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12. (★★)小嘉说:将二次函数$y=x^2$的图象平移或翻折后经过点$(2,0)$有4种方法：
①向右平移2个单位长度；
②先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④先沿$x$轴翻折，再向上平移4个单位长度.
你认为小嘉说的方法正确的有 【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①向右平移2个单位长度；
②先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④先沿$x$轴翻折，再向上平移4个单位长度.
你认为小嘉说的方法正确的有 【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
这道题考查二次函数图象的平移、翻折变换规律，解题思路是先根据每种变换规则写出变换后的二次函数解析式，再将点$(2,0)$代入解析式验证，若等式成立则说明该变换后的图象经过该点，最后统计正确的方法数即可。解题时要牢记平移“左加右减、上加下减”的规则，沿x轴翻折时解析式的整体符号要改变。
【解析】
我们逐一验证4种方法：
① 二次函数$y=x^2$向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的平移规则，得到解析式为$y=(x-2)^2$。将$x=2$代入得：$y=(2-2)^2=0$，图象经过点$(2,0)$，方法①正确。
② 先向右平移1个单位长度，得到解析式为$y=(x-1)^2$，再向下平移1个单位长度，根据“上加下减”规则，得到解析式为$y=(x-1)^2 -1$。将$x=2$代入得：$y=(2-1)^2 -1=1-1=0$，图象经过点$(2,0)$，方法②正确。
③ 向下平移4个单位长度，得到解析式为$y=x^2 -4$。将$x=2$代入得：$y=2^2 -4=4-4=0$，图象经过点$(2,0)$，方法③正确。
④ 先沿x轴翻折，翻折后图象上的点纵坐标变为原来的相反数，故解析式变为$y=-x^2$，再向上平移4个单位长度，得到解析式为$y=-x^2 +4$。将$x=2$代入得：$y=-2^2 +4=-4+4=0$，图象经过点$(2,0)$，方法④正确。
综上，4种方法都正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数图象的翻折；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，核心是熟练掌握平移和翻折对应的解析式变化规律，通过代入点坐标验证即可判断正误，解题时注意变换顺序对解析式的影响，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次函数图象的平移、翻折变换规律，解题思路是先根据每种变换规则写出变换后的二次函数解析式，再将点$(2,0)$代入解析式验证，若等式成立则说明该变换后的图象经过该点，最后统计正确的方法数即可。解题时要牢记平移“左加右减、上加下减”的规则，沿x轴翻折时解析式的整体符号要改变。
【解析】
我们逐一验证4种方法：
① 二次函数$y=x^2$向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的平移规则，得到解析式为$y=(x-2)^2$。将$x=2$代入得：$y=(2-2)^2=0$，图象经过点$(2,0)$，方法①正确。
② 先向右平移1个单位长度，得到解析式为$y=(x-1)^2$，再向下平移1个单位长度，根据“上加下减”规则，得到解析式为$y=(x-1)^2 -1$。将$x=2$代入得：$y=(2-1)^2 -1=1-1=0$，图象经过点$(2,0)$，方法②正确。
③ 向下平移4个单位长度，得到解析式为$y=x^2 -4$。将$x=2$代入得：$y=2^2 -4=4-4=0$，图象经过点$(2,0)$，方法③正确。
④ 先沿x轴翻折，翻折后图象上的点纵坐标变为原来的相反数，故解析式变为$y=-x^2$，再向上平移4个单位长度，得到解析式为$y=-x^2 +4$。将$x=2$代入得：$y=-2^2 +4=-4+4=0$，图象经过点$(2,0)$，方法④正确。
综上，4种方法都正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数图象的翻折；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，核心是熟练掌握平移和翻折对应的解析式变化规律，通过代入点坐标验证即可判断正误，解题时注意变换顺序对解析式的影响，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
13. (★★)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线$y=a(x-m)^2+n$的顶点在线段AB上运动(抛物线随顶点一起平移),与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解题时首先明确：抛物线平移过程中二次项系数a保持不变，且顶点在线段AB上运动时顶点纵坐标恒为4。①要使点C的横坐标最小，抛物线顶点应处于最左侧的A点，此时已知C点横坐标为-3，代入顶点式即可求出a的值；②要使点D的横坐标最大，抛物线顶点应移动到最右侧的B点，将求得的a和B点坐标代入顶点式，令y=0求解，即可得到D点的最大横坐标。
【解析】
1. 求二次项系数a：
当点C的横坐标取最小值-3时，抛物线顶点为A(1,4)，此时抛物线解析式为：
$y=a(x-1)^2+4$
将C(-3,0)代入解析式得：
$0=a(-3-1)^2+4$
$16a+4=0$
解得$a=-\frac{1}{4}$
2. 求D点横坐标最大值：
当点D的横坐标取最大值时，抛物线顶点移动到B(4,4)，此时抛物线解析式为：
$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$
令$y=0$，解方程：
$0=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$
移项得：$(x-4)^2=16$
开方得：$x-4=\pm4$
解得$x_1=8$，$x_2=0$
因为C在D左侧，所以D点横坐标为8。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数顶点式；二次函数与x轴交点
【点评】
