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4. (★★)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,⊙O 是△ABC 的内切圆,半径长为2,则图中阴影部分的面积是 【 】
A.$24 - 4π$
B.$20 - 3π$
C.$48 - 3π$
D.$48 - 4π$
A.$24 - 4π$
B.$20 - 3π$
C.$48 - 3π$
D.$48 - 4π$
答案
A
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可将其转化为直角三角形ABC的面积减去内切圆⊙O的面积。解题时先利用直角三角形内切圆半径公式结合勾股定理求出未知直角边BC的长度，再分别计算三角形和内切圆的面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
设BC的长度为x，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{36+x^2}$。
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{直角边和-斜边}{2}$，已知内切圆半径r=2，代入得：
$2=\frac{6+x-\sqrt{36+x^2}}{2}$
两边同乘2得：$4=6+x-\sqrt{36+x^2}$，整理得$\sqrt{36+x^2}=x+2$
两边平方得：$36+x^2=x^2+4x+4$，化简解得$x=8$，即BC=8。
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
内切圆面积$S_{\odot O}=π r^2=π×2^2=4π$，
因此阴影部分面积$=S_{△ ABC}-S_{\odot O}=24-4π$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形内切圆性质，勾股定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，熟练掌握直角三角形内切圆半径公式是解题的关键，整体计算量不大，属于基础类的几何面积计算题。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可将其转化为直角三角形ABC的面积减去内切圆⊙O的面积。解题时先利用直角三角形内切圆半径公式结合勾股定理求出未知直角边BC的长度，再分别计算三角形和内切圆的面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
设BC的长度为x，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{36+x^2}$。
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{直角边和-斜边}{2}$，已知内切圆半径r=2，代入得：
$2=\frac{6+x-\sqrt{36+x^2}}{2}$
两边同乘2得：$4=6+x-\sqrt{36+x^2}$，整理得$\sqrt{36+x^2}=x+2$
两边平方得：$36+x^2=x^2+4x+4$，化简解得$x=8$，即BC=8。
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
内切圆面积$S_{\odot O}=π r^2=π×2^2=4π$，
因此阴影部分面积$=S_{△ ABC}-S_{\odot O}=24-4π$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形内切圆性质，勾股定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，熟练掌握直角三角形内切圆半径公式是解题的关键，整体计算量不大，属于基础类的几何面积计算题。
【难度系数】
0.7
5. (★★)如图,在正十边形中,∠BAC的度数是 【 】
A.10°
B.18°
C.22.5°
D.36°
A.10°
B.18°
C.22.5°
D.36°
答案
B
解析
【分析】
要求正十边形中∠BAC的度数，可结合正多边形与圆的关系求解：正十边形的所有顶点都在同一个外接圆上，每条边对应的外接圆弧度数相等，先求出单条边对应弧的度数，再根据圆周角定理，圆周角等于其所对弧度数的一半，即可算出∠BAC的度数。
【解析】
∵ 正十边形的顶点都在其外接圆上，且每条边所对的外接圆弧度数相等，
∴ 单条边对应的弧的度数为 $ 360° ÷ 10 = 36° $，即弧BC的度数为$ 36° $。
又
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴ $ ∠ BAC = \frac{1}{2} × 36° = 18° $。
【答案】
B
【知识点】
正多边形和圆，圆周角定理
【点评】
本题是正多边形和圆结合的基础题型，解题的核心是将正多边形的边转化为外接圆的等弧，再利用圆周角定理计算角度，解题思路直观，易于掌握。
【难度系数】
0.7
要求正十边形中∠BAC的度数，可结合正多边形与圆的关系求解：正十边形的所有顶点都在同一个外接圆上，每条边对应的外接圆弧度数相等，先求出单条边对应弧的度数，再根据圆周角定理，圆周角等于其所对弧度数的一半，即可算出∠BAC的度数。
【解析】
∵ 正十边形的顶点都在其外接圆上，且每条边所对的外接圆弧度数相等，
∴ 单条边对应的弧的度数为 $ 360° ÷ 10 = 36° $，即弧BC的度数为$ 36° $。
又
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴ $ ∠ BAC = \frac{1}{2} × 36° = 18° $。
【答案】
B
【知识点】
正多边形和圆，圆周角定理
【点评】
本题是正多边形和圆结合的基础题型，解题的核心是将正多边形的边转化为外接圆的等弧，再利用圆周角定理计算角度，解题思路直观，易于掌握。
【难度系数】
0.7
6. (★★)如图,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,$\odot O$的周长为$4π$,则边心距OM的长为
【 】
