5. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(1,n)$，其中$n＞0$，与$x$轴的一个交点为$A(3,0)$，与$y$轴的交点在$(0,1)$和$(0,2)$之间. 现有下列结论:①$ac＞0$;②$a-b+c=0$;③$a+b≥ am^2+bm$（$m$为任意实数）;④$-\dfrac{2}{3}＜a＜-\dfrac{1}{3}$. 其中正确结论的个数为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

5. C

【分析】
首先根据抛物线顶点坐标确定对称轴为直线x=1，结合与x轴交点A(3,0)利用对称性求出另一交点，再根据抛物线开口方向、y轴交点范围，逐个判断4个结论的正确性：1. 先判断a、c的符号验证①；2. 代入x=-1的函数值验证②；3. 结合二次函数最值性质验证③；4. 用c的范围列不等式求a的范围验证④。
【解析】
解：
∵抛物线顶点为$(1,n)$，
∴抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$，且抛物线开口向下，$a＜0$。
1. 判断结论①：
抛物线与y轴交点在$(0,1)$和$(0,2)$之间，
∴$1＜c＜2$（c为正数），
又$a＜0$，
∴$ac＜0$，故①错误。
2. 判断结论②：
抛物线与x轴一个交点为$A(3,0)$，对称轴为$x=1$，
根据对称性，另一交点横坐标为$1-(3-1)=-1$，即点$(-1,0)$在抛物线上，
将$x=-1$代入抛物线解析式得：$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c=0$，故②正确。
3. 判断结论③：
∵抛物线顶点为$(1,n)$，开口向下，
∴$x=1$时函数取得最大值，
对任意实数m，都有$a×1^2 +b×1 +c ≥ a m^2 +b m +c$，
两边同时减c得：$a+b ≥ am^2 +bm$，故③正确。
4. 判断结论④：
由$b=-2a$，且$a-b+c=0$，代入得：$a - (-2a) +c=0$，即$c=-3a$，
∵$1＜c＜2$，
∴$1＜-3a＜2$，
解不等式：
左边$1＜-3a$，两边除以-3（不等号变向）得$a＜-\frac{1}{3}$；
右边$-3a＜2$，两边除以-3（不等号变向）得$a＞-\frac{2}{3}$；
综上$-\frac{2}{3}＜a＜-\frac{1}{3}$，故④正确。
∴正确的结论为②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题综合考查二次函数图象与系数的关系，需要熟练运用对称轴、对称性、最值等性质，结合不等式求解参数范围，是二次函数的典型考查题型，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

6. 已知抛物线$L:y=ax^2 - 2ax + 2$，现有下列结论：
①抛物线$L$的对称轴为直线$x=1$；②抛物线$L$必过点$(0,2)$和点$(2,2)$；③当$x＞1$时，$y$的值随$x$值的增大而增大；④当$a＜0$时，已知$A(-2,y_1)$，$B(3,y_2)$是抛物线上的两点，则$y_1＜y_2$；⑤当$a＞0$时，对于任意的实数$m$，不等式$-a+2≥ am^2 -2am +2$恒成立.其中结论正确的有.(填序号)

6. ①②④

【分析】
本题需结合二次函数的基本性质逐一验证每个结论：首先用对称轴公式计算抛物线的对称轴，判断结论①；再代入特殊横坐标计算对应函数值，验证抛物线是否过定点，判断结论②；接着结合二次函数增减性和开口方向的关系，分析结论③；之后比较抛物线上两点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小，验证结论④；最后根据开口向上时抛物线的最小值特征，判断不等式是否恒成立，验证结论⑤。
【解析】
我们逐个分析5个结论：
1. 验证结论①：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，故①正确。
2. 验证结论②：当$x=0$时，$y=a×0^2 -2a×0 +2=2$，故抛物线过$(0,2)$；当$x=2$时，$y=a×2^2 -2a×2 +2=4a-4a+2=2$，故抛物线过$(2,2)$，②正确。
3. 验证结论③：二次函数的增减性由开口方向决定：若$a＞0$，开口向上，$x＞1$时$y$随$x$增大而增大；若$a＜0$，开口向下，$x＞1$时$y$随$x$增大而减小。结论未说明$a$的正负，故③错误。
4. 验证结论④：当$a＜0$时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴$x=1$越近，函数值越大。点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离为$1-(-2)=3$，点$B(3,y_2)$到对称轴的距离为$3-1=2$，$2＜3$，故$y_2＞y_1$，即$y_1＜y_2$，④正确。
5. 验证结论⑤：当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点$(1,-a+2)$是最低点，即对任意实数$x$，都有$ax^2-2ax+2≥ -a+2$，也就是$am^2-2am+2≥ -a+2$，与结论中的$-a+2≥ am^2-2am+2$不符，故⑤错误。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数基础性质的应用，解题时需注意二次函数的增减性、最值都和开口方向密切相关，未给出开口方向时要考虑分类讨论，比较函数值大小可转化为点到对称轴的距离比较，掌握核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

