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知识点3）分式中的系数化整问题
利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了系数化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件。
分式的分子与分母中各项系数化“整”的方法：
当分式的分子与分母中各项系数是分数时，分式的分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的
利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了系数化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件。
分式的分子与分母中各项系数化“整”的方法：
当分式的分子与分母中各项系数是分数时，分式的分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的
最小公倍数
；当分式的分子与分母中各项系数是小数时，一般情况下，分式的分子、分母同乘10的正整数倍
。答案
当分式的分子与分母中各项系数是分数时，分式的分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的最小公倍数；当分式的分子与分母中各项系数是小数时，一般情况下，分式的分子、分母同乘10的正整数倍。
解析
【分析】
解题时首先回忆分式的基本性质，明确系数化整的前提是不改变分式的值，因此分子分母需要同乘一个不为0的数。首先思考分数系数化整的要求：要把所有分数的分母消去转化为整数，就要找所有分数分母的公共倍数，为了计算简便，选择最小的公共倍数也就是最小公倍数。再思考小数系数化整的要求：小数是十进制的分数，一位小数对应分母10、两位对应分母100，以此类推，所以只需要乘10的正整数倍就可以把小数转化为整数，符合化整要求。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
1. 当分子分母各项系数为分数时，要将系数化为整数，需要让乘的数可以整除所有分数的分母，选择所有分母的最小公倍数，既能完成化整，又能让计算量最小。
2. 当分子分母各项系数为小数时，小数的计数单位对应10、100、1000……等10的正整数次幂，因此同乘10的正整数倍（如一位小数乘10、两位小数乘100等），即可将小数系数转化为整数。
【答案】
当分式的分子与分母中各项系数是分数时，分式的分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的最小公倍数；当分式的分子与分母中各项系数是小数时，一般情况下，分式的分子、分母同乘10的正整数倍。
【知识点】
分式的基本性质；分式系数化整方法
【点评】
本题是分式运算的基础概念题，主要考查分式系数化整的操作规则，是后续分式通分、约分、四则运算的重要铺垫，解题关键是牢记变形过程要符合分式的基本性质，保证分式值不变。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆分式的基本性质，明确系数化整的前提是不改变分式的值，因此分子分母需要同乘一个不为0的数。首先思考分数系数化整的要求：要把所有分数的分母消去转化为整数，就要找所有分数分母的公共倍数，为了计算简便，选择最小的公共倍数也就是最小公倍数。再思考小数系数化整的要求：小数是十进制的分数，一位小数对应分母10、两位对应分母100，以此类推，所以只需要乘10的正整数倍就可以把小数转化为整数，符合化整要求。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
1. 当分子分母各项系数为分数时，要将系数化为整数，需要让乘的数可以整除所有分数的分母，选择所有分母的最小公倍数，既能完成化整，又能让计算量最小。
2. 当分子分母各项系数为小数时，小数的计数单位对应10、100、1000……等10的正整数次幂，因此同乘10的正整数倍（如一位小数乘10、两位小数乘100等），即可将小数系数转化为整数。
【答案】
当分式的分子与分母中各项系数是分数时，分式的分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的最小公倍数；当分式的分子与分母中各项系数是小数时，一般情况下，分式的分子、分母同乘10的正整数倍。
【知识点】
分式的基本性质；分式系数化整方法
【点评】
本题是分式运算的基础概念题，主要考查分式系数化整的操作规则，是后续分式通分、约分、四则运算的重要铺垫，解题关键是牢记变形过程要符合分式的基本性质，保证分式值不变。
【难度系数】
0.9
例 不改变分式的值,使下列分式的分子和分母中都不含“-”号.
(1)$\dfrac{-3b}{2a}$;(2)$\dfrac{5y}{-7x^2}$;(3)$\dfrac{-a-2b}{2a+b}$.
分析:在分子的符号、分母的符号、分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个,分式的值不变.
解:(1)原式$=-\dfrac{3b}{2a}$;
(2)原式$=-\dfrac{5y}{7x^2}$;
(3)原式$=-\dfrac{a+2b}{2a+b}$.
方法点拨 在分式的符号化简这类题目中容易出现的错误是把分子、分母的项的符号,特别是首项的符号当成分子或分母的符号.
(1)$\dfrac{-3b}{2a}$;(2)$\dfrac{5y}{-7x^2}$;(3)$\dfrac{-a-2b}{2a+b}$.