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2\sqrt{3}$
【 】
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先从已知的圆周长入手，先利用圆周长公式求出$\odot O$的半径；再结合正六边形内接于圆的性质，得出中心角$∠ AOB$的度数，判断$△ OAB$的形状；最后边心距OM是等腰$△ OAB$底边上的高，利用勾股定理即可求出OM的长度。
【解析】
解：①求$\odot O$的半径
已知$\odot O$的周长为$4π$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=4π$，解得$r=2$，即$OA=OB=2$。
②判断$△ OAB$的形状
正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，它的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，
又$OA=OB$，因此$△ OAB$是等边三角形，$AB=OA=2$。
③求边心距OM
OM是正六边形的边心距，因此$OM⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一性质，M为AB中点，即$AM=\frac{1}{2}AB=1$。
在$Rt△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆；圆的周长计算；勾股定理
【点评】
本题是正多边形和圆相关的基础题型，解题核心是掌握正六边形的边长等于其外接圆半径这一特殊性质，结合等边三角形性质和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的圆周长入手，先利用圆周长公式求出$\odot O$的半径；再结合正六边形内接于圆的性质，得出中心角$∠ AOB$的度数，判断$△ OAB$的形状；最后边心距OM是等腰$△ OAB$底边上的高，利用勾股定理即可求出OM的长度。
【解析】
解：①求$\odot O$的半径
已知$\odot O$的周长为$4π$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=4π$，解得$r=2$，即$OA=OB=2$。
②判断$△ OAB$的形状
正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，它的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，
又$OA=OB$，因此$△ OAB$是等边三角形，$AB=OA=2$。
③求边心距OM
OM是正六边形的边心距，因此$OM⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一性质，M为AB中点，即$AM=\frac{1}{2}AB=1$。
在$Rt△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆；圆的周长计算；勾股定理
【点评】
本题是正多边形和圆相关的基础题型，解题核心是掌握正六边形的边长等于其外接圆半径这一特殊性质，结合等边三角形性质和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. (★)如图，AB是$\odot O$的弦，PB与$\odot O$相切于点B，圆心O在线段PA上. 已知$∠ P=50°$，则$∠ PAB$的度数为. 
答案
$\boldsymbol{20°}$
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，优先考虑连接过切点的半径，利用切线的性质得到垂直关系。本题先连接OB，由切线性质推出OB⊥PB，先求出∠POB的度数，再结合同圆半径相等得到等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB与$\odot O$相切于点B，
∴ $OB⊥PB$，即$∠ PBO=90°$，
在$Rt△ PBO$中，$∠ P=50°$，
∴ $∠ POB=90°-∠ P=90°-50°=40°$，
∵ OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$∠ PAB=∠ OBA$，
又
∵ $∠ POB$是$△ AOB$的外角，
∴ $∠ POB=∠ PAB+∠ OBA=2∠ PAB$，
∴ $∠ PAB=\frac{1}{2}∠ POB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础常考题，解题的核心是熟练掌握切线的性质，通过添加辅助线构造直角三角形和等腰三角形，结合三角形相关角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
遇到圆的切线相关问题，优先考虑连接过切点的半径，利用切线的性质得到垂直关系。本题先连接OB，由切线性质推出OB⊥PB，先求出∠POB的度数，再结合同圆半径相等得到等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB与$\odot O$相切于点B，
∴ $OB⊥PB$，即$∠ PBO=90°$，
在$Rt△ PBO$中，$∠ P=50°$，
∴ $∠ POB=90°-∠ P=90°-50°=40°$，
∵ OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$∠ PAB=∠ OBA$，
又
∵ $∠ POB$是$△ AOB$的外角，
∴ $∠ POB=∠ PAB+∠ OBA=2∠ PAB$，
∴ $∠ PAB=\frac{1}{2}∠ POB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础常考题，解题的核心是熟练掌握切线的性质，通过添加辅助线构造直角三角形和等腰三角形，结合三角形相关角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
8. (★★)如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB=CA.若OA=5，PA=12，则CA的长为.
