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10. 如图,已知$∠AOB = 90^{\circ}$,$OC是∠AOB$内任意一条射线,$OB$,$OD分别平分∠COD$,$∠BOE$,有下列结论：①$∠COD = ∠BOE$；②$∠COE = 3∠BOD$；③$∠BOE = ∠AOC$；④$∠AOC + ∠BOD = 90^{\circ}$。其中正确的结论有(
A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.②③④
A
)A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.②③④
答案
A
解析
解：设∠BOC=α，∠BOD=β。
∵OB平分∠COD，
∴∠COD=2∠BOC=2α，∠BOD=∠BOC+∠COD=α+2α=3α？？？此处逻辑混乱，无法继续按照错误思路推导。根据正确思路：
∵OB平分∠COD，
∴∠COB=∠BOD=β，即∠COD=2β。
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOE=2∠BOD=2β，故∠COD=∠BOE=2β，①正确。
∠COE=∠COD+∠DOE=2β+β=3β=3∠BOD，②正确。
∠AOC=∠AOB - ∠COB=90° - β，∠BOE=2β，无法得出∠BOE=∠AOC，③错误。
∠AOC + ∠BOD=90° - β + β=90°，④正确。
综上，正确的结论有①②④。
A
∵OB平分∠COD，
∴∠COD=2∠BOC=2α，∠BOD=∠BOC+∠COD=α+2α=3α？？？此处逻辑混乱，无法继续按照错误思路推导。根据正确思路：
∵OB平分∠COD，
∴∠COB=∠BOD=β，即∠COD=2β。
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOE=2∠BOD=2β，故∠COD=∠BOE=2β，①正确。
∠COE=∠COD+∠DOE=2β+β=3β=3∠BOD，②正确。
∠AOC=∠AOB - ∠COB=90° - β，∠BOE=2β，无法得出∠BOE=∠AOC，③错误。
∠AOC + ∠BOD=90° - β + β=90°，④正确。
综上，正确的结论有①②④。
A
11. 如图,$∠AOD = 80^{\circ}$,$∠COD = 30^{\circ}$,$OB平分∠AOC$,则$∠AOB$的度数是
25°
。答案
25°
解析
解：
∵∠AOD=80°，∠COD=30°，
∴∠AOC=∠AOD - ∠COD=80° - 30°=50°。
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×50°=25°$。
25°
∵∠AOD=80°，∠COD=30°，
∴∠AOC=∠AOD - ∠COD=80° - 30°=50°。
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×50°=25°$。
25°
12. 一个角的余角比它的补角的$\frac{2}{3}还少40^{\circ}$,则这个角的度数是
30°
。答案
30°
解析
设这个角的度数是$x$。
由题意得：$90^{\circ}-x=\frac{2}{3}(180^{\circ}-x)-40^{\circ}$
去分母：$3(90^{\circ}-x)=2(180^{\circ}-x)-120^{\circ}$
去括号：$270^{\circ}-3x=360^{\circ}-2x-120^{\circ}$
化简：$270^{\circ}-3x=240^{\circ}-2x$
移项：$-3x + 2x=240^{\circ}-270^{\circ}$
合并同类项：$-x=-30^{\circ}$
解得：$x=30^{\circ}$
$30^{\circ}$
由题意得：$90^{\circ}-x=\frac{2}{3}(180^{\circ}-x)-40^{\circ}$
去分母：$3(90^{\circ}-x)=2(180^{\circ}-x)-120^{\circ}$
去括号：$270^{\circ}-3x=360^{\circ}-2x-120^{\circ}$
化简：$270^{\circ}-3x=240^{\circ}-2x$
移项：$-3x + 2x=240^{\circ}-270^{\circ}$
合并同类项：$-x=-30^{\circ}$
解得：$x=30^{\circ}$
$30^{\circ}$
13. 如图,$O为直线AB$上一点,$∠AOC = 50^{\circ}$,$OD平分∠AOC$,则$∠BOD$的度数是