分析:在分子的符号、分母的符号、分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个,分式的值不变.
解:(1)原式$=-\dfrac{3b}{2a}$;
(2)原式$=-\dfrac{5y}{7x^2}$;
(3)原式$=-\dfrac{a+2b}{2a+b}$.
方法点拨 在分式的符号化简这类题目中容易出现的错误是把分子、分母的项的符号,特别是首项的符号当成分子或分母的符号.
答案
解：
根据分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。
(1) 同时改变分子的符号和分式本身的符号，得
原式$=-\dfrac{3b}{2a}$；
(2) 同时改变分母的符号和分式本身的符号，得
原式$=-\dfrac{5y}{7x^2}$；
(3) 先将分子变形为$-a-2b=-(a+2b)$，再同时改变分子的整体符号和分式本身的符号，得
原式$=-\dfrac{a+2b}{2a+b}$。
根据分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。
(1) 同时改变分子的符号和分式本身的符号，得
原式$=-\dfrac{3b}{2a}$；
(2) 同时改变分母的符号和分式本身的符号，得
原式$=-\dfrac{5y}{7x^2}$；
(3) 先将分子变形为$-a-2b=-(a+2b)$，再同时改变分子的整体符号和分式本身的符号，得
原式$=-\dfrac{a+2b}{2a+b}$。
解析
【分析】
解决本题的核心依据是分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号这三者中，同时改变任意两个，分式的值不变。解题时先观察每个分式负号的位置：(1)负号在分子上，可同时改变分子和分式本身的符号去掉分子的负号；(2)负号在分母上，可同时改变分母和分式本身的符号去掉分母的负号；(3)负号在分子整体前，先把分子的多项式提取公因式-1转化为整体带负号的形式，再同时改变分子整体和分式本身的符号去负，注意不能仅改变分子中某一项的符号，否则会改变分式的值。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。
(1) 同时改变分子的符号和分式本身的符号，得：
原式$=-\dfrac{3b}{2a}$；
(2) 同时改变分母的符号和分式本身的符号，得：
原式$=-\dfrac{5y}{7x^2}$；
(3) 先将分子变形为$-a-2b=-(a+2b)$，再同时改变分子的整体符号和分式本身的符号，得：
原式$=-\dfrac{a+2b}{2a+b}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{3b}{2a}$；(2)$-\dfrac{5y}{7x^2}$；(3)$-\dfrac{a+2b}{2a+b}$
【知识点】
分式的符号法则，分式的基本性质
【点评】
本题属于分式符号化简的基础题型，解题的关键是准确理解分式符号法则的应用规则，需要注意当分子或分母为多项式时，要将其看作一个整体处理符号，不能只改变多项式中某一项的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心依据是分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号这三者中，同时改变任意两个，分式的值不变。解题时先观察每个分式负号的位置：(1)负号在分子上，可同时改变分子和分式本身的符号去掉分子的负号；(2)负号在分母上，可同时改变分母和分式本身的符号去掉分母的负号；(3)负号在分子整体前，先把分子的多项式提取公因式-1转化为整体带负号的形式，再同时改变分子整体和分式本身的符号去负，注意不能仅改变分子中某一项的符号，否则会改变分式的值。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。
(1) 同时改变分子的符号和分式本身的符号，得：
原式$=-\dfrac{3b}{2a}$；
(2) 同时改变分母的符号和分式本身的符号，得：
原式$=-\dfrac{5y}{7x^2}$；
(3) 先将分子变形为$-a-2b=-(a+2b)$，再同时改变分子的整体符号和分式本身的符号，得：
原式$=-\dfrac{a+2b}{2a+b}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{3b}{2a}$；(2)$-\dfrac{5y}{7x^2}$；(3)$-\dfrac{a+2b}{2a+b}$
【知识点】
分式的符号法则，分式的基本性质
【点评】
本题属于分式符号化简的基础题型，解题的关键是准确理解分式符号法则的应用规则，需要注意当分子或分母为多项式时，要将其看作一个整体处理符号，不能只改变多项式中某一项的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