答案
解：
∵ PA与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥PA，即∠OAC=90°。
在Rt△OAP中，OA=5，PA=12，
由勾股定理得：$PO=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
∵ OB是⊙O的半径，∴ OB=OA=5，
∴ PB=PO - OB=13 - 5=8。
连接OC，
∵ OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴ △OAC ≌ △OBC（SSS），
∴ ∠OBC=∠OAC=90°，即CB⊥OP。
设CA=x，则CB=x，PC=PA - CA=12 - x。
在Rt△CBP中，由勾股定理得：
$CB^2 + PB^2 = PC^2$，
即 $x^2 + 8^2 = (12 - x)^2$，
展开得 $x^2 + 64 = 144 - 24x + x^2$，
化简得 $24x = 80$，
解得 $x=\frac{10}{3}$。
∴ CA的长为 $\boldsymbol{\frac{10}{3}}$。
∵ PA与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥PA，即∠OAC=90°。
在Rt△OAP中，OA=5，PA=12，
由勾股定理得：$PO=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
∵ OB是⊙O的半径，∴ OB=OA=5，
∴ PB=PO - OB=13 - 5=8。
连接OC，
∵ OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴ △OAC ≌ △OBC（SSS），
∴ ∠OBC=∠OAC=90°，即CB⊥OP。
设CA=x，则CB=x，PC=PA - CA=12 - x。
在Rt△CBP中，由勾股定理得：
$CB^2 + PB^2 = PC^2$，
即 $x^2 + 8^2 = (12 - x)^2$，
展开得 $x^2 + 64 = 144 - 24x + x^2$，
化简得 $24x = 80$，
解得 $x=\frac{10}{3}$。
∴ CA的长为 $\boldsymbol{\frac{10}{3}}$。
解析
【分析】
首先根据切线的性质可知OA⊥PA，可先在Rt△OAP中用勾股定理求出PO的长度，再求出PB的长。观察已知条件有CA=CB，OA=OB，可连接OC构造全等三角形，证明△OAC≌△OBC，得到∠CBP为直角，最后设CA的长为x，在Rt△CBP中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ PA与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥PA，即∠OAC=90°。
在Rt△OAP中，OA=5，PA=12，
由勾股定理得：$PO=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
∵ OB是⊙O的半径，
∴ OB=OA=5，
∴ PB=PO - OB=13 - 5=8。
连接OC，
∵ OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴ △OAC ≌ △OBC（SSS），
∴ ∠OBC=∠OAC=90°，即CB⊥OP。
设CA=x，则CB=x，PC=PA - CA=12 - x。
在Rt△CBP中，由勾股定理得：
$CB^2 + PB^2 = PC^2$，
即 $x^2 + 8^2 = (12 - x)^2$，
展开得 $x^2 + 64 = 144 - 24x + x^2$，
化简得 $24x = 80$，
解得 $x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题的关键是通过连接辅助线OC构造全等三角形，将已知的等边条件转化为垂直条件，再利用勾股定理建立方程求解，这种构造全等的辅助线方法在圆的线段计算问题中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
首先根据切线的性质可知OA⊥PA，可先在Rt△OAP中用勾股定理求出PO的长度，再求出PB的长。观察已知条件有CA=CB，OA=OB，可连接OC构造全等三角形，证明△OAC≌△OBC，得到∠CBP为直角，最后设CA的长为x，在Rt△CBP中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ PA与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥PA，即∠OAC=90°。
在Rt△OAP中，OA=5，PA=12，
由勾股定理得：$PO=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
∵ OB是⊙O的半径，
∴ OB=OA=5，
∴ PB=PO - OB=13 - 5=8。
连接OC，
∵ OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴ △OAC ≌ △OBC（SSS），
