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2. 多项式$a^{2}+3ab$的公因式是().
A.$a$
B.$a^{2}$
C.$3a$
D.$ab$
A.$a$
B.$a^{2}$
C.$3a$
D.$ab$
答案
A
解析
多项式各项都含有的公共因式叫公因式。对于多项式$a^{2}+3ab$，系数部分$1$和$3$的最大公约数是$1$；字母部分都含有字母$a$，且$a$的最低次幂是$1$，所以公因式是$a$。
3. 分解因式：$a^{2}-2025a=$.
答案
$a(a - 2025)$
解析
原式$a^{2}-2025a$中，每一项都含有公因式$a$，根据提公因式法，将公因式$a$提出后可得：$a(a - 2025)$。
4. 计算：$4.3×202.5 + 7.6×202.5 - 1.9×202.5=$.
答案
2025
解析
$4.3×202.5 + 7.6×202.5 - 1.9×202.5$
$=202.5×(4.3 + 7.6 - 1.9)$
$=202.5×10$
$=2025$
$=202.5×(4.3 + 7.6 - 1.9)$
$=202.5×10$
$=2025$
5. 分解因式：
(1)$x^{2}-4x$；(2)$x^{2}+xy$；
(3)$a^{2}+ab + 2a$；(4)$x^{2}y - 5xy + 2y$.
(1)$x^{2}-4x$；(2)$x^{2}+xy$；
(3)$a^{2}+ab + 2a$；(4)$x^{2}y - 5xy + 2y$.
答案
(1)
$x^{2}-4x=x(x - 4)$
(2)
$x^{2}+xy = x(x + y)$
(3)
$a^{2}+ab + 2a=a(a + b + 2)$
(4)
$x^{2}y - 5xy + 2y=y(x^{2}-5x + 2)$
$x^{2}-4x=x(x - 4)$
(2)
$x^{2}+xy = x(x + y)$
(3)
$a^{2}+ab + 2a=a(a + b + 2)$
(4)
$x^{2}y - 5xy + 2y=y(x^{2}-5x + 2)$
1. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是().
A.$(x + 1)(x - 1)=x^{2}-1$
B.$(x - 1)^{2}=x^{2}-2x + 1$
C.$2x - 2=2(x - 1)$
D.$x^{2}-16 + 3x=(x + 4)(x - 4)+3x$
A.$(x + 1)(x - 1)=x^{2}-1$
B.$(x - 1)^{2}=x^{2}-2x + 1$
C.$2x - 2=2(x - 1)$
D.$x^{2}-16 + 3x=(x + 4)(x - 4)+3x$
答案
C
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A：$(x + 1)(x - 1)=x^{2}-1$是从整式的积到多项式的变形，不是因式分解。
选项B：$(x - 1)^{2}=x^{2}-2x + 1$同样是从整式的积到多项式的变形，不是因式分解。
选项C：$2x - 2 = 2(x - 1)$是把多项式$2x - 2$化为了$2$与$(x - 1)$这两个整式的积的形式，是因式分解。
选项D：$x^{2}-16 + 3x=(x + 4)(x - 4)+3x$，结果不是整式的积的形式，不是因式分解。
选项A：$(x + 1)(x - 1)=x^{2}-1$是从整式的积到多项式的变形，不是因式分解。
选项B：$(x - 1)^{2}=x^{2}-2x + 1$同样是从整式的积到多项式的变形，不是因式分解。
选项C：$2x - 2 = 2(x - 1)$是把多项式$2x - 2$化为了$2$与$(x - 1)$这两个整式的积的形式，是因式分解。
选项D：$x^{2}-16 + 3x=(x + 4)(x - 4)+3x$，结果不是整式的积的形式，不是因式分解。
2. 若把多项式$ax^{2}+bx + c$分解因式得$(x - 3)(x + 2)$，则$a$，$b$，$c$的值分别为().
A.$1$，$-1$，$6$
B.$1$，$1$，$-6$
C.$1$，$-1$，$-6$
D.$1$，$1$，$6$
A.$1$，$-1$，$6$
B.$1$，$1$，$-6$
C.$1$，$-1$，$-6$
D.$1$，$1$，$6$
答案
C
解析
因为$(x - 3)(x + 2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$，又因为多项式$ax^2 + bx + c$分解因式得$(x - 3)(x + 2)$，所以$ax^2 + bx + c = x^2 - x - 6$，则$a = 1$，$b = -1$，$c = -6$。
3. 对于$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，从左到右的变形是，从右到左的变形是.
答案
整式乘法，因式分解
解析
本题可根据因式分解与整式乘法的定义来判断从左到右以及从右到左的变形分别是什么。
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是把几个整式的积化为一个多项式的形式。
在$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$中，从左到右是把$(a + b)$与$(a - b)$这两个整式的积化为$a^{2}-b^{2}$这个多项式的形式；从右到左是把多项式$a^{2}-b^{2}$化为$(a + b)$与$(a - b)$这两个整式的积的形式。
所以从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解。
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是把几个整式的积化为一个多项式的形式。
在$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$中，从左到右是把$(a + b)$与$(a - b)$这两个整式的积化为$a^{2}-b^{2}$这个多项式的形式；从右到左是把多项式$a^{2}-b^{2}$化为$(a + b)$与$(a - b)$这两个整式的积的形式。
所以从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解。
4. 多项式$a + ab^{2}$的公因式是().