本题解题的核心是抓住抛物线平移时二次项系数不变的特点，准确判断C点横坐标最小时、D点横坐标最大时对应的抛物线顶点位置，代入特殊点坐标求解即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：抛物线平移过程中二次项系数a保持不变，且顶点在线段AB上运动时顶点纵坐标恒为4。①要使点C的横坐标最小，抛物线顶点应处于最左侧的A点，此时已知C点横坐标为-3，代入顶点式即可求出a的值；②要使点D的横坐标最大，抛物线顶点应移动到最右侧的B点，将求得的a和B点坐标代入顶点式，令y=0求解，即可得到D点的最大横坐标。
【解析】
1. 求二次项系数a：
当点C的横坐标取最小值-3时，抛物线顶点为A(1,4)，此时抛物线解析式为：
$y=a(x-1)^2+4$
将C(-3,0)代入解析式得：
$0=a(-3-1)^2+4$
$16a+4=0$
解得$a=-\frac{1}{4}$
2. 求D点横坐标最大值：
当点D的横坐标取最大值时，抛物线顶点移动到B(4,4)，此时抛物线解析式为：
$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$
令$y=0$，解方程：
$0=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$
移项得：$(x-4)^2=16$
开方得：$x-4=\pm4$
解得$x_1=8$，$x_2=0$
因为C在D左侧，所以D点横坐标为8。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数顶点式；二次函数与x轴交点
【点评】
本题解题的核心是抓住抛物线平移时二次项系数不变的特点，准确判断C点横坐标最小时、D点横坐标最大时对应的抛物线顶点位置，代入特殊点坐标求解即可。
【难度系数】
0.6
14. (★★)在一次羽毛球赛中,甲运动员在离地面1 m的A点处发球,羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分.当球运动到最高点时,离甲运动员站立地点O的水平距离为4 m,其高度为$\frac{21}{5}$ m. 在离点O水平距离5 m处,放置一个高1.55 m的球网BC,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.解答下列问题:
(1)求这段抛物线对应的函数解析式(不要求写自变量的取值范围);
(2)试通过计算判断此球能否过网.
(1)求这段抛物线对应的函数解析式(不要求写自变量的取值范围);
(2)试通过计算判断此球能否过网.
答案
解：
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{21}{5})$，
设这段抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+\frac{21}{5}$，
将点$A(0,1)$代入解析式，得：
$16a + \frac{21}{5} = 1$
解得$a=-\frac{1}{5}$，
因此这段抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{21}{5}$
整理得：
$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x+1$
(2) 当$x=5$时，代入解析式得：
$y=-\frac{1}{5}×(5-4)^2+\frac{21}{5}=4$
因为$4＞1.55$，
所以此球能过网。
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{21}{5})$，
设这段抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+\frac{21}{5}$，
将点$A(0,1)$代入解析式，得：
$16a + \frac{21}{5} = 1$
解得$a=-\frac{1}{5}$，
因此这段抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{21}{5}$
整理得：
$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x+1$
(2) 当$x=5$时，代入解析式得：
$y=-\frac{1}{5}×(5-4)^2+\frac{21}{5}=4$
因为$4＞1.55$，
所以此球能过网。
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式时，已知抛物线的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，可减少计算量；已知发球点A在抛物线上，坐标为(0,1)，将其代入所设顶点式即可求出未知系数a，进而得到完整的函数解析式。
(2) 判断球能否过网，本质是求水平距离为5m（即x=5）时羽毛球的飞行高度，将x=5代入解析式求出对应的y值，再和球网高度1.55m比较，若y大于1.55则能过网，反之不能。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{21}{5})$，
设抛物线的函数解析式为顶点式：$y=a(x-4)^2+\frac{21}{5}$（$a≠0$），
已知抛物线过点$A(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入解析式得：
$1=a(0-4)^2+\frac{21}{5}$，即$16a+\frac{21}{5}=1$，
解得$a=-\frac{1}{5}$，
代入顶点式得解析式为$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{21}{5}$，
整理为一般式为：$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x+1$。
(2) 球网所在位置的横坐标为$x=5$，将$x=5$代入解析式：
$y=-\frac{1}{5}×(5-4)^2+\frac{21}{5}=\frac{-1+21}{5}=4$，
因为$4\mathrm{m}＞1.55\mathrm{m}$，所以此球能过网。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x+1$（或$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{21}{5}$）
(2) 此球能过网
