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11.(★★)如图,点O为△ABC的外心,点I为△ABC的内心,若∠BOC=140°,则∠BIC的度数为 【 】
A.125°
B.130°
C.135°
D.140°
A.125°
B.130°
C.135°
D.140°
答案
A
解析
【分析】
解题分两步走：第一步，利用外心的性质和圆周角定理求出∠BAC的度数。外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆心角∠BOC的度数，即可直接求出对应圆周角∠BAC的大小。第二步，利用内心的性质和三角形内角和推导∠BIC的度数。内心是三角形内角平分线的交点，先求出∠ABC与∠ACB的和，再得到两个角的一半的和，最后用三角形内角和计算∠BIC即可。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵ 点O是△ABC的外心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴ ∠BOC=2∠BAC
已知∠BOC=140°，代入得∠BAC=140°÷2=70°
2. 求∠BIC的度数：
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB
即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-70°=110°$
∴ $∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△IBC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-55°=125°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；三角形内心性质；三角形内角和
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查对三角形外心、内心概念及相关性质的掌握，只要熟练记忆同弧圆心角与圆周角的关系、内心的角平分线特征，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题分两步走：第一步，利用外心的性质和圆周角定理求出∠BAC的度数。外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆心角∠BOC的度数，即可直接求出对应圆周角∠BAC的大小。第二步，利用内心的性质和三角形内角和推导∠BIC的度数。内心是三角形内角平分线的交点，先求出∠ABC与∠ACB的和，再得到两个角的一半的和，最后用三角形内角和计算∠BIC即可。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵ 点O是△ABC的外心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴ ∠BOC=2∠BAC
已知∠BOC=140°，代入得∠BAC=140°÷2=70°
2. 求∠BIC的度数：
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB
即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-70°=110°$
∴ $∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△IBC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-55°=125°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；三角形内心性质；三角形内角和
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查对三角形外心、内心概念及相关性质的掌握，只要熟练记忆同弧圆心角与圆周角的关系、内心的角平分线特征，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12. (★★)如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题时先利用多边形内角和公式求出正五边形的内角度数，再结合三角形内角和求出相邻正五边形对应的圆心角度数，最后用周角360°除以单个圆心角的度数，即可得到排成圆环所需正五边形的总个数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，正$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，因此正五边形每个内角的度数为：
$\dfrac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 求圆心角的度数：
观察图形，圆心$O$与相邻两个正五边形的内侧顶点构成等腰三角形，该三角形的两个底角均为$180°-108°=72°$，根据三角形内角和为$180°$，可得单个圆心角的度数为：
$180°-72°×2=36°$
3. 计算正五边形总个数：
周角总度数为$360°$，因此所需正五边形的个数为：
$\dfrac{360°}{36°}=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
多边形内角和、正多边形的性质、周角的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心是通过正五边形内角度数推导对应圆心角的大小，结合周角性质即可快速求解，重点考查对多边形相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时先利用多边形内角和公式求出正五边形的内角度数，再结合三角形内角和求出相邻正五边形对应的圆心角度数，最后用周角360°除以单个圆心角的度数，即可得到排成圆环所需正五边形的总个数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，正$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，因此正五边形每个内角的度数为：
$\dfrac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 求圆心角的度数：