7. 已知二次函数$y=mx^2 -4mx +2 +m$，下列结论正确的是（）

A.当$m=-1$时，函数图象的顶点坐标为$(2,-3)$
B.当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大
C.当$m=1$，$y≤3$时，$x$的取值范围是$0＜x＜4$
D.当$-1≤x≤4$时，$y$的最大值为8，则$m=1$或$m=-2$

7. D

【分析】
解决本题首先要将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，确定函数的对称轴和顶点坐标，再结合二次项系数m的正负（决定开口方向），逐一分析每个选项：对于顶点坐标直接代入m计算即可；增减性要先判断开口方向；解函数值范围的不等式要注意端点是否可取；求区间内的最值需要分m＞0（开口向上）和m＜0（开口向下）两种情况讨论，分别确定最大值的取值位置，列方程求解即可。
【解析】
先将二次函数配方得顶点式：
$y=mx^2 -4mx +m +2 = m(x-2)^2 + (2-3m)$
因此该函数对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2, 2-3m)$。
逐个分析选项：
选项A：当$m=-1$时，顶点纵坐标为$2-3×(-1)=5$，顶点坐标为$(2,5)$，不是$(2,-3)$，A错误；
选项B：二次函数的增减性由开口方向决定，$m$的正负未知，无法确定$x＞2$时$y$随$x$的变化情况，B错误；
选项C：当$m=1$时，函数为$y=(x-2)^2 -1$，令$y≤3$，则$(x-2)^2 -1≤3$，即$(x-2)^2≤4$，解得$0≤ x≤4$，不是$0＜x＜4$，C错误；
选项D：对称轴$x=2$在区间$[-1,4]$内，分两种情况讨论：
① 当$m＞0$时，开口向上，最大值在离对称轴更远的$x=-1$处取得，代入得$y=m×(-1)^2 -4m×(-1)+2+m=6m+2=8$，解得$m=1$，符合$m＞0$；
② 当$m＜0$时，开口向下，最大值在顶点处取得，即$2-3m=8$，解得$m=-2$，符合$m＜0$；
因此$m=1$或$m=-2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数与不等式
【点评】
本题重点考查二次函数图象与字母系数的关系，解题时要特别注意二次项系数的符号对函数性质的影响，涉及最值问题时要结合开口方向分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

8. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=-x^2 - mx + m^2 + m$（$m$为常数）的图象经过点$(0,6)$，其对称轴在$y$轴左侧，则该二次函数有（）

A.最大值$\dfrac{33}{4}$
B.最大值7
C.最小值$\dfrac{33}{4}$
D.最小值7

8. B

【分析】
解题思路分三步：第一步，将已知点(0,6)代入二次函数解析式，得到关于m的一元二次方程，求解得到m的两个可能值；第二步，根据对称轴在y轴左侧的条件，结合二次函数对称轴公式筛选出符合条件的m值；第三步，根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值，计算顶点纵坐标即可得到最值。
【解析】
1. 求参数m的可能值：
将点(0,6)代入二次函数$y=-x^2 - mx + m^2 + m$，得：
$6 = m^2 + m$
整理为一元二次方程：$m^2 + m - 6 = 0$
因式分解得：$(m+3)(m-2)=0$
解得：$m_1=-3$，$m_2=2$
2. 结合对称轴条件筛选m：
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=-1$，$b=-m$，代入得对称轴：
$x=-\frac{(-m)}{2×(-1)}=-\frac{m}{2}$
已知对称轴在y轴左侧，即$x＜0$，因此：
$-\frac{m}{2}＜0$，解得$m＞0$
故舍去$m=-3$，取$m=2$
3. 求二次函数的最值：
将$m=2$代入原解析式，得：
$y=-x^2 -2x + 6$
因为二次项系数$a=-1＜0$，所以二次函数开口向下，有最大值，最大值为顶点纵坐标。
用配方法化简：
$y=-(x^2+2x)+6=-(x^2+2x+1-1)+6=-(x+1)^2 +7$
因此函数的最大值为7。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；解一元二次方程；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题核心是先利用过定点的条件求出参数的可能值，再结合对称轴的限制筛选出有效参数，最后根据开口方向判断最值类型并计算，要求熟练掌握二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.7

9. 在平面直角坐标系中,二次函数 $y=x^2 -2mx + m + 2$（$m$是常数）.
(1)若函数图象经过点$(2,3)$,求函数图象的顶点坐标.
(2)若函数图象经过点$(-1,p),(1,q)$,求证:$pq ≤ 12$.

9. (1)
∵ 二次函数$y=x^2-2mx+m+2$的图象经过点$(2,3)$,
∴ $2^2-4m+m+2=3$. 解得 $m=1$.
∴ 二次函数的解析式为 $y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$.
∴ 二次函数图象的顶点坐标为$(1,2)$.
(2)
∵ 函数图象经过点$(-1,p),(1,q)$,
∴ $p=1^2+2m+m+2=3m+3$,
$q=1^2-2m+m+2=-m+3$.
∴ $pq = (3m+3)(-m+3)$
$=-3m^2-3m+9m+9$
$=-3m^2+6m+9$
$=-3(m-1)^2+12$.
∵ $-3＜0$,
∴ $pq=-3(m-1)^2+12≤12$.