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在体育运动场景中的实际应用，解题核心是合理选择二次函数的解析式形式简化计算，再通过代入求值结合实际条件判断结果，属于基础应用型题目，掌握二次函数的基本性质即可求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求解抛物线解析式时，已知抛物线的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，可减少计算量；已知发球点A在抛物线上，坐标为(0,1)，将其代入所设顶点式即可求出未知系数a，进而得到完整的函数解析式。
(2) 判断球能否过网，本质是求水平距离为5m（即x=5）时羽毛球的飞行高度，将x=5代入解析式求出对应的y值，再和球网高度1.55m比较，若y大于1.55则能过网，反之不能。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{21}{5})$，
设抛物线的函数解析式为顶点式：$y=a(x-4)^2+\frac{21}{5}$（$a≠0$），
已知抛物线过点$A(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入解析式得：
$1=a(0-4)^2+\frac{21}{5}$，即$16a+\frac{21}{5}=1$，
解得$a=-\frac{1}{5}$，
代入顶点式得解析式为$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{21}{5}$，
整理为一般式为：$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x+1$。
(2) 球网所在位置的横坐标为$x=5$，将$x=5$代入解析式：
$y=-\frac{1}{5}×(5-4)^2+\frac{21}{5}=\frac{-1+21}{5}=4$，
因为$4\mathrm{m}＞1.55\mathrm{m}$，所以此球能过网。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x+1$（或$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{21}{5}$）
(2) 此球能过网
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在体育运动场景中的实际应用，解题核心是合理选择二次函数的解析式形式简化计算，再通过代入求值结合实际条件判断结果，属于基础应用型题目，掌握二次函数的基本性质即可求解。
【难度系数】
0.8
15. (★★★)已知二次函数$y=2(x-1)^2 -3$在$1≤x≤a$时，y取得的最大值为15，则a的值为.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
首先分析给定二次函数的基本性质：该函数为顶点式，二次项系数为2＞0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，由此可推得当x≥1时，y随x的增大而增大。题目给定的自变量取值区间是1≤x≤a，因此该区间内y的最大值会出现在区间右端点x=a处。接下来只需将x=a、y=15代入函数解析式，解方程求出a的取值，再结合a≥1的区间要求舍去不符合题意的解即可。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-1)^2 -3$，解题步骤如下：
1. 分析函数增减性：二次项系数$2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大。
2. 确定最大值对应点：在$1≤ x≤ a$区间内，y的最大值在$x=a$处取得，此时$y=15$。
3. 代入解方程：
将$x=a$、$y=15$代入解析式得：
$\begin{aligned}2(a-1)^2 -3 &= 15 \\2(a-1)^2 &= 18 \\(a-1)^2 &=9 \\a-1&=\pm3\end{aligned}$
解得$a=4$或$a=-2$。
4. 检验解的合理性：由于区间要求$a≥1$，因此$a=-2$不符合要求，舍去。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数区间最值求解
【点评】
本题核心考查二次函数在给定区间的最值计算，解题关键是结合抛物线开口方向和对称轴，判断区间内的函数增减性，准确定位最值对应的自变量取值，求解后注意结合区间范围筛选合理的解。
【难度系数】
0.65
首先分析给定二次函数的基本性质：该函数为顶点式，二次项系数为2＞0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，由此可推得当x≥1时，y随x的增大而增大。题目给定的自变量取值区间是1≤x≤a，因此该区间内y的最大值会出现在区间右端点x=a处。接下来只需将x=a、y=15代入函数解析式，解方程求出a的取值，再结合a≥1的区间要求舍去不符合题意的解即可。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-1)^2 -3$，解题步骤如下：
1. 分析函数增减性：二次项系数$2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大。
2. 确定最大值对应点：在$1≤ x≤ a$区间内，y的最大值在$x=a$处取得，此时$y=15$。
3. 代入解方程：
将$x=a$、$y=15$代入解析式得：
$\begin{aligned}2(a-1)^2 -3 &= 15 \\2(a-1)^2 &= 18 \\(a-1)^2 &=9 \\a-1&=\pm3\end{aligned}$
解得$a=4$或$a=-2$。
4. 检验解的合理性：由于区间要求$a≥1$，因此$a=-2$不符合要求，舍去。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数区间最值求解
【点评】
本题核心考查二次函数在给定区间的最值计算，解题关键是结合抛物线开口方向和对称轴，判断区间内的函数增减性，准确定位最值对应的自变量取值，求解后注意结合区间范围筛选合理的解。
【难度系数】
0.65
16. (★★★)如图, 在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,2)$,点B的坐标为$(4,2)$. 若抛物线 $y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$($h,k$为常数)与线段AB交于C,D两点,且 $CD=\dfrac{1}{2}AB$,则k的值为.