在求$1+6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+6^8+6^9$的值时,小林发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍,于是她设:
$S=1+6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+6^8+6^9$, ①
然后在①式的两边都乘6,得
$6S=6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+6^8+6^9+6^{10}$, ②
由②-①,得$6S-S=6^{10}-1$,即$5S=6^{10}-1$,所以$S=\frac{6^{10}-1}{5}$.得出答案后,爱动脑筋的小林想:如果把“6”换成字母“a”($a≠0$且$a≠1$),能否求出$1+a+a^2+a^3+a^4+···+a^{2026}$的值?你的答案是 (
A.$\frac{a^{2026}-1}{a}$
B.$\frac{a^{2027}-1}{a-1}$
C.$\frac{a^{2027}-1}{a}$
D.$a^{2025}-1$
$S=1+6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+6^8+6^9$, ①
然后在①式的两边都乘6,得
$6S=6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6+6^7+6^8+6^9+6^{10}$, ②
由②-①,得$6S-S=6^{10}-1$,即$5S=6^{10}-1$,所以$S=\frac{6^{10}-1}{5}$.得出答案后,爱动脑筋的小林想:如果把“6”换成字母“a”($a≠0$且$a≠1$),能否求出$1+a+a^2+a^3+a^4+···+a^{2026}$的值?你的答案是 (
B
)A.$\frac{a^{2026}-1}{a}$
B.$\frac{a^{2027}-1}{a-1}$
C.$\frac{a^{2027}-1}{a}$
D.$a^{2025}-1$
答案
B
解析
【分析】
这是一道方法迁移类的求和题，我们可以直接仿照题干给出的错位相减的方法求解：第一步先设所求式子的和为S；第二步利用后一项是前一项a倍的特点，给等式两边同时乘a，得到新的等式，此时新等式和原式有大量相同的中间项；第三步将两个等式相减，消去相同的中间项，再整理化简就能求出S的值，注意题目给出a≠1，所以可以把a-1当作除数进行计算。
【解析】
解：设$ S = 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{2026} $ ①
在①式两边同时乘$ a $（$ a ≠ 0 $），得：
$ aS = a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{2026} + a^{2027} $ ②
用②式减去①式，得：
$ aS - S = a^{2027} - 1 $
整理左边得$ (a - 1)S = a^{2027} - 1 $
因为$ a ≠ 1 $，所以$ a - 1 ≠ 0 $，两边同时除以$ a - 1 $，得：
$ S = \frac{a^{2027} - 1}{a - 1} $
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
错位相减法求和；整式加减运算；分式化简
【点评】
本题属于材料阅读型题目，核心考查对新解题方法的迁移应用能力，解题的关键是读懂题干给出的错位相减步骤，计算时要注意区分两个等式相减后剩余的首项和末项，避免指数写错。
【难度系数】
0.7
这是一道方法迁移类的求和题，我们可以直接仿照题干给出的错位相减的方法求解：第一步先设所求式子的和为S；第二步利用后一项是前一项a倍的特点，给等式两边同时乘a，得到新的等式，此时新等式和原式有大量相同的中间项；第三步将两个等式相减，消去相同的中间项，再整理化简就能求出S的值，注意题目给出a≠1，所以可以把a-1当作除数进行计算。
【解析】
解：设$ S = 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{2026} $ ①
在①式两边同时乘$ a $（$ a ≠ 0 $），得：
$ aS = a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{2026} + a^{2027} $ ②
用②式减去①式，得：
$ aS - S = a^{2027} - 1 $
整理左边得$ (a - 1)S = a^{2027} - 1 $
因为$ a ≠ 1 $，所以$ a - 1 ≠ 0 $，两边同时除以$ a - 1 $，得：
$ S = \frac{a^{2027} - 1}{a - 1} $
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
错位相减法求和；整式加减运算；分式化简
【点评】
