2. 圆内接正方形$ABCD的边心距为5$,则正方形$ABCD$的面积为______.

解：设圆内接正方形ABCD的边长为a，外接圆半径为R。
因为正方形的边心距为5，边心距等于外接圆半径的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍（或边心距为边长的一半），即边心距$d = \frac{a}{2}$，所以$\frac{a}{2}=5$，解得$a = 10$。
正方形面积$S=a^2=10^2 = 100$。
100

3. 一个正多边形的中心角为$30^\circ$,这个正多边形的边数是.

【解析】：
本题主要考查正多边形的中心角与边数之间的关系。
正多边形的中心角是由正多边形的对称性质决定的，每一个中心角都相等，且它们的和等于$360^\circ$。
设正多边形的边数为$n$，则每一个中心角的大小为$\frac{360^\circ}{n}$。
根据题意，我们有：
$\frac{360^\circ}{n} = 30^\circ$，
解这个方程，我们可以得到正多边形的边数$n$。
【答案】：
解：设正多边形的边数为$n$，
根据正多边形的性质，每一个中心角的大小为$\frac{360^\circ}{n}$，
由题意得：
$\frac{360^\circ}{n} = 30^\circ$，
解这个方程，我们得到：
$n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$。
故答案为：$12$。

4. 如图,$\odot O内切于正三角形ABC$,正方形$DEFG内接于\odot O$,正三角形$ABC的边长为a$,求正方形$DEFG$的面积.

【解析】：本题考查正多边形和圆的关系，涉及到正三角形内切圆半径的求法以及正方形面积的计算。
先求出正三角形内切圆的半径，再根据正方形与内切圆的关系求出正方形的边长，进而求出正方形的面积。
求正三角形$ABC$内切圆的半径$r$：
设正三角形$ABC$的边长为$a$，根据正三角形的性质，其高$h$可由勾股定理求得。
正三角形的高$h$将正三角形分为两个直角三角形，其中一条直角边为$\frac{a}{2}$，斜边为$a$，
则高$h = \sqrt{a^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
因为正三角形内切圆的圆心是正三角形的重心，重心将高分为$2:1$的两段，
所以内切圆半径$r$为高的$\frac{1}{3}$，即$r = \frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$。
求正方形$DEFG$的边长$x$：
由于正方形$DEFG$内接于$\odot O$，此时正方形的对角线就是圆的直径$2r$。
设正方形的边长为$x$，根据勾股定理，正方形对角线的长度为$\sqrt{x^{2}+x^{2}}=\sqrt{2}x$，而圆的直径为$2r = \frac{\sqrt{3}}{3}a$，
所以$\sqrt{2}x = \frac{\sqrt{3}}{3}a$，解得$x = \frac{\sqrt{6}}{6}a$。
求正方形$DEFG$的面积$S$：
根据正方形面积公式$S = x^{2}$，将$x = \frac{\sqrt{6}}{6}a$代入可得：
$S = (\frac{\sqrt{6}}{6}a)^{2}=\frac{1}{6}a^{2}$。
【答案】：正方形$DEFG$的面积为$\frac{1}{6}a^{2}$。

1. 若一个圆内接正多边形的中心角是$60^\circ$,则这个正多边形是().
A.正九边形
B.正八边形
C.正七边形
D.正六边形

解：设这个正多边形的边数为$n$。
因为圆内接正多边形的中心角之和为$360^\circ$，且每个中心角相等，所以可得：
$n = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$
故这个正多边形是正六边形。
答案：D

2. 有一个边长为$50\ cm$的正方形洞口,如果要用一个圆盖完全盖住这个洞口,那么圆盖的直径至少应为().
A.$50\ cm$
B.$25\sqrt{2}\ cm$
C.$50\sqrt{2}\ cm$
D.$50\sqrt{3}\ cm$

解：要使圆盖完全盖住正方形洞口，圆盖的直径至少应为正方形的对角线长。
正方形边长为50cm，根据勾股定理，其对角线长为$\sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2}\ cm$。
故圆盖的直径至少为$50\sqrt{2}\ cm$。
答案：C

3. 若$\odot O的内接正n边形的边长与\odot O$的半径相等,则$n$的值为______.

解：设$\odot O$的半径为$r$，则其内接正$n$边形的边长为$r$。
连接正$n$边形的中心$O$与相邻的两个顶点，得到一个等腰三角形，该三角形的腰长为$\odot O$的半径$r$，底边长为正$n$边形的边长$r$，所以此三角形为等边三角形。
因此，该等腰三角形的顶角为$60^\circ$。
因为正$n$边形的中心角为$\frac{360^\circ}{n}$，所以$\frac{360^\circ}{n}=60^\circ$，解得$n=6$。
6

4. 如图,$\angle 1$是正五边形两条对角线的夹角,则$\angle 1$的度数是______.

解：正五边形中心角为$360°÷5 = 72°$，$\angle1$是圆周角，所对弧为中心角的2倍，即$72°×2 = 144°$，圆周角为所对弧度数一半，$144°÷2 = 72°$。
$72°$

5. 如图,正五边形$ABCDE内接于\odot O$,则$\angle DAC$的度数为.

【解析】：
本题主要考查了正多边形与圆的关系，特别是正五边形的性质以及圆周角定理的应用。
首先，由于正五边形$ABCDE$内接于圆$\odot O$，根据正多边形的性质，知道正五边形的各边相等，各内角也相等。
正五边形的内角可以通过公式$\frac{(n-2) × 180^{\circ}}{n}$计算，其中$n$是多边形的边数。代入$n=5$，得到正五边形的内角为$\frac{(5-2) × 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$。
由于是正五边形，所以$\angle B =\angle BCD= 108^{\circ}$，并且$BC = CD$，根据等腰三角形的性质，可以得到$\angle BDC =\angle DBC$，
由于三角形内角和为$180^\circ$，可以得到$\angle BDC = \frac{180^{\circ} - 108^{\circ}}{2} = 36^{\circ}$。
接下来，利用圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
由于$\angle DAC$和$\angle DBC$都是对应了同一条弧$\overset{\frown}{DC}$，所以$\angle DAC = \angle DBC = 36^{\circ}$。
【答案】：
$36^{\circ}$

6. 由边长为$4$的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环(如图)的面积$S$为多少？

解：设正方形外接圆半径为$R$，内切圆半径为$r$。
因为正方形边长为$4$，其内切圆半径$r$等于边长的一半，所以$r = \frac{4}{2}=2$。
正方形的对角线长为外接圆直径，根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，则外接圆半径$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
圆环面积$S = \pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\left[(2\sqrt{2})^{2}-2^{2}\right]=\pi(8 - 4)=4\pi$。
答：圆环的面积$S$为$4\pi$。