2. 如果把分式$\frac{□ y}{9x+y}$中的$x$和$y$都扩大为原来的2倍，那么分式的值也扩大为原来的2倍，则$□$的内容可能是（）

A.4
B.$9x^2$
C.$9x$
D.9

C

【分析】
我们可以按以下思路解题：1. 先设方框内的代数式为M，写出原分式；2. 根据题意把x、y都替换为原来的2倍，写出变化后的新分式并化简；3. 结合“新分式的值是原分式的2倍”这一条件列等式，化简得到M需要满足的变化规律；4. 逐一验证选项是否符合规律即可得到答案。解题时要注意：如果方框内的式子含有x，x扩大2倍时该式子也要对应变化，不能默认方框里是常数。
【解析】
设中的代数式为$M$，则原分式为$\frac{M· y}{9x+y}$。
当$x$和$y$都扩大为原来的2倍时，新的$x=2x$，新的$y=2y$，代入得新分式：
$\frac{M'· 2y}{9· 2x + 2y}$，其中$M'$是将$M$中的$x$替换为$2x$得到的代数式。
先化简分母：$9· 2x + 2y = 2(9x + y)$，因此新分式可化简为：
$\frac{2y· M'}{2(9x+y)} = \frac{M'· y}{9x+y}$
根据题意，新分式的值是原分式的2倍，因此有：
$\frac{M'· y}{9x+y} = 2× \frac{M· y}{9x+y}$
由于分式有意义时分母不为0，且$y≠0$，两边同时约去$\frac{y}{9x+y}$，可得：
$M' = 2M$，即方框内的代数式中x扩大为原来的2倍时，整个代数式的值也扩大为原来的2倍。
逐一验证选项：
A. 若$M=4$，则$M'=4$，$4≠2×4=8$，不符合；
B. 若$M=9x^2$，则$M'=9×(2x)^2=36x^2$，$36x^2≠2×9x^2=18x^2$，不符合；
C. 若$M=9x$，则$M'=9×2x=18x$，$18x=2×9x$，符合要求；
D. 若$M=9$，则$M'=9$，$9≠2×9=18$，不符合。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；代数式代入求值
【点评】
本题重点考查分式基本性质的应用，解题的易错点是容易默认方框内为常数，忽略其可能含有x的情况，做题时要仔细审题，结合选项判断式子的类型。
【难度系数】
0.7

3. 下列各式从左到右的变形中,正确的是 ()

A.$\frac{b}{a}=\frac{b^2}{a^2}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{a-1}{b-1}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{3a}{3b}$
D.$\frac{2a+b}{5a+b}=\frac{2}{5}$

C

【分析】
这道题考查分式基本性质的应用，解题思路是先明确分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。再逐个分析四个选项的变形是否符合该性质，对不符合的选项还可以通过举反例快速排除。
【解析】
我们根据分式的基本性质逐一判断选项：
A. $\frac{b}{a}$变形为$\frac{b^2}{a^2}$是分子乘$b$、分母乘$a$，乘的不是同一个整式，不符合分式基本性质，变形错误；
B. $\frac{a}{b}$变形为$\frac{a-1}{b-1}$是分子分母同时减1，不属于同乘或同除同一个不为0的整式，不符合性质，变形错误（例如$a=2,b=3$时，$\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$）；
C. $\frac{a}{b}$的分子分母同时乘不为0的数3，得到$\frac{3a}{3b}$，符合分式基本性质，变形正确；
D. $\frac{2a+b}{5a+b}$的分子分母是和的形式，没有公共的因式可以约分，不能直接消去$a$和$b$，变形错误（例如$a=1,b=1$时，$\frac{2×1+1}{5×1+1}=\frac{1}{2}≠\frac{2}{5}$）。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式变形判断
【点评】
本题是分式性质的常规基础题，主要易错点是容易混淆分式变形的规则，注意只有分子分母同时乘除同一个不为0的整式时分式的值才不变，分子分母加减相同数、直接消去多项式中的同类项都是常见的错误变形方式，做题时可通过举特例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8

4. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1)$\frac{-2x}{5y}=$；
(2)$\frac{-3a}{-7b}=$；
(3)$-\frac{10m}{-3n}=$.

