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知识点一 最短路径问题
例 1 如图 1,直线 $ l $ 外有不重合的两点 $ A $,$ B $,在直线 $ l $ 上求作一点 $ C $,使得 $ AC + BC $ 的长度最小,作法如下：
①作点 $ B $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ B' $；
②连接 $ AB' $ 与直线 $ l $ 相交于点 $ C $,则点 $ C $ 为所求作的点。
在解决这个问题时没有运用到的知识或思想方法是(
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
例 1 如图 1,直线 $ l $ 外有不重合的两点 $ A $,$ B $,在直线 $ l $ 上求作一点 $ C $,使得 $ AC + BC $ 的长度最小,作法如下：
①作点 $ B $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ B' $；
②连接 $ AB' $ 与直线 $ l $ 相交于点 $ C $,则点 $ C $ 为所求作的点。
在解决这个问题时没有运用到的知识或思想方法是(
D
)A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
答案
D
解析
作点B关于直线l的对称点B'，将BC转化为B'C，体现转化思想；连接AB'与l交于点C，依据两点之间线段最短确定AC+BC最短；验证时，在l上任取异于C的点C'，利用三角形两边之和大于第三边（AC'+B'C' ＞ AB'）说明AC+BC最短。整个过程未涉及三角形外角性质。
例 2 如图 2,$ A $、$ B $ 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 $ MN $,使从 $ A $ 到 $ B $ 的路径 $ AMNB $ 最短的是选项中的(假定河的两岸是平行直线,桥要与河岸垂直)(
【思路导析】解题关键是利用平移,将问题转化为“两点之间,线段最短”的问题。
D
)【思路导析】解题关键是利用平移,将问题转化为“两点之间,线段最短”的问题。
答案
D
解析
将点A沿垂直于河岸的方向向下平移河的宽度得到点A'，连接A'B交河岸b于点N，过点N作MN垂直于河岸交河岸a于点M，此时路径AMNB最短。此时AM平行于BN（因平移性质，AM平行且等于A'N，A'N与BN共线）。
例 3 如图 3,点 $ P $ 是 $ \angle AOB $ 内任意一点,$ OP = 5\ cm $,点 $ M $ 和点 $ N $ 分别是射线 $ OA $ 和射线 $ OB $ 上的动点,$ \triangle PMN $ 的周长的最小值是 $ 5\ cm $,则 $ \angle AOB $ 的度数是(
A.$ 25^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 35^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $
B
)A.$ 25^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 35^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $
答案
B
解析
作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD交OA、OB于M、N。由对称性质得PM=DM，PN=CN，OP=OD=OC，∠DOA=∠POA，∠COB=∠POB。△PMN周长最小值为PM+PN+MN=DM+CN+MN=CD=5cm，OP=5cm，故OC=OD=CD=5cm，△OCD为等边三角形，∠COD=60°。∠AOB=1/2∠COD=30°。