A.$a$
B.$ab$
C.$ab^{2}$
D.$a + ab^{2}$
A.$a$
B.$ab$
C.$ab^{2}$
D.$a + ab^{2}$
答案
A
解析
多项式$a + ab^{2}$的各项分别为$a$和$ab^{2}$。系数的最大公约数是1，相同字母为$a$，$a$的最低次数是1，所以公因式是$a$。
5. 多项式$4x + 2$的公因式是.
答案
$2$
解析
多项式 $4x + 2$ 中的每一项分别是 $4x$ 和 $2$。
找出系数的最大公约数：$4$ 和 $2$ 的最大公约数是 $2$。
检查变量的公共因子：$4x$ 含有变量 $x$，而 $2$ 不含变量。因此，变量部分没有公共因子。
综合以上分析，多项式 $4x + 2$ 的公因式是 $2$。
找出系数的最大公约数：$4$ 和 $2$ 的最大公约数是 $2$。
检查变量的公共因子：$4x$ 含有变量 $x$，而 $2$ 不含变量。因此，变量部分没有公共因子。
综合以上分析，多项式 $4x + 2$ 的公因式是 $2$。
6. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是().
A.$x^{2}-y$
B.$x^{2}-2x$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$x^{2}-xy + y^{2}$
A.$x^{2}-y$
B.$x^{2}-2x$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$x^{2}-xy + y^{2}$
答案
B
解析
提公因式法分解因式需多项式各项有公因式。A选项$x^2 - y$，两项无公因式；B选项$x^2 - 2x$，两项都含$x$，公因式为$x$，可分解为$x(x - 2)$；C选项$x^2 + y^2$，两项无公因式；D选项$x^2 - xy + y^2$，各项无公因式。
7. 分解因式：$x^{2}+2x$等于().
A.$x(x + 2)$
B.$x(x - 2)$
C.$2(x + 2)$
D.$2(x - 2)$
A.$x(x + 2)$
B.$x(x - 2)$
C.$2(x + 2)$
D.$2(x - 2)$
答案
A
解析
观察多项式$x^{2}+2x$，各项都含有公因式$x$，将公因式$x$提出，可得$x(x + 2)$。
8. 分解因式：
(1)$x^{2}+xy=$；
(2)$2a^{2}-a=$；
(3)$a^{2}-4ab=$；
(4)$4m - m^{2}=$.
(1)$x^{2}+xy=$；
(2)$2a^{2}-a=$；
(3)$a^{2}-4ab=$；
(4)$4m - m^{2}=$.
答案
（1）$x(x + y)$
（2）$a(2a - 1)$
（3）$a(a - 4b)$
（4）$m(4 - m)$
（2）$a(2a - 1)$
（3）$a(a - 4b)$
（4）$m(4 - m)$
解析
（1）$x^{2}+xy$中，$x$是公因式，提取公因式得：$x^{2}+xy = x(x + y)$；
（2）$2a^{2}-a$中，$a$是公因式，提取公因式得：$2a^{2}-a=a(2a - 1)$；
（3）$a^{2}-4ab$中，$a$是公因式，提取公因式得：$a^{2}-4ab=a(a - 4b)$；
（4）$4m - m^{2}$中，$m$是公因式，提取公因式得：$4m - m^{2}=m(4 - m)$。
（2）$2a^{2}-a$中，$a$是公因式，提取公因式得：$2a^{2}-a=a(2a - 1)$；
（3）$a^{2}-4ab$中，$a$是公因式，提取公因式得：$a^{2}-4ab=a(a - 4b)$；
（4）$4m - m^{2}$中，$m$是公因式，提取公因式得：$4m - m^{2}=m(4 - m)$。
9. 分解因式：
(1)$ax^{2}+ay^{2}$；
(2)$6y^{3}+xy^{2}-y$.
(1)$ax^{2}+ay^{2}$；
(2)$6y^{3}+xy^{2}-y$.
答案
(1)解：
原式 $ax^{2} + ay^{2}$
$= a(x^{2} + y^{2})$（提取公因式 $a$）。
(2) 解：
原式 $6y^{3} + xy^{2} - y$
$= y(6y^{2} + xy - 1)$（提取公因式 $y$）。
原式 $ax^{2} + ay^{2}$
$= a(x^{2} + y^{2})$（提取公因式 $a$）。
(2) 解：
原式 $6y^{3} + xy^{2} - y$
$= y(6y^{2} + xy - 1)$（提取公因式 $y$）。
10. 计算$(-2)^{2024}+(-2)^{2025}$所得的结果是().
A.$2^{2024}$
B.$-2^{4049}$
C.$-2^{2025}$
D.$-2^{2024}$
A.$2^{2024}$
B.$-2^{4049}$
C.$-2^{2025}$
D.$-2^{2024}$
答案
D
解析
原式$(-2)^{2024}+(-2)^{2025}$
$=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)$
$=(-2)^{2024}×(1-2)$
$=(-2)^{2024}×(-1)$
$=-2^{2024}$
$=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)$
$=(-2)^{2024}×(1-2)$
$=(-2)^{2024}×(-1)$
$=-2^{2024}$