观察图形，圆心$O$与相邻两个正五边形的内侧顶点构成等腰三角形，该三角形的两个底角均为$180°-108°=72°$，根据三角形内角和为$180°$，可得单个圆心角的度数为：
$180°-72°×2=36°$
3. 计算正五边形总个数：
周角总度数为$360°$，因此所需正五边形的个数为：
$\dfrac{360°}{36°}=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
多边形内角和、正多边形的性质、周角的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心是通过正五边形内角度数推导对应圆心角的大小，结合周角性质即可快速求解，重点考查对多边形相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
13. (★★) 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形. 如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点. 若点P，Q的坐标分别为$(-2\sqrt{3},3),(0,-3)$，则点M的坐标为【 】
A.$(3\sqrt{3},-2)$
B.$(3\sqrt{3},2)$
C.$(2,-3\sqrt{3})$
D.$(-2,-3\sqrt{3})$
A.$(3\sqrt{3},-2)$
B.$(3\sqrt{3},2)$
C.$(2,-3\sqrt{3})$
D.$(-2,-3\sqrt{3})$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知点P、Q的坐标入手，结合正六边形全等的特征，先推导正六边形的边长、边心距等基本参数：①由P的纵坐标为3、Q的纵坐标为-3，可推出正六边形竖直方向的对边距离为3；②由P的横坐标为$-2\sqrt{3}$，可推出正六边形水平方向的边心距为$\sqrt{3}$。再观察点M的位置：M在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负，可先排除不符合象限特征的选项；也可直接根据参数计算M的横、纵坐标得到答案。
【解析】
解：
∵点P、Q的坐标分别为$(-2\sqrt{3},3)$、$(0,-3)$，且图中正六边形全等，
∴正六边形竖直方向的对边距离为3，水平方向单个正六边形的边心距为$\sqrt{3}$，可求得正六边形边长为2。
观察点M的位置：
①横坐标：M在原点右侧，共对应3个边心距的长度，故横坐标为$3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$；
②纵坐标：M在x轴下方，距离x轴的竖直距离为2，故纵坐标为$-2$。
因此点M的坐标为$(3\sqrt{3},-2)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质；平面直角坐标系
【点评】
本题结合蜂巢的实际场景考查正六边形的性质和平面直角坐标系的坐标运算，解题的核心是利用已知点坐标求出正六边形的相关参数，再结合图形位置推导未知点坐标，能很好地考查学生的几何直观和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知点P、Q的坐标入手，结合正六边形全等的特征，先推导正六边形的边长、边心距等基本参数：①由P的纵坐标为3、Q的纵坐标为-3，可推出正六边形竖直方向的对边距离为3；②由P的横坐标为$-2\sqrt{3}$，可推出正六边形水平方向的边心距为$\sqrt{3}$。再观察点M的位置：M在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负，可先排除不符合象限特征的选项；也可直接根据参数计算M的横、纵坐标得到答案。
【解析】
解：
∵点P、Q的坐标分别为$(-2\sqrt{3},3)$、$(0,-3)$，且图中正六边形全等，
∴正六边形竖直方向的对边距离为3，水平方向单个正六边形的边心距为$\sqrt{3}$，可求得正六边形边长为2。
观察点M的位置：
①横坐标：M在原点右侧，共对应3个边心距的长度，故横坐标为$3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$；
②纵坐标：M在x轴下方，距离x轴的竖直距离为2，故纵坐标为$-2$。
因此点M的坐标为$(3\sqrt{3},-2)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质；平面直角坐标系
【点评】
本题结合蜂巢的实际场景考查正六边形的性质和平面直角坐标系的坐标运算，解题的核心是利用已知点坐标求出正六边形的相关参数，再结合图形位置推导未知点坐标，能很好地考查学生的几何直观和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
14. (★★★)问题提出
(1)如图①,在$△ ABC$中, $∠ BAC = 90°$, $AD ⊥ BC$,垂足为$D$.若$AB = 8, AC = 15$,则$AD$的长为.
问题解决
(2)如图②,某工厂剩余一块板材,形如$△ ABC$,其中$AB = 100 \ \mathrm{cm}, BC = 160 \ \mathrm{cm}, AC = 140 \ \mathrm{cm}$.为了充分利用材料,工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件.你认为可以吗?若可以,请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心$O$的位置,并求出$\odot O$的半径长;若不可以,请说明理由.
(1)如图①,在$△ ABC$中, $∠ BAC = 90°$, $AD ⊥ BC$,垂足为$D$.若$AB = 8, AC = 15$,则$AD$的长为.
问题解决
(2)如图②,某工厂剩余一块板材,形如$△ ABC$,其中$AB = 100 \ \mathrm{cm}, BC = 160 \ \mathrm{cm}, AC = 140 \ \mathrm{cm}$.为了充分利用材料,工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件.你认为可以吗?若可以,请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心$O$的位置,并求出$\odot O$的半径长;若不可以,请说明理由.
