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1. 因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.因式分解与是方向相反的变形.
把一个多项式化成几个整式的的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.因式分解与是方向相反的变形.
答案
第一个空填“积”；
第二个空填“整式乘法”。
第二个空填“整式乘法”。
解析
（1）根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
（2）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，整式乘法是把几个整式的积化为一个多项式，而因式分解是把一个多项式化为几个整式的积。
（2）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，整式乘法是把几个整式的积化为一个多项式，而因式分解是把一个多项式化为几个整式的积。
2. 提公因式法
(1)公因式：多项式的都含有的的因式.
(2)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有，可以把这个提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
(1)公因式：多项式的都含有的的因式.
(2)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有，可以把这个提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
答案
(1)各项，相同；
(2)公因式，公因式，乘积。
(2)公因式，公因式，乘积。
解析
(1) 根据公因式的定义，公因式是多项式中各项都含有的相同因式。
所以第一个空填“各项”，第二个空填“相同”。
(2) 根据提公因式法的定义，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。
所以第一个空填“公因式”，第二个空填“公因式”，第三个空填“乘积”。
所以第一个空填“各项”，第二个空填“相同”。
(2) 根据提公因式法的定义，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。
所以第一个空填“公因式”，第二个空填“公因式”，第三个空填“乘积”。
【例1】下列各式从左到右的变形是因式分解的是().
A.$(y - 1)(y + 1)=y^{2}-1$
B.$x^{2}y + xy^{2}=xy(x + y)-1$
C.$(x - 2)(x - 3)=(3 - x)(2 - x)$
D.$x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}$
A.$(y - 1)(y + 1)=y^{2}-1$
B.$x^{2}y + xy^{2}=xy(x + y)-1$
C.$(x - 2)(x - 3)=(3 - x)(2 - x)$
D.$x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}$
答案
D
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
A选项是把积的形式化为多项式，不是因式分解；
B选项$x^{2}y + xy^{2}=xy(x + y)-1$，右边不是积的形式，不是因式分解；
C选项$(x - 2)(x - 3)=(3 - x)(2 - x)$，只是利用了交换律，不是因式分解；
D选项$x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}$，是把多项式化为整式的积的形式，是因式分解。
A选项是把积的形式化为多项式，不是因式分解；
B选项$x^{2}y + xy^{2}=xy(x + y)-1$，右边不是积的形式，不是因式分解；
C选项$(x - 2)(x - 3)=(3 - x)(2 - x)$，只是利用了交换律，不是因式分解；
D选项$x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}$，是把多项式化为整式的积的形式，是因式分解。
【变式1】对于①$x - 3xy=x(1 - 3y)$，②$(x + 3)(x - 1)=x^{2}+2x - 3$，从左到右的变形，表述正确的是().
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算
答案
D
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。①左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解；②左边是整式的积，右边是多项式，是乘法运算。
【例2】多项式$a^{2}-2a$的公因式是().
A.$a$
B.$a^{2}$
C.$2a$
D.$-2a$
A.$a$
B.$a^{2}$
C.$2a$
D.$-2a$
答案
A
解析
多项式$a^{2}-2a$各项系数的最大公约数是1，各项都含有的相同字母是$a$，字母$a$的最低次数是1，所以公因式是$a$。
【变式2】多项式$x^{3}+12xy$的公因式是.
答案
x
解析
多项式$x^{3}+12xy$各项系数的最大公约数是1，各项都含有的字母是x，x的最低次数是1，所以公因式是x。
【例3】分解因式：(1)$x^{2}-x=$；
(2)$x^{2}+3x=$；
(3)$m^{2}-5m=$.
(2)$x^{2}+3x=$；
(3)$m^{2}-5m=$.
答案
(1) $x(x - 1)$；(2) $x(x + 3)$；(3) $m(m - 5)$。
解析
(1) 对于 $x^{2} - x$，观察两项，发现它们都含有公因式 $x$，因此可以提取公因式 $x$，得到：
$x^{2} - x = x × x - 1 × x = x(x - 1)$；
(2) 对于 $x^{2} + 3x$，观察两项，发现它们都含有公因式 $x$，因此可以提取公因式 $x$，得到：
$x^{2} + 3x = x × x + 3 × x = x(x + 3)$；
(3) 对于 $m^{2} - 5m$，观察两项，发现它们都含有公因式 $m$，因此可以提取公因式 $m$，得到：
$m^{2} - 5m = m × m - 5 × m = m(m - 5)$；
$x^{2} - x = x × x - 1 × x = x(x - 1)$；
(2) 对于 $x^{2} + 3x$，观察两项，发现它们都含有公因式 $x$，因此可以提取公因式 $x$，得到：
$x^{2} + 3x = x × x + 3 × x = x(x + 3)$；
(3) 对于 $m^{2} - 5m$，观察两项，发现它们都含有公因式 $m$，因此可以提取公因式 $m$，得到：
$m^{2} - 5m = m × m - 5 × m = m(m - 5)$；
【变式3】分解因式：
(1)$3mn + m=$；
(2)$a^{2}-ab=$；
(3)$-mn + m^{2}=$.
(1)$3mn + m=$；
(2)$a^{2}-ab=$；
(3)$-mn + m^{2}=$.
答案
(1) $m(3n + 1)$
(2) $a(a - b)$
(3) $m(m - n)$
(2) $a(a - b)$
(3) $m(m - n)$
解析
(1) 对于 $3mn + m$，观察两项的公因式为 $m$，提取公因式得：
$3mn + m = m × (3n + 1) = m(3n + 1)$
(2) 对于 $a^{2} - ab$，观察两项的公因式为 $a$，提取公因式得：
$a^{2} - ab = a × (a - b) = a(a - b)$
(3) 对于 $-mn + m^{2}$，观察两项的公因式为 $m$，提取公因式得：
$-mn + m^{2} = m × (-n + m) = m(m - n)$
$3mn + m = m × (3n + 1) = m(3n + 1)$
(2) 对于 $a^{2} - ab$，观察两项的公因式为 $a$，提取公因式得：
$a^{2} - ab = a × (a - b) = a(a - b)$
(3) 对于 $-mn + m^{2}$，观察两项的公因式为 $m$，提取公因式得：
$-mn + m^{2} = m × (-n + m) = m(m - n)$
1. 下列变形中，是因式分解的是().
A.$(x + 2)(x - 2)=x^{2}-4$
B.$x^{2}-1=x(x-\frac{1}{x})$
C.$a^{2}-2a + 1=(a - 1)^{2}$
D.$x^{2}-2x - 6=x(x - 2)-6$
A.$(x + 2)(x - 2)=x^{2}-4$
B.$x^{2}-1=x(x-\frac{1}{x})$
C.$a^{2}-2a + 1=(a - 1)^{2}$
D.$x^{2}-2x - 6=x(x - 2)-6$
答案
C
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而选项A是把积的形式化为多项式，不是因式分解；选项B中$\frac{1}{x}$不是整式，$x(x - \frac{1}{x})$不是整式的积的形式；选项C把多项式$a^{2}-2a + 1$化为了$(a - 1)^{2}$这种整式的积的形式，是因式分解；选项D$x(x - 2)-6$不是整式的积的形式。