本题属于材料阅读型题目，核心考查对新解题方法的迁移应用能力，解题的关键是读懂题干给出的错位相减步骤，计算时要注意区分两个等式相减后剩余的首项和末项，避免指数写错。
【难度系数】
0.7
1. 填空：
(1)$\frac{a^2}{2bc}=\frac{(\quad)}{2b^2c^2};$
(2)$\frac{x}{x^2-2x}=\frac{(\quad)}{x-2};$
(3)$\frac{(\quad)}{3x}=\frac{5xy^2}{3x^2y};$
(4)$\frac{y+2}{y^2-4}=\frac{1}{(\quad)}.$
(1)$\frac{a^2}{2bc}=\frac{(\quad)}{2b^2c^2};$
(2)$\frac{x}{x^2-2x}=\frac{(\quad)}{x-2};$
(3)$\frac{(\quad)}{3x}=\frac{5xy^2}{3x^2y};$
(4)$\frac{y+2}{y^2-4}=\frac{1}{(\quad)}.$
答案
1.(1)$a^2bc$
(2)$1$
(3)$5y$
(4)$y-2$
(2)$1$
(3)$5y$
(4)$y-2$
解析
【分析】
这组填空题考查分式基本性质的应用，解题核心思路为：先观察等式中已知的分子或分母的变化规律（乘或除以哪个不为0的整式），再根据“分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”的性质，对对应的分子或分母做相同运算，即可求出括号内的整式，运算时要注意分母不为0的隐含条件，确保乘除的整式不为0。
【解析】
(1) 观察分母：右边分母$2b^2c^2 = 2bc · bc$，分母乘了$bc$（由分式有意义可知$b≠0,c≠0$，故$bc≠0$），根据分式基本性质，分子也要乘$bc$，即$a^2 · bc = a^2bc$。
(2) 先对左边分母因式分解：$x^2-2x = x(x-2)$，观察分母：右边分母$x-2 = x(x-2) ÷ x$，分母除以了$x$（由分式有意义可知$x(x-2)≠0$，即$x≠0$且$x≠2$，故可除以$x$），分子也要除以$x$，即$x ÷ x = 1$。
(3) 观察分母：左边分母$3x = 3x^2y ÷ xy$，分母除以了$xy$（由分式有意义可知$3x^2y≠0$，即$x≠0,y≠0$，故$xy≠0$可除），右边分子也要除以$xy$，即$5xy^2 ÷ xy = 5y$。
(4) 先对左边分母因式分解：$y^2-4=(y+2)(y-2)$，观察分子：右边分子$1=(y+2)÷(y+2)$，分子除以了$y+2$（由分式有意义可知$y^2-4≠0$，即$y≠\pm2$，故$y+2≠0$可除），分母也要除以$y+2$，即$(y+2)(y-2)÷(y+2)=y-2$。
【答案】
(1)$a^2bc$；(2)$1$；(3)$5y$；(4)$y-2$
【知识点】
分式基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题的关键是准确判断已知分子或分母的变化规律，再对对应的部分做相同的乘除运算，解题时注意分母不为0的隐含限制，避免出现无意义的运算。
【难度系数】
0.9
这组填空题考查分式基本性质的应用，解题核心思路为：先观察等式中已知的分子或分母的变化规律（乘或除以哪个不为0的整式），再根据“分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”的性质，对对应的分子或分母做相同运算，即可求出括号内的整式，运算时要注意分母不为0的隐含条件，确保乘除的整式不为0。
【解析】
(1) 观察分母：右边分母$2b^2c^2 = 2bc · bc$，分母乘了$bc$（由分式有意义可知$b≠0,c≠0$，故$bc≠0$），根据分式基本性质，分子也要乘$bc$，即$a^2 · bc = a^2bc$。
(2) 先对左边分母因式分解：$x^2-2x = x(x-2)$，观察分母：右边分母$x-2 = x(x-2) ÷ x$，分母除以了$x$（由分式有意义可知$x(x-2)≠0$，即$x≠0$且$x≠2$，故可除以$x$），分子也要除以$x$，即$x ÷ x = 1$。
(3) 观察分母：左边分母$3x = 3x^2y ÷ xy$，分母除以了$xy$（由分式有意义可知$3x^2y≠0$，即$x≠0,y≠0$，故$xy≠0$可除），右边分子也要除以$xy$，即$5xy^2 ÷ xy = 5y$。
(4) 先对左边分母因式分解：$y^2-4=(y+2)(y-2)$，观察分子：右边分子$1=(y+2)÷(y+2)$，分子除以了$y+2$（由分式有意义可知$y^2-4≠0$，即$y≠\pm2$，故$y+2≠0$可除），分母也要除以$y+2$，即$(y+2)(y-2)÷(y+2)=y-2$。
【答案】
(1)$a^2bc$；(2)$1$；(3)$5y$；(4)$y-2$
【知识点】
分式基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题的关键是准确判断已知分子或分母的变化规律，再对对应的部分做相同的乘除运算，解题时注意分母不为0的隐含限制，避免出现无意义的运算。
【难度系数】
0.9