∴ ∠OBC=∠OAC=90°，即CB⊥OP。
设CA=x，则CB=x，PC=PA - CA=12 - x。
在Rt△CBP中，由勾股定理得：
$CB^2 + PB^2 = PC^2$，
即 $x^2 + 8^2 = (12 - x)^2$，
展开得 $x^2 + 64 = 144 - 24x + x^2$，
化简得 $24x = 80$，
解得 $x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题的关键是通过连接辅助线OC构造全等三角形，将已知的等边条件转化为垂直条件，再利用勾股定理建立方程求解，这种构造全等的辅助线方法在圆的线段计算问题中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
9. (★★)如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图,凹槽ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A,D时,恰好与BC边相切,则此餐盘的半径长为 cm.
答案
解：设餐盘的半径为$r$ cm，连接$OA$，过点$O$作$OE ⊥ AD$于点$E$，延长$EO$交$BC$于点$F$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC=16\ \mathrm{cm}$，$AD // BC$。
∵餐盘与$BC$边相切，
∴$OF ⊥ BC$，
∴$EF ⊥ AD$，$EF=4\ \mathrm{cm}$，
∴$AE = \frac{1}{2}AD = 8\ \mathrm{cm}$，$OE = r - 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + OE^2 = OA^2$
即$8^2 + (r-4)^2 = r^2$，
展开化简得$64 + r^2 -8r +16 = r^2$，
解得$r=10$。
$\boxed{10}$
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC=16\ \mathrm{cm}$，$AD // BC$。
∵餐盘与$BC$边相切，
∴$OF ⊥ BC$，
∴$EF ⊥ AD$，$EF=4\ \mathrm{cm}$，
∴$AE = \frac{1}{2}AD = 8\ \mathrm{cm}$，$OE = r - 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + OE^2 = OA^2$
即$8^2 + (r-4)^2 = r^2$，
展开化简得$64 + r^2 -8r +16 = r^2$，
解得$r=10$。
$\boxed{10}$
解析
【分析】
本题是圆与矩形结合的几何计算问题，解题思路如下：首先设餐盘半径为$r$，针对弦$AD$利用垂径定理，过圆心作$AD$的垂线可平分$AD$；再结合切线的性质，圆心到切线$BC$的距离等于半径，结合矩形边长已知、对边平行的特点，可将直角三角形的两条直角边用$r$和已知长度表示，最后通过勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：设餐盘的半径为$r\ \mathrm{cm}$，连接$OA$，过点$O$作$OE ⊥ AD$于点$E$，延长$EO$交$BC$于点$F$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC=16\ \mathrm{cm}$，$AD // BC$。
∵餐盘与$BC$边相切，
∴$OF ⊥ BC$，结合$AD // BC$可得$EF ⊥ AD$，且$EF=4\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理可得$AE = \frac{1}{2}AD = 8\ \mathrm{cm}$，
又
∵$OA=OF=r$，
∴$OE = OF - EF = r - 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + OE^2 = OA^2$
代入数据得$8^2 + (r-4)^2 = r^2$，
展开化简：$64 + r^2 -8r +16 = r^2$，
整理得$8r=80$，解得$r=10$。
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质综合应用的常规题型，解题关键是合理作辅助线构造含半径的直角三角形，结合方程思想求解，能够较好地考查学生对圆的基本性质的掌握程度和几何计算能力。
【难度系数】
0.65
本题是圆与矩形结合的几何计算问题，解题思路如下：首先设餐盘半径为$r$，针对弦$AD$利用垂径定理，过圆心作$AD$的垂线可平分$AD$；再结合切线的性质，圆心到切线$BC$的距离等于半径，结合矩形边长已知、对边平行的特点，可将直角三角形的两条直角边用$r$和已知长度表示，最后通过勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：设餐盘的半径为$r\ \mathrm{cm}$，连接$OA$，过点$O$作$OE ⊥ AD$于点$E$，延长$EO$交$BC$于点$F$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC=16\ \mathrm{cm}$，$AD // BC$。
