【例题1】求半径为$R$的正六边形的中心角、边长、边心距、周长和面积.

思路导引　正多边形问题一般转化为直角三角形来解答.

解：连接$OA$,$OB$,过点$O作OM\perp AB于点M$,如图,正六边形$ABCDEF内接于\odot O$.
$\therefore中心角\angle AOB= \frac{360^\circ}{6}= 60^\circ$.
$\because OA= OB$,$OM\perp AB$,$\therefore\angle MOB= \frac{1}{2}\angle AOB = 30^\circ$. $\therefore MB= \frac{1}{2}OB= \frac{1}{2}R$.
$\therefore AB= 2MB= R$,$OM= \sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2}= \frac{\sqrt{3}}{2}R$.
$\therefore正六边形的周长为6AB = 6R$.
$\therefore正六边形的面积为6S_{\triangle AOB}= 6×\frac{1}{2}AB× OM= \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$.

【例题2】如图,在半径为$R$的圆内作一个内接正方形,然后作这个正方形的内切圆,再在这个内切圆中作内接正方形,依次作到第$n$个内切圆,试求第$n$个内切圆的半径.

思路导引　运用转化思想,将外接圆的半径转化为内接正方形的边长,再转化为其内切圆的半径,观察其变化规律.
解：观察图形,由勾股定理易求第一个内接正方形的边长为$\sqrt{2}R$,第一个内切圆的半径为外切正方形边长的一半,即为$\frac{\sqrt{2}}{2}R$. 第二个内接正方形的边长为$\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}R$,第二个内切圆的半径为$\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}R= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2R$……以此类推,可知第$n个内切圆的半径为\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^nR$.

1. 一个正多边形的一个外角为$72^\circ$,则这个正多边形是().
A.正三角形
B.正四边形
C.正五边形
D.正六边形

解：因为多边形的外角和为$360^\circ$，设这个正多边形的边数为$n$，则$n=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5$，所以这个正多边形是正五边形。
答案：C