【分析】
(1) 函数图象上的点满足函数解析式，因此先将点$(2,3)$代入二次函数解析式求出参数$m$的值，再将所得的二次函数解析式化为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) 要证明$pq ≤ 12$，首先将点$(-1,p)$、$(1,q)$分别代入函数解析式，用含$m$的代数式表示出$p$和$q$，再计算$pq$的表达式，通过配方法将表达式转化为顶点式，结合二次函数的开口方向判断其最大值，即可完成证明。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数$y=x^2-2mx+m+2$的图象经过点$(2,3)$,
$\therefore 2^2-4m+m+2=3$，解得 $m=1$.
$\therefore$ 二次函数的解析式为 $y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$.
$\therefore$ 二次函数图象的顶点坐标为$(1,2)$.
(2) $\because$ 函数图象经过点$(-1,p),(1,q)$,
$\therefore p=(-1)^2-2m×(-1)+m+2=3m+3$,
$q=1^2-2m×1+m+2=-m+3$.
$\therefore pq = (3m+3)(-m+3)$
$=-3m^2-3m+9m+9$
$=-3m^2+6m+9$
$=-3(m-1)^2+12$.
$\because -3＜0$，该二次函数开口向下，存在最大值，
$\therefore pq=-3(m-1)^2+12≤12$，即$pq ≤ 12$得证。
【答案】
(1) 顶点坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
(2) 证明成立，$pq ≤ 12$。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，配方法求最值，二次函数的性质
【点评】
本题围绕二次函数的基础应用设置考点，第一问侧重待定系数法求参数及顶点坐标的计算，属于基础题型；第二问结合代数式运算与二次函数最值的判断，要求熟练掌握配方法的应用，能有效检验学生对二次函数核心知识的掌握情况。
【难度系数】
0.7

10. 已知抛物线$y = ax^2 - 2ax + 1$的顶点在$x$轴上.
(1)求$a$的值.
(2)抛物线上有两点$A(m,y_1),B(n,y_2)$,若$m＜n＜1$,则$y_1$$y_2$(填“＞”“＜”或“$=$”).
(3)若$C(t,y_1),D(t+2,y_2)$为抛物线上的两点,且$y_1＞y_2$,求$t$的取值范围.

10. (1)
∵ $y = ax^2-2ax+1$
$=a(x-1)^2-a+1$,
又 抛物线$y = ax^2-2ax+1$ 的顶点在 $x$轴上,
∴ $-a+1=0$.
∴ $a=1$.
(2)＞
(3)
∵ 点 $C(t,y_1),D(t+2,y_2)$ 为抛物线上的两点,且 $y_1＞y_2$,
∴ 点 $C$ 到对称轴的距离大于点 $D$ 到对称轴的距离.
∵ 抛物线对称轴为直线 $x=1$,
∴ $|t-1|＞|t+2-1|$,
∴ $(t-1)^2＞(t+1)^2$.
∴ $t^2-2t+1＞t^2+2t+1$.
∴ $t＜0$.

【分析】
(1) 已知抛物线顶点在x轴上，说明顶点纵坐标为0，我们可先通过配方法将抛物线一般式转化为顶点式，得到顶点纵坐标的表达式，令其为0即可求解a的值，注意二次项系数a不能为0，本题解出的a符合要求。
(2) 先确定抛物线的开口方向和对称轴，a=1＞0说明抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，开口向上的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而减小，已知m＜n＜1，两点均在对称轴左侧，x越小对应的y值越大，即可比较y1和y2的大小。
(3) 开口向上的抛物线上，函数值越大的点到对称轴的距离越远，已知y1＞y2，说明点C到对称轴x=1的距离大于点D到对称轴的距离，据此列出绝对值不等式，平方后转化为整式不等式即可求解t的取值范围。
【解析】
(1) 对抛物线解析式配方：
$y = ax^2-2ax+1$
$=a(x-1)^2-a+1$
∵抛物线$y = ax^2-2ax+1$ 的顶点在 $x$轴上，顶点纵坐标为0
∴$-a+1=0$
解得$a=1$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=(x-1)^2$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x＜1$时，y随x的增大而减小，
∵$m＜n＜1$，
∴$y_1＞y_2$。
(3)
∵点 $C(t,y_1),D(t+2,y_2)$ 为抛物线上的两点，且 $y_1＞y_2$，
∴点$C$到对称轴的距离大于点$D$到对称轴的距离，
∵抛物线对称轴为直线 $x=1$，
∴$|t-1|＞|t+2-1|$，
两边平方得$(t-1)^2＞(t+1)^2$，
展开得$t^2-2t+1＞t^2+2t+1$，
移项合并同类项得$-4t＞0$，
解得$t＜0$。
【答案】
(1)$a=1$；(2)＞；(3)$t＜0$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数增减性，绝对值不等式求解
【点评】
本题围绕二次函数核心性质设置，从基础参数求解到增减性应用，再到结合点的位置关系列不等式，层层递进，重点考查对二次函数图象特征的理解和应用能力，是二次函数部分的经典基础题型。
【难度系数】
0.7