答案
解：
∵ 点A坐标为$(0,2)$，点B坐标为$(4,2)$
∴ $AB = 4-0 = 4$
∴ $CD = \dfrac{1}{2}AB = 2$
将$y=2$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$，得：
$2 = -\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$
整理得：$(x-h)^2 = \dfrac{2(k-2)}{3}$
解得方程的两个根为：
$x_1 = h + \sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$，$x_2 = h - \sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$
∴ $CD = x_1 - x_2 = 2\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$
代入$CD=2$，得：
$2\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}} = 2$
两边同除以2，得：
$\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}} = 1$
两边平方，得：
$\dfrac{2(k-2)}{3} = 1$
解得：$k = \dfrac{7}{2}$
$\dfrac{7}{2}$
∵ 点A坐标为$(0,2)$，点B坐标为$(4,2)$
∴ $AB = 4-0 = 4$
∴ $CD = \dfrac{1}{2}AB = 2$
将$y=2$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$，得：
$2 = -\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$
整理得：$(x-h)^2 = \dfrac{2(k-2)}{3}$
解得方程的两个根为：
$x_1 = h + \sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$，$x_2 = h - \sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$
∴ $CD = x_1 - x_2 = 2\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$
代入$CD=2$，得：
$2\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}} = 2$
两边同除以2，得：
$\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}} = 1$
两边平方，得：
$\dfrac{2(k-2)}{3} = 1$
解得：$k = \dfrac{7}{2}$
$\dfrac{7}{2}$
解析
【分析】
首先观察线段AB的两个端点纵坐标均为2，可知AB是平行于x轴的线段，先计算AB的长度，由此得到CD的长度；因为C、D是抛物线与线段AB的交点，所以两点纵坐标也为2，将y=2代入抛物线解析式，可得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是C、D两点的横坐标，结合抛物线的对称性，两点横坐标的差就是CD的长度，代入CD的长度列方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(0,2)$，点B的坐标为$(4,2)$，
∴$AB = 4-0 = 4$，
∴$CD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}×4 = 2$。
将$y=2$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$，得：
$2 = -\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$，
整理得：$(x-h)^2 = \dfrac{2(k-2)}{3}$，
解得方程的两个根为：$x_1 = h + \sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$，$x_2 = h - \sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$，
∴$CD = x_1 - x_2 = 2\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$，
代入$CD=2$，得：$2\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}} = 2$，
两边同时除以2，得：$\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}} = 1$，
两边平方得：$\dfrac{2(k-2)}{3} = 1$，
解得：$k = \dfrac{7}{2}$。
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
1. 二次函数与直线交点
2. 一元二次方程求解
3. 两点间距离计算
【点评】
本题是二次函数的典型题型，解题核心是将抛物线与水平线段的交点距离转化为对应一元二次方程的两根之差，结合抛物线的对称性可快速表示出两点横坐标的差，计算过程中注意无理方程的求解规则，整体考查函数与方程结合的核心思想。
【难度系数】
0.7
首先观察线段AB的两个端点纵坐标均为2，可知AB是平行于x轴的线段，先计算AB的长度，由此得到CD的长度；因为C、D是抛物线与线段AB的交点，所以两点纵坐标也为2，将y=2代入抛物线解析式，可得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是C、D两点的横坐标，结合抛物线的对称性，两点横坐标的差就是CD的长度，代入CD的长度列方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(0,2)$，点B的坐标为$(4,2)$，
∴$AB = 4-0 = 4$，
∴$CD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}×4 = 2$。
将$y=2$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$，得：
$2 = -\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$，
整理得：$(x-h)^2 = \dfrac{2(k-2)}{3}$，
解得方程的两个根为：$x_1 = h + \sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$，$x_2 = h - \sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$，
∴$CD = x_1 - x_2 = 2\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}}$，
代入$CD=2$，得：$2\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}} = 2$，
两边同时除以2，得：$\sqrt{\dfrac{2(k-2)}{3}} = 1$，
两边平方得：$\dfrac{2(k-2)}{3} = 1$，
解得：$k = \dfrac{7}{2}$。
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
1. 二次函数与直线交点
2. 一元二次方程求解
3. 两点间距离计算
【点评】
本题是二次函数的典型题型，解题核心是将抛物线与水平线段的交点距离转化为对应一元二次方程的两根之差，结合抛物线的对称性可快速表示出两点横坐标的差，计算过程中注意无理方程的求解规则，整体考查函数与方程结合的核心思想。
【难度系数】
0.7