155°
。答案
155°
解析
解：
∵ $O$ 为直线 $AB$ 上一点，
∴ $\angle AOB = 180°$。
∵ $OD$ 平分 $\angle AOC$，$\angle AOC = 50°$，
∴ $\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
∵ $\angle BOD = \angle AOB - \angle AOD$，
∴ $\angle BOD = 180° - 25° = 155°$。
155°
∵ $O$ 为直线 $AB$ 上一点，
∴ $\angle AOB = 180°$。
∵ $OD$ 平分 $\angle AOC$，$\angle AOC = 50°$，
∴ $\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
∵ $\angle BOD = \angle AOB - \angle AOD$，
∴ $\angle BOD = 180° - 25° = 155°$。
155°
14. 计算。
(1) $44^{\circ}49' + 37^{\circ}28'$；
(2) $118^{\circ}12' - 37^{\circ}37' × 2$；
(3) $180^{\circ} ÷ 7$；(精确到分)
(4) $(180^{\circ} - 91^{\circ}32'24'') ÷ 2$。
(1) $44^{\circ}49' + 37^{\circ}28'$；
(2) $118^{\circ}12' - 37^{\circ}37' × 2$；
(3) $180^{\circ} ÷ 7$；(精确到分)
(4) $(180^{\circ} - 91^{\circ}32'24'') ÷ 2$。
答案
(1)82°17′
(2)42°58′
(3)25°43′
(4)44°13′48″
15. 如图,已知$O为AD$上一点,$∠AOB与∠AOC$互补,$ON平分∠AOB$,$OM平分∠AOC$。
(1) 若$∠AOB = 30^{\circ}$,求$∠MON$的度数；
(2) 若$∠MON = 60^{\circ}$,求$∠AOB$的度数。
(1) 若$∠AOB = 30^{\circ}$,求$∠MON$的度数；
(2) 若$∠MON = 60^{\circ}$,求$∠AOB$的度数。
答案
解:
(1)因为∠AOB与∠AOC互补，所以∠AOB+∠AOC=180°.因为∠AOB=30°，所以∠AOC=180°-∠AOB=180°-30°=150°.因为ON平分∠AOB,OM平分∠AOC，所以∠AON= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$×30°=15°，∠AOM= $\frac{1}{2}$∠AOC= $\frac{1}{2}$×150°=75°，所以∠MON=∠AOM-∠AON=75°-15°=60°.
(2)因为∠AOB与∠AOC互补，所以∠AOB+∠AOC=180°.因为ON平分∠AOB,OM平分∠AOC，所以∠AON= $\frac{1}{2}$∠AOB，∠AOM= $\frac{1}{2}$∠AOC= $\frac{1}{2}$(180°-∠AOB)=90°- $\frac{1}{2}$∠AOB.因为∠MON=60°，所以∠AOM-∠AON=60°，所以90°- $\frac{1}{2}$∠AOB- $\frac{1}{2}$∠AOB=60°，所以∠AOB=30°.
(1)因为∠AOB与∠AOC互补，所以∠AOB+∠AOC=180°.因为∠AOB=30°，所以∠AOC=180°-∠AOB=180°-30°=150°.因为ON平分∠AOB,OM平分∠AOC，所以∠AON= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$×30°=15°，∠AOM= $\frac{1}{2}$∠AOC= $\frac{1}{2}$×150°=75°，所以∠MON=∠AOM-∠AON=75°-15°=60°.
(2)因为∠AOB与∠AOC互补，所以∠AOB+∠AOC=180°.因为ON平分∠AOB,OM平分∠AOC，所以∠AON= $\frac{1}{2}$∠AOB，∠AOM= $\frac{1}{2}$∠AOC= $\frac{1}{2}$(180°-∠AOB)=90°- $\frac{1}{2}$∠AOB.因为∠MON=60°，所以∠AOM-∠AON=60°，所以90°- $\frac{1}{2}$∠AOB- $\frac{1}{2}$∠AOB=60°，所以∠AOB=30°.