答案
(1) $\boldsymbol{\dfrac{120}{17}}$
(2) 可以，$\odot O$的半径为$\boldsymbol{20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$
(2) 可以，$\odot O$的半径为$\boldsymbol{20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
(1) 先通过勾股定理计算出Rt△ABC的斜边长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等量关系，即可求出AD的长度。
(2) 三角形内可裁出的最大圆形是三角形的内切圆，其圆心是三角形三个内角的角平分线的交点；求内切圆半径时，先作高求出△ABC的面积，再结合内切圆半径和三角形面积、周长的关系计算即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=8$，$AC=15$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$
$\therefore AB· AC=BC· AD$
代入数值：$8×15=17· AD$
解得$AD=\frac{120}{17}$
(2) 可以，可裁出的最大圆形是$△ ABC$的内切圆，圆心$O$是$△ ABC$三个内角的角平分线的交点（分别作$∠ B$和$∠ C$的角平分线，交点即为$O$）。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$BD=x\ \mathrm{cm}$，则$CD=(160-x)\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ABD$和$Rt△ ACD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$，代入数值得：
$100^2-x^2=140^2-(160-x)^2$
展开化简：$10000-x^2=19600-25600+320x-x^2$
解得$x=50$
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{100^2-50^2}=50\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×160×50\sqrt{3}=4000\sqrt{3}\ \mathrm{cm^2}$
$△ ABC$的半周长$p=\frac{100+160+140}{2}=200\ \mathrm{cm}$
设内切圆半径为$r$，由$S_{△ ABC}=p· r$得：
$r=\frac{S_{△ ABC}}{p}=\frac{4000\sqrt{3}}{200}=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{120}{17}}$
(2) 可以，$\odot O$的半径为$\boldsymbol{20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、三角形内切圆性质
【点评】
本题第一问属于基础题，核心是掌握直角三角形中利用面积法求斜边上高的方法；第二问结合实际应用考查三角形内切圆的相关知识，解题关键是明确三角形内最大圆为内切圆，熟练运用内切圆半径和三角形面积、周长的关系求解，注重对基础公式的灵活运用。
【难度系数】
0.65
(1) 先通过勾股定理计算出Rt△ABC的斜边长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等量关系，即可求出AD的长度。
(2) 三角形内可裁出的最大圆形是三角形的内切圆，其圆心是三角形三个内角的角平分线的交点；求内切圆半径时，先作高求出△ABC的面积，再结合内切圆半径和三角形面积、周长的关系计算即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=8$，$AC=15$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$
$\therefore AB· AC=BC· AD$
代入数值：$8×15=17· AD$
解得$AD=\frac{120}{17}$
(2) 可以，可裁出的最大圆形是$△ ABC$的内切圆，圆心$O$是$△ ABC$三个内角的角平分线的交点（分别作$∠ B$和$∠ C$的角平分线，交点即为$O$）。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$BD=x\ \mathrm{cm}$，则$CD=(160-x)\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ABD$和$Rt△ ACD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$，代入数值得：
$100^2-x^2=140^2-(160-x)^2$
展开化简：$10000-x^2=19600-25600+320x-x^2$
解得$x=50$
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{100^2-50^2}=50\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×160×50\sqrt{3}=4000\sqrt{3}\ \mathrm{cm^2}$
$△ ABC$的半周长$p=\frac{100+160+140}{2}=200\ \mathrm{cm}$
设内切圆半径为$r$，由$S_{△ ABC}=p· r$得：
$r=\frac{S_{△ ABC}}{p}=\frac{4000\sqrt{3}}{200}=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{120}{17}}$
(2) 可以，$\odot O$的半径为$\boldsymbol{20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、三角形内切圆性质
【点评】
本题第一问属于基础题，核心是掌握直角三角形中利用面积法求斜边上高的方法；第二问结合实际应用考查三角形内切圆的相关知识，解题关键是明确三角形内最大圆为内切圆，熟练运用内切圆半径和三角形面积、周长的关系求解，注重对基础公式的灵活运用。
【难度系数】
0.65
