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4. 如图 6 - 2 - 13,$ C $,$ D $ 是线段 $ AB $ 的三等分点,$ M $ 是 $ AC $ 的中点,那么 $ CD = $
$\frac{1}{2}$
$ BC $,$ AB = $ 6
$ MC $.答案
$\frac{1}{2}$ 6 点拨:因为C,D是线段AB的三等分点，所以$CD=\frac{1}{3}AB$，而$BC=\frac{2}{3}AB$，所以$CD=\frac{1}{2}BC$.因为M是AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，而$AC=\frac{1}{3}AB$，所以$MC=\frac{1}{6}AB$，所以AB = 6MC.
解析
因为$C$，$D$是线段$AB$的三等分点，所以$AC = CD = DB=\frac{1}{3}AB$。
$BC=CD + DB=\frac{1}{3}AB+\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}AB$，则$CD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}AB=\frac{1}{2}BC$。
因为$M$是$AC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}AB=\frac{1}{6}AB$，故$AB = 6MC$。
$\frac{1}{2}$；$6$
$BC=CD + DB=\frac{1}{3}AB+\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}AB$，则$CD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}AB=\frac{1}{2}BC$。
因为$M$是$AC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}AB=\frac{1}{6}AB$，故$AB = 6MC$。
$\frac{1}{2}$；$6$
5. 如图 6 - 2 - 14,在平面上有 $ A $,$ B $,$ C $ 三点.
(1)画出线段 $ AB $,$ AC $,$ BC $；
(2)取 $ AB $,$ AC $,$ BC $ 的中点 $ D $,$ E $,$ F $；
(3)连接 $ CD $,$ BE $ 及 $ AF $,你发现了什么？
(4)量出线段 $ DE $ 及 $ BC $ 的长,你又发现了什么？
(5)在图 6 - 2 - 14 中,还存在与(4)中你所发现的规律一样的两条线段吗？试一试再写出来.
(1)画出线段 $ AB $,$ AC $,$ BC $；
(2)取 $ AB $,$ AC $,$ BC $ 的中点 $ D $,$ E $,$ F $；
(3)连接 $ CD $,$ BE $ 及 $ AF $,你发现了什么？
(4)量出线段 $ DE $ 及 $ BC $ 的长,你又发现了什么？
(5)在图 6 - 2 - 14 中,还存在与(4)中你所发现的规律一样的两条线段吗？试一试再写出来.
答案
解:
(1)图略(连接AB,AC,BC即可)
(2)图略(取中点可用刻度尺)
(3)线段CD,BE,AF相交于一点.
(4)2DE = BC.
(5)2DF = AC,2EF = AB.
(1)图略(连接AB,AC,BC即可)
(2)图略(取中点可用刻度尺)
(3)线段CD,BE,AF相交于一点.
(4)2DE = BC.
(5)2DF = AC,2EF = AB.
1. 如图 6 - 2 - 15,点 $ P $ 是线段 $ AB $ 上一点,$ AB = 24cm $,点 $ C $,$ D $ 分别从点 $ P $,$ B $ 同时出发以 $ 1cm/s $,$ 3cm/s $ 的速度沿直线 $ AB $ 向左运动(点 $ C $ 在线段 $ AP $ 上,点 $ D $ 在线段 $ BP $ 上),运动的时间为 $ ts $.
(1)当 $ t = 1 $ 时,若 $ PD = 3AC $,请求出 $ AP $ 的长；
(2)若点 $ C $,$ D $ 运动到任一时刻,总有 $ PD = 3AC $,请求出 $ AP $ 的长；
(3)在(2)的条件下,若点 $ Q $ 是直线 $ AB $ 上一点,且 $ AQ - BQ = PQ $,请求出 $ PQ $ 的长.
(1)当 $ t = 1 $ 时,若 $ PD = 3AC $,请求出 $ AP $ 的长；
(2)若点 $ C $,$ D $ 运动到任一时刻,总有 $ PD = 3AC $,请求出 $ AP $ 的长；
(3)在(2)的条件下,若点 $ Q $ 是直线 $ AB $ 上一点,且 $ AQ - BQ = PQ $,请求出 $ PQ $ 的长.
答案
解:
(1)由题意可知,BD = 3×1 = 3(cm),PC = 1cm,则BD = 3PC. 因为PD = 3AC, 所以AB - AC - PC - BD = 24 - AC - PC - 3PC = 3AC, 所以4AC + 4PC = 24, 所以AC + PC = 6, 所以AP = AC + CP = 6cm.
(2)根据点C,D的运动速度可知，BD = 3PC.因为PD = 3AC, 所以AB - AP - BD = 3(AP - PC), 所以24 - AP - 3PC = 3AP - 3PC, 所以4AP = 24,所以AP = 6cm.
(3)存在以下两种情况: ①如答图6−2−6①，当点Q在线段AB上时，因为AQ - BQ = PQ,所以AQ = PQ + BQ,因为AQ = AP + PQ,所以AP = BQ = 6cm,所以PQ = AB - AP - BQ = 24 - 6 - 6 = 12(cm).
②如答图6−2−6②,当点Q在线段AB的延长线上时，因为AQ - BQ = PQ,所以AQ = PQ + BQ.因为AQ = AP + PQ,所以AP = BQ = 6cm,所以PQ = AQ - AP = AB + BQ - AP = AB + BQ - BQ = AB = 24cm. 
综上所述，PQ的长为12cm或24cm.2. 【实际应用问题】某公司员工分别住在 $ A $,$ B $,$ C $ 三个住宅区,$ A $ 区有 $ 30 $ 人,$ B $ 区有 $ 15 $ 人,$ C $ 区有 $ 10 $ 人,三个区在同一条直线上,位置如图 6 - 2 - 16 所示. 该公司的接送车打算只设一个停靠站. 为了使所有员工步行到停靠站的路程之和最小,那么停靠站应设在哪个位置？
答案
解:当停靠站设在A区时，总路程之和为:30×0 + 15×100 + 10×(100 + 200)=1500 + 3000 = 4500(米). 当停靠站设在B区时，总路程之和为:30×100 + 15×0 + 10×200 = 3000 + 2000 = 5000(米). 当停靠站设在C区时，总路程之和为:30×(100 + 200)+15×200 + 10×0 = 9000 + 3000 = 12000(米). 当停靠站设在A，B两区之间时，不妨设点P为停靠站，如答图6−2−7所示.
设AP = x米，则总路程之和为:30x + 15(100 - x)+10[200+(100 - x)] = 30x + 1500 - 15x + 3000 - 10x = 4500 + 5x. 因为x＞0,所以4500 + 5x＞4500. 当停靠站设在B，C两区之间时，不妨设点P'为停靠站，如答图6−2−8所示. 
设BP' = x米，则总路程之和为:30(100 + x)+15x + 10(200 - x)=3000 + 30x + 15x + 2000 - 10x = 5000 + 35x.因为x＞0,所以5000 + 35x＞5000.综上所述，当停靠站设在A区时，总路程之和最小.点拨:此题考查的是两点间的距离在实际生活中的应用.此题根据实际生活建立数学模型，进而转化为有关线段的计算题，分五种情况进行讨论，即A区，B区，C区，A,B两区之间和B,C两区之间.
