题意,画出图形,并用表示已知和求证.
(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出过程.
(1)明确命题中的和.
(2)根据题意,画出图形,并用表示已知和求证.
(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出过程.
答案
(1)条件 结论；(2)符号；(3)证明
解析
证明几何命题需先明确条件和结论，再依题意画图并用符号表示已知求证，最后分析写出证明过程。
【例1】如图,在△ABC中,按下列步骤作图:
第一步:在AB,AC上分别截取AD,AE,使AD = AE;
第二步:分别以点D和点E为圆心,适当长(大于DE的一半)为半径作圆弧,两弧交于点F;
第三步:作射线AF交BC于点M;
第四步:过点M作MN⊥AB于点N.
下列结论一定成立的是( ).
A.CM = MN
B.AC = AN
C.∠CAM = ∠BAM
D.∠CMA = ∠NMA
第一步:在AB,AC上分别截取AD,AE,使AD = AE;
第二步:分别以点D和点E为圆心,适当长(大于DE的一半)为半径作圆弧,两弧交于点F;
第三步:作射线AF交BC于点M;
第四步:过点M作MN⊥AB于点N.
下列结论一定成立的是( ).
A.CM = MN
B.AC = AN
C.∠CAM = ∠BAM
D.∠CMA = ∠NMA
答案
C
【变式1】如图,在△ABC中,∠ACB = 2∠B.
(1)根据要求作图:作∠ACB的平分线交AB于点D;作∠BDC的平分线DE交BC于点E.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形,并加以证明.
(1)根据要求作图:作∠ACB的平分线交AB于点D;作∠BDC的平分线DE交BC于点E.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形,并加以证明.
答案
【解析】：(1)作图略（按角平分线尺规作图法，保留痕迹）。(2)△BDE≌△CDE。证明：
∵CD平分∠ACB，∠ACB=2∠B，
∴∠BCD=∠B，
∴BD=CD（等角对等边）。
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE。在△BDE和△CDE中，BD=CD，∠BDE=∠CDE，DE=DE，
∴△BDE≌△CDE（SAS）。
【答案】：△BDE≌△CDE
∵CD平分∠ACB，∠ACB=2∠B，
∴∠BCD=∠B，
∴BD=CD（等角对等边）。
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE。在△BDE和△CDE中，BD=CD，∠BDE=∠CDE，DE=DE，
∴△BDE≌△CDE（SAS）。
【答案】：△BDE≌△CDE
【例2】如图,在△ABC中,∠B = 50°,∠C = 70°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)求∠EAD的度数;
(2)若AB = 10,AC = 8,DE = 3,求$S_{△ABC}.$
(1)求∠EAD的度数;
(2)若AB = 10,AC = 8,DE = 3,求$S_{△ABC}.$
答案
【解析】：
(1)在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，则∠BAC=180°-50°-70°=60°。
AD是∠BAC的平分线，所以∠EAD=∠BAC/2=30°。
(2)过D作DF⊥AC于F。
因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF=DE=3。
S△ABD=AB×DE/2=10×3/2=15，S△ACD=AC×DF/2=8×3/2=12。
S△ABC=S△ABD+S△ACD=15+12=27。
【答案】：(1)30°；(2)27
(1)在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，则∠BAC=180°-50°-70°=60°。
AD是∠BAC的平分线，所以∠EAD=∠BAC/2=30°。
(2)过D作DF⊥AC于F。
因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF=DE=3。
S△ABD=AB×DE/2=10×3/2=15，S△ACD=AC×DF/2=8×3/2=12。
S△ABC=S△ABD+S△ACD=15+12=27。
【答案】：(1)30°；(2)27