∵餐盘与$BC$边相切，
∴$OF ⊥ BC$，结合$AD // BC$可得$EF ⊥ AD$，且$EF=4\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理可得$AE = \frac{1}{2}AD = 8\ \mathrm{cm}$，
又
∵$OA=OF=r$，
∴$OE = OF - EF = r - 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + OE^2 = OA^2$
代入数据得$8^2 + (r-4)^2 = r^2$，
展开化简：$64 + r^2 -8r +16 = r^2$，
整理得$8r=80$，解得$r=10$。
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质综合应用的常规题型，解题关键是合理作辅助线构造含半径的直角三角形，结合方程思想求解，能够较好地考查学生对圆的基本性质的掌握程度和几何计算能力。
【难度系数】
0.65
10. (★★)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.
(1)求证：∠BOD=2∠CAB；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线.
(1)求证：∠BOD=2∠CAB；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线.
答案
证明：
(1) 设AB交CD于点M。
∵ AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，$∠ CAB = \frac{1}{2}∠ BOC$，
又∵ $∠ BOC = ∠ BOD$，
∴ $∠ BOD = 2∠ CAB$。
(2) 连接OC。
∵ F为AC的中点，OA=OC，
∴ 由等腰三角形三线合一得DF⊥AC，即DF垂直平分AC，
∴ $AD = CD$。
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴ AB垂直平分CD，
∴ $AC = AD$，
∴ $AC = AD = CD$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴ $∠ CAD = 60°$，$∠ CDE = ∠ CAB = 30°$。
∵ OC=OD，$∠ COD = 2∠ CAD = 120°$，
∴ $∠ OCD = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∴ $∠ OCD = ∠ CDE$，
∴ $OC// DE$。
∵ $CE⊥ DE$，
∴ $CE⊥ OC$，
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ 直线CE为⊙O的切线。
(1) 设AB交CD于点M。
∵ AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，$∠ CAB = \frac{1}{2}∠ BOC$，
又∵ $∠ BOC = ∠ BOD$，
∴ $∠ BOD = 2∠ CAB$。
(2) 连接OC。
∵ F为AC的中点，OA=OC，
∴ 由等腰三角形三线合一得DF⊥AC，即DF垂直平分AC，
∴ $AD = CD$。
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴ AB垂直平分CD，
∴ $AC = AD$，
∴ $AC = AD = CD$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴ $∠ CAD = 60°$，$∠ CDE = ∠ CAB = 30°$。
∵ OC=OD，$∠ COD = 2∠ CAD = 120°$，
∴ $∠ OCD = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∴ $∠ OCD = ∠ CDE$，
∴ $OC// DE$。
∵ $CE⊥ DE$，
∴ $CE⊥ OC$，
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ 直线CE为⊙O的切线。
解析
【分析】
(1) 要证明∠BOD=2∠CAB，首先结合已知AB是直径且AB⊥CD，由垂径定理可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此两条弧对应的圆心角∠BOC=∠BOD；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可知∠CAB是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角，等于$\frac{1}{2}∠BOC$，代入等量关系即可得证。
