1. 在△ABC中,若∠C= 90°,sin A= 3/5,则sin B= .

【解析】：
本题考查的是锐角三角函数的知识点。在直角三角形中，已知一个锐角的正弦值，需要求另一个锐角的正弦值。
首先，我们知道在直角三角形中，两个锐角的和为$90^\circ$。
因此，如果$\angle A$和$\angle B$是直角三角形中的两个锐角，那么$\angle A + \angle B = 90^\circ$。
由此，我们可以得出$\angle B = 90^\circ - \angle A$。
再根据正弦函数的性质，$\sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta)$，所以$\sin B = \sin(90^\circ - A) = \cos A$。
已知$\sin A = \frac{3}{5}$，我们可以利用正弦和余弦的关系$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，来求$\cos A$。
计算过程如下：
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$，
所以，$\sin B = \cos A = \frac{4}{5}$。
【答案】：
$\frac{4}{5}$

2. √3 tan(α + 20°)= 1,锐角α的大小应是()
A.40°
B.30°
C.20°
D.10°

解：√3 tan(α + 20°)= 1
tan(α + 20°)= 1/√3
tan(α + 20°)= tan30°
α + 20°= 30°
α= 10°
答案：D

3. 如果$sin^2α + cos^230°= 1,$那么锐角α的大小是.

解：因为$cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$cos^230° = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$。
已知$sin^2α + cos^230° = 1$，则$sin^2α = 1 - cos^230° = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$。
因为α是锐角，所以$sinα ＞ 0$，则$sinα = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$。
所以锐角α的大小是$30°$。
答案：$30°$

4. 如图所示,在△ABC中,若cos B= 3/5,sin C= √2/2,AB= 5,则△ABC的面积是______.
]

解：过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ABD中，cos B=BD/AB=3/5，AB=5，
∴BD=AB·cos B=5×3/5=3，
AD=√(AB²-BD²)=√(5²-3²)=4。
在Rt△ACD中，sin C=AD/AC=√2/2，AD=4，
∴AC=AD/sin C=4/(√2/2)=4√2，
CD=√(AC²-AD²)=√[(4√2)²-4²]=4。
BC=BD+CD=3+4=7。
S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×7×4=14。
14

5. 如图所示,在菱形ABCD中,若对角线AC= 10 cm,BD= 6 cm,则tan∠BAD/2= .

1. 首先，根据菱形的性质：
菱形的对角线互相垂直且平分。设$AC$与$BD$相交于点$O$，则$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO = \frac{1}{2}BD$。
已知$AC = 10cm$，$BD = 6cm$，所以$AO=\frac{1}{2}×10 = 5cm$，$BO=\frac{1}{2}×6 = 3cm$。
因为$AC\perp BD$（菱形对角线性质），在$Rt\triangle ABO$中，$\angle BAO=\frac{1}{2}\angle BAD$。
2. 然后，根据正切函数的定义：
在$Rt\triangle ABO$中，$\tan\alpha=\frac{对边}{邻边}$（$\alpha$为锐角），对于$\angle BAO$，其对边为$BO$，邻边为$AO$。
所以$\tan\angle BAO=\tan\frac{\angle BAD}{2}=\frac{BO}{AO}$。
将$AO = 5cm$，$BO = 3cm$代入$\tan\frac{\angle BAD}{2}=\frac{BO}{AO}$，可得$\tan\frac{\angle BAD}{2}=\frac{3}{5}$。
故答案为$\frac{3}{5}$。

6. 如图所示,在Rt△ABC中,∠C= 90°,sin A= 3/5,D为AC上一点,∠BDC= 45°,DC= 6,求AB,AD的长.
]

解：在Rt△BDC中，∠C=90°，∠BDC=45°，DC=6
∵tan∠BDC=BC/DC，∠BDC=45°
∴tan45°=BC/6=1
∴BC=6
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5
∵sinA=BC/AB
∴3/5=6/AB
∴AB=10
∵AB=10，BC=6
∴AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8
∵DC=6
∴AD=AC-DC=8-6=2
答：AB的长为10，AD的长为2。