4.(1)$-\frac{2x}{5y}$
(2)$\frac{3a}{7b}$
(3)$\frac{10m}{3n}$

【分析】
解题需要用到分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，三个符号中同时改变任意两个，分式的值保持不变。解题时先统计每个式子中负号的数量：若有2个负号，可直接抵消这两个负号，分式值不变；若只有1个负号，可将负号移到分式整体的最前面，保证分子分母不含负号即可。
【解析】
根据分式的符号法则求解：
(1) 原式仅分子带1个负号，将负号移到分式整体前方，得$\frac{-2x}{5y}=-\frac{2x}{5y}$；
(2) 原式分子、分母各带1个负号，共2个负号，同时抵消分子、分母的负号，得$\frac{-3a}{-7b}=\frac{3a}{7b}$；
(3) 原式分式本身、分母各带1个负号，共2个负号，同时抵消这两个负号，得$-\frac{10m}{-3n}=\frac{10m}{3n}$。
【答案】
(1)$-\frac{2x}{5y}$；(2)$\frac{3a}{7b}$；(3)$\frac{10m}{3n}$
【知识点】
分式的符号法则；分式的基本性质
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心是掌握分式符号变化的规律，注意变形前后必须保证分式的值不变，只要数清楚负号的数量，按照“奇负偶正”的规律处理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

5. 下列各式成立的是 （）

D

【分析】
本题考查分式的符号变形规律，解题思路如下：首先明确$b-a$和$a-b$互为相反数，即$b-a=-(a-b)$，再结合分式的符号变化规则：分式的分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变，逐一验证每个选项的等式是否成立即可。
【解析】
根据$b-a=-(a-b)$，逐个分析选项：
选项A：左边$\frac{c}{b-a}=\frac{c}{-(a-b)}=-\frac{c}{a-b}$，右边为$-\frac{c}{a+b}$，显然$-\frac{c}{a-b}≠-\frac{c}{a+b}$，等式不成立；
选项B：左边为$\frac{c}{a-b}$，右边为$-\frac{c}{a-b}$，仅当$c=0$时相等，一般情况不成立；
选项C：左边$\frac{c}{b-a}=-\frac{c}{a-b}$，右边$\frac{-c}{a+b}=-\frac{c}{a+b}$，显然$-\frac{c}{a-b}≠-\frac{c}{a+b}$，等式不成立；
选项D：左边$\frac{c}{b-a}=\frac{c}{-(a-b)}=-\frac{c}{a-b}$，和右边完全相等，等式成立。
【答案】
D
【知识点】
分式的符号法则；分式的基本性质
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心是掌握分式符号变化的规律，尤其要注意互为相反数的分母的变形，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7

6. 下列各式的变号中,正确的是（）


A.$\frac{x-y}{y-x}=-\frac{y-x}{x-y}$
B.$\frac{x-y}{y-x^2}=\frac{y-x}{y-x^2}$
C.$\frac{-x-1}{-y+1}=\frac{x-1}{y+1}$
D.$\frac{-x-y}{y-x}=-\frac{x+y}{y-x}$

D

【分析】
本题考查分式的符号变形规则，解题思路是依据“分式的分子、分母、分式本身三者的符号，改变其中任意两个，分式的值不变”的规律，逐个对四个选项的左右两边式子进行变形，对比判断是否相等即可。
【解析】
我们依次对各选项分析验证：
选项A：左边$\frac{x-y}{y-x}=\frac{x-y}{-(x-y)}=-1$；右边$-\frac{y-x}{x-y}=-\frac{-(x-y)}{x-y}=1$，左右两边不相等，A错误。
选项B：左边分子$x-y=-(y-x)$，分母不变，因此$\frac{x-y}{y-x^2}=-\frac{y-x}{y-x^2}$，和右边$\frac{y-x}{y-x^2}$不相等，B错误。
选项C：左边分子$-x-1=-(x+1)$，分母$-y+1=-(y-1)$，因此$\frac{-x-1}{-y+1}=\frac{-(x+1)}{-(y-1)}=\frac{x+1}{y-1}$，和右边$\frac{x-1}{y+1}$不相等，C错误。
选项D：左边分子$-x-y=-(x+y)$，分母不变，因此$\frac{-x-y}{y-x}=\frac{-(x+y)}{y-x}=-\frac{x+y}{y-x}$，和右边相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的基本性质 2.分式符号变化规则
【点评】
本题是分式符号变形的基础题型，解题的核心是掌握分式的符号变化规律，注意对分子或分母整体变号时，每一项都要改变符号，避免漏变部分项的符号导致判断错误。
【难度系数】
0.8