(2) 要证明CE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需先连接半径OC，证明OC⊥CE。已知CE⊥DE，因此只需证明OC//DE即可推出垂直关系：首先由F是AC中点、OA=OC，根据等腰三角形三线合一可得DF垂直平分AC，推出AD=CD；再结合AB垂直平分CD，可得AC=AD，因此△ACD是等边三角形，通过推导角的关系可证∠OCD=∠CDE，得到OC//DE，最终推出OC⊥CE，即可证明CE是切线。
【解析】
(1) 设AB交CD于点M。
∵ AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，$∠ CAB = \frac{1}{2}∠ BOC$，
又
∵ $∠ BOC = ∠ BOD$，
∴ $∠ BOD = 2∠ CAB$。
(2) 连接OC。
∵ F为AC的中点，OA=OC，
∴ 由等腰三角形三线合一得DF⊥AC，即DF垂直平分AC，
∴ $AD = CD$。
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴ AB垂直平分CD，
∴ $AC = AD$，
∴ $AC = AD = CD$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴ $∠ CAD = 60°$，$∠ CDE = ∠ CAB = 30°$。
∵ OC=OD，$∠ COD = 2∠ CAD = 120°$，
∴ $∠ OCD = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∴ $∠ OCD = ∠ CDE$，
∴ $OC// DE$。
∵ $CE⊥ DE$，
∴ $CE⊥ OC$，
又
∵ OC是⊙O的半径，
∴ 直线CE为⊙O的切线。
【答案】
(1) ∠BOD=2∠CAB，得证；
(2) 直线CE为⊙O的切线，得证。
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，融合了等腰三角形性质、等边三角形的判定与性质、圆的核心性质、切线判定等多个知识点，解题的关键是掌握切线证明“连半径、证垂直”的常规思路，灵活运用相关定理推导边角的等量关系，适合巩固圆章节的基础内容。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠BOD=2∠CAB，首先结合已知AB是直径且AB⊥CD，由垂径定理可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此两条弧对应的圆心角∠BOC=∠BOD；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可知∠CAB是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角，等于$\frac{1}{2}∠BOC$，代入等量关系即可得证。
(2) 要证明CE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需先连接半径OC，证明OC⊥CE。已知CE⊥DE，因此只需证明OC//DE即可推出垂直关系：首先由F是AC中点、OA=OC，根据等腰三角形三线合一可得DF垂直平分AC，推出AD=CD；再结合AB垂直平分CD，可得AC=AD，因此△ACD是等边三角形，通过推导角的关系可证∠OCD=∠CDE，得到OC//DE，最终推出OC⊥CE，即可证明CE是切线。
【解析】
(1) 设AB交CD于点M。
∵ AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，$∠ CAB = \frac{1}{2}∠ BOC$，
又
∵ $∠ BOC = ∠ BOD$，
∴ $∠ BOD = 2∠ CAB$。
(2) 连接OC。
∵ F为AC的中点，OA=OC，
∴ 由等腰三角形三线合一得DF⊥AC，即DF垂直平分AC，
∴ $AD = CD$。
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴ AB垂直平分CD，
∴ $AC = AD$，
∴ $AC = AD = CD$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴ $∠ CAD = 60°$，$∠ CDE = ∠ CAB = 30°$。
∵ OC=OD，$∠ COD = 2∠ CAD = 120°$，
∴ $∠ OCD = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∴ $∠ OCD = ∠ CDE$，
∴ $OC// DE$。
∵ $CE⊥ DE$，
∴ $CE⊥ OC$，
又
∵ OC是⊙O的半径，
∴ 直线CE为⊙O的切线。
【答案】
(1) ∠BOD=2∠CAB，得证；
(2) 直线CE为⊙O的切线，得证。
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，融合了等腰三角形性质、等边三角形的判定与性质、圆的核心性质、切线判定等多个知识点，解题的关键是掌握切线证明“连半径、证垂直”的常规思路，灵活运用相关定理推导边角的等量关系，适合巩固圆章节的基础内容。
【难度系数】
0.6