7. 如图所示,△ABC内接于⊙O,AB= AC,BD为⊙O的直径.过点A作AE⊥BD于点E,延长BD交AC的延长线于点F.
(1)若AE= 4,AB= 5,求⊙O的半径.
(2)若BD= 2DF,求sin∠ACB的值.
]

(1)解：设⊙O的半径为r，连接OA，
∵BD为直径，AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AE=4，AB=5，
∴BE=√(AB²-AE²)=√(5²-4²)=3，
则OE=OB-BE=r-3，
在Rt△AOE中，OA²=AE²+OE²，即r²=4²+(r-3)²，
解得r=25/6，
故⊙O的半径为25/6。
(2)解：设DF=x，则BD=2x，⊙O半径为x，
∴OD=OB-BD=x-2x=-x（此处应为OD=OB=半径x，BD=2x，则BO=OD=x，故OF=OD+DF=x+x=2x），
连接AD，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠AED=90°，
设AE=a，OE=b，则OA=OD=x，∴DE=OD-OE=x-b，
在Rt△AOE中，a²+b²=x²①，
在Rt△ADE中，a²+(x-b)²=AD²②，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
又∠ADB=∠ACB（同弧所对圆周角），∠F=∠F，
∴△FAD∽△FBA，
∴AD/AB=FD/FB=AD/AC，
FB=FD+BD=x+2x=3x，FD=x，
∴AD/AB=1/3，设AD=k，AB=3k，
在Rt△ABD中，AD²+AB²=BD²，即k²+(3k)²=(2x)²，
10k²=4x²，k²=2x²/5，
由△FAD∽△FBA得AD/AB=AF/BF=FD/AF，
∴AF²=FD·FB=x·3x=3x²，AF=√3x，
AC=AB=3k，FC=AF-AC=√3x-3k，
又由△FEC∽△FAB（过程略）或三角函数，
在Rt△AEF中，AE=a，EF=OE+OF=b+2x，AF=2x，
∴a²+(b+2x)²=(2x)²③，
联立①③：b²+4bx+4x²=4x²，b=-4x（舍）或b=-x/2，
代入①：a²+(x/2)²=x²，a²=3x²/4，a=(√3/2)x，
sin∠ACB=sin∠ADB=AE/AD=a/AD，
AD²=2x²/5，AD=√(2x²/5)=x√10/5，
a=√3x/2，
sin∠ACB=(√3x/2)/(x√10/5)=√30/4，
（注：正确简解：设半径为1，BD=2，DF=1，OF=OD+DF=2，设OE=m，AE=n，OA=1，
则AE²+OE²=1²，AE²+(OE+OF)²=AF²，AF²=DF·BF=1×3=3，
即n²+m²=1，n²+(m+2)²=3，解得m=-1/2，n=√3/2，
sin∠ABD=AE/AB=√3/2 / AB，AB=√(BE²+AE²)=√[(1+1/2)²+(√3/2)²]=√3，
∠ACB=∠ABD，sin∠ACB=√3/2 / √3=1/2，
故正确答案为1/2。）
（修正后(2)）解：设⊙O半径为1，则BD=2，DF=1，OF=OD+DF=1+1=2，
连接AD，∠BAD=90°，AE⊥BD，设AE=h，OE=t，
则OA=1，AE²+OE²=OA²，即h²+t²=1①，
AF²=FD·FB=1×(2+1)=3，AF=√3，
在Rt△AEF中，AE²+EF²=AF²，EF=OE+OF=t+2，
∴h²+(t+2)²=3②，
联立①②得t=-1/2，h=√3/2，
BE=OB+OE=1+1/2=3/2，
AB=√(BE²+AE²)=√[(3/2)²+(√3/2)²]=√3，
∠ACB=∠ABD，sin∠ACB=sin∠ABD=AE/AB=(√3/2)/√3=1/2，
故sin∠ACB的值为1/2。