7. 不改变分式$\frac{0.2x - 1}{0.4x + 3}$的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（）

A.$\frac{x - 5}{2x + 15}$
B.$\frac{2x - 1}{4x + 3}$
C.$\frac{2x - 1}{4x + 30}$
D.$\frac{2x - 10}{4x + 3}$

A

【分析】
要解决这个问题，首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。观察分式的分子、分母的系数都是一位小数，要把系数化为整数，首先需要给分子、分母同时乘10（注意每一项都要乘10，不能漏乘常数项），得到整数系数的分式后，再看分子分母是否有公因数，若有则约分得到最简结果即可。
【解析】
根据分式的基本性质，将原分式的分子和分母同时乘以10（10≠0，分式的值不变）：
分子部分：$10×(0.2x - 1) = 10×0.2x - 10×1 = 2x - 10$
分母部分：$10×(0.4x + 3) = 10×0.4x + 10×3 = 4x + 30$
此时得到分式$\frac{2x - 10}{4x + 30}$，观察发现分子分母有公因数2，再给分子分母同时除以2（2≠0，分式的值不变）：
$\frac{(2x - 10)÷2}{(4x + 30)÷2} = \frac{x - 5}{2x + 15}$
因此所得结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 分式约分
【点评】
本题是分式基本性质的典型应用，解题易错点是漏乘分子或分母中的常数项，或是得到整数系数后忘记约分，做题时要注意每一步都要保证分子、分母的所有项同乘同除同一个非零数，才能保证分式的值不变。
【难度系数】
0.75

8.已知实数$a,b,c$满足$a+b=ab=c$,有下列结论:
①若$c≠0$,则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$;
②若$a=3$,则$b+c=9$;
③若$a=b=c$,则$abc=0$;
④若$a,b,c$中只有两个数相等,则$a+b+c=8$.
其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)

①③④

【分析】
我们根据题目给出的核心等量关系$a+b=ab=c$，逐个验证4个结论是否成立：①利用分式通分结合已知条件推导；②代入$a=3$求出$b、c$的值再计算$b+c$判断；③假设$a=b=c$，代入等式求解后判断$abc$的值；④分三种“只有两个数相等”的情况讨论，排除不符合的情况后计算$a+b+c$的值。
【解析】
我们逐一判断每个结论：
1. 验证结论①：
若$c≠0$，则$ab=c≠0$，即$a≠0$且$b≠0$，对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分得$\frac{a+b}{ab}$，已知$a+b=ab$，代入得$\frac{ab}{ab}=1$，故①正确。
2. 验证结论②：
若$a=3$，代入$a+b=ab$得$3+b=3b$，解得$b=\frac{3}{2}$，则$c=ab=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，所以$b+c=\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6≠9$，故②错误。
3. 验证结论③：
若$a=b=c$，代入$a+b=ab=c$得：$a+a=a· a=a$，即$2a=a^2=a$，由$2a=a$得$a=0$，则$b=c=0$，所以$abc=0×0×0=0$，故③正确。
4. 验证结论④：
若$a,b,c$中只有两个数相等，分三种情况讨论：
情况1：$a=b≠c$：代入$a+b=ab$得$2a=a^2$，解得$a=0$或$a=2$。若$a=0$，则$b=0$，$c=ab=0$，三者都相等，不符合要求；若$a=2$，则$b=2$，$c=ab=4$，符合只有两个数相等，此时$a+b+c=2+2+4=8$。
情况2：$a=c≠b$：由$ab=c=a$，若$a≠0$，两边同除以$a$得$b=1$，再代入$a+b=c=a$得$a+1=a$，等式不成立；若$a=0$，则$c=0$，由$a+b=c=0$得$b=0$，三者都相等，不符合要求。
情况3：$b=c≠a$：同情况2推导，可得不存在符合条件的取值。
综上只有$a=b=2,c=4$符合要求，$a+b+c=8$，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
分式的运算、等式的性质、分类讨论
【点评】
本题需要结合已知等量关系逐一验证结论，注意分类讨论时不要遗漏情况，同时要验证是否符合题目的限定条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.65

9. 用水清洗蔬菜上残留的农药,设用$x(x≥1)$单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为$\frac{1}{1+x}$.现有$a(a≥2)$单位量的水,可以一次清洗,也可以把水平均分成两份后分两次清洗.试问哪种方法清洗后,蔬菜上残留的农药量比较少?请说明理由.

把水平均分成两份分两次清洗后,蔬菜上残留的农药量比较少.
理由:设最先的农药量为1,用$a(a≥2)$单位量的水一次清洗后蔬菜上残留的农药量为$\frac{1}{a+1}$;把$a(a≥2)$单位量的水平均分成两份后分两次清洗,蔬菜上残留的农药量为$\frac{1}{\frac{a}{2}+1}$.
$\frac{1}{\frac{a}{2}+1}=\frac{1}{(\frac{a}{2}+1)^2}=\frac{1}{\frac{a^2}{4}+a+1}$.
$\because 0＜a+1＜\frac{a^2}{4}+a+1$,
$\therefore \frac{1}{a+1}＞\frac{1}{(\frac{a}{2}+1)^2}$.
$\therefore$ 把水平均分成两份分两次清洗后,蔬菜上残留的农药量比较少.

【分析】
要比较两种清洗方式的残留农药量，可按以下思路思考：①因为题目只涉及残留量的比例关系，所以可以设初始农药量为1简化计算；②分别根据题目给出的残留比例公式，计算出一次性清洗、分两次清洗后的残留农药量表达式；③由于两个残留量表达式分子都是1，只需比较分母大小，根据“分子相同的正分数，分母越大，分数值越小”的性质，即可判断哪种方式残留更少。
【解析】
设清洗前蔬菜上的农药量为1。
1. 若一次性用$a(a≥2)$单位量的水清洗，根据题意，残留的农药量为：
$y_1=\frac{1}{1+a}$
2. 若把$a$单位量的水平均分成两份，每份为$\frac{a}{2}$单位量，分两次清洗：
第一次用$\frac{a}{2}$单位量的水清洗后，残留农药量为$\frac{1}{1+\frac{a}{2}}$；
第二次再用$\frac{a}{2}$单位量的水清洗后，残留的农药量为第一次残留量乘$\frac{1}{1+\frac{a}{2}}$，即：
$y_2=\frac{1}{1+\frac{a}{2}} × \frac{1}{1+\frac{a}{2}}=\frac{1}{(1+\frac{a}{2})^2}$
展开分母得：$(1+\frac{a}{2})^2=1+a+\frac{a^2}{4}$
3. 比较$y_1$和$y_2$的大小：
$\because a≥2$，$\therefore \frac{a^2}{4}＞0$，可得$1+a ＜ 1+a+\frac{a^2}{4}$
又$\because y_1$和$y_2$都是正数，分子都为1，分母越大分数值越小
$\therefore \frac{1}{1+a} ＞ \frac{1}{1+a+\frac{a^2}{4}}$，即$y_1＞y_2$
【答案】
把水平均分成两份分两次清洗后，蔬菜上残留的农药量比较少。
【知识点】
1. 分式的大小比较
2. 分式的实际应用
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题结合生活中的清洗农药场景考查分式的应用，解题的关键是合理设初始量，准确写出两种清洗方案下的残留量表达式，再利用分式大小比较的规则判断结果，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7