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2. 如图，AB，CD是$\odot O$的两条平行弦，且$AB = 4$，$CD = 6$，AB，CD之间的距离为5，则$\odot O$的直径是
$2\sqrt{13}$
.答案
2. $2\sqrt{13}$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解。首先过圆心作两条平行弦的垂线，根据垂径定理可得到两条弦的半长，再设出圆的半径和其中一条弦的弦心距，结合两弦的距离表示出另一条弦的弦心距，最后在两个直角三角形中分别用勾股定理表示半径的平方，联立方程即可求出半径，进而得到直径。
【解析】
过点O作$OE ⊥ AB$于点E，延长EO交CD于点F。
$\because AB // CD$，$\therefore OF ⊥ CD$。
根据垂径定理可得：$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4 = 2$，$CF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
设$\odot O$的半径为$r$，$OE = x$，$\because AB$、$CD$之间的距离为5，且两条弦在圆心两侧（同侧情况求解得弦心距为负，不符合实际舍去），$\therefore OF = 5 - x$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$r^2 = AE^2 + OE^2 = 2^2 + x^2$ ①；
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：$r^2 = CF^2 + OF^2 = 3^2 + (5 - x)^2$ ②；
联立①②可得：$4 + x^2 = 9 + (5 - x)^2$，
展开计算：$4 + x^2 = 9 + 25 - 10x + x^2$，
消去$x^2$后解得：$10x = 30$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入①式，得$r^2 = 4 + 9 = 13$，$\therefore r = \sqrt{13}$（半径为正数），
则$\odot O$的直径为$2r = 2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；平行弦性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题关键是通过作弦心距构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，解题时需注意判断弦与圆心的位置关系，排除不符合实际的情况。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解。首先过圆心作两条平行弦的垂线，根据垂径定理可得到两条弦的半长，再设出圆的半径和其中一条弦的弦心距，结合两弦的距离表示出另一条弦的弦心距，最后在两个直角三角形中分别用勾股定理表示半径的平方，联立方程即可求出半径，进而得到直径。
【解析】
过点O作$OE ⊥ AB$于点E，延长EO交CD于点F。
$\because AB // CD$，$\therefore OF ⊥ CD$。
根据垂径定理可得：$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4 = 2$，$CF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
设$\odot O$的半径为$r$，$OE = x$，$\because AB$、$CD$之间的距离为5，且两条弦在圆心两侧（同侧情况求解得弦心距为负，不符合实际舍去），$\therefore OF = 5 - x$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$r^2 = AE^2 + OE^2 = 2^2 + x^2$ ①；
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：$r^2 = CF^2 + OF^2 = 3^2 + (5 - x)^2$ ②；
联立①②可得：$4 + x^2 = 9 + (5 - x)^2$，
展开计算：$4 + x^2 = 9 + 25 - 10x + x^2$，
消去$x^2$后解得：$10x = 30$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入①式，得$r^2 = 4 + 9 = 13$，$\therefore r = \sqrt{13}$（半径为正数），
则$\odot O$的直径为$2r = 2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；平行弦性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题关键是通过作弦心距构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，解题时需注意判断弦与圆心的位置关系，排除不符合实际的情况。
【难度系数】
0.6
如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接AB并延长交⊙O于点D。若∠A＝35°，则∠DOE的度数是（）
A. 110° B. 120°
C. 120.5° D. 115°
解析 如图，连接BE，DC.
因为BC是⊙O的直径，
所以∠BEC＝90°.
因为∠A＝35°，
所以∠ABE＝90°−∠A＝55°.
所以∠DBE＝180°−∠ABE＝125°.
因为四边形EBDC是圆内接四边形，所以∠ECD＋∠DBE＝180°.
所以∠ECD＝180°−125°＝55°.
所以∠DOE＝2∠ECD＝110°.
答案 A
A. 110° B. 120°
C. 120.5° D. 115°
解析 如图，连接BE，DC.
因为BC是⊙O的直径，
所以∠BEC＝90°.
因为∠A＝35°，
所以∠ABE＝90°−∠A＝55°.
所以∠DBE＝180°−∠ABE＝125°.
因为四边形EBDC是圆内接四边形，所以∠ECD＋∠DBE＝180°.
所以∠ECD＝180°−125°＝55°.
所以∠DOE＝2∠ECD＝110°.
答案 A
答案
解：连接BE，DC。
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BEC=90°。
∵ ∠A=35°，
∴ ∠ABE=90°−∠A=55°，
∴ ∠DBE=180°−∠ABE=125°。
∵ 四边形EBDC是圆内接四边形，
∴ ∠ECD + ∠DBE = 180°，
∴ ∠ECD=180°−125°=55°。
由圆周角定理可得∠DOE=2∠ECD=110°。
故选：A。
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BEC=90°。
∵ ∠A=35°，
∴ ∠ABE=90°−∠A=55°，
∴ ∠DBE=180°−∠ABE=125°。
∵ 四边形EBDC是圆内接四边形，
∴ ∠ECD + ∠DBE = 180°，
∴ ∠ECD=180°−125°=55°。
由圆周角定理可得∠DOE=2∠ECD=110°。
故选：A。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，BC是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”这一性质，因此添加辅助线连接BE，得到直角△AEB；结合已知∠A=35°，可先求出∠ABE的度数，再通过邻补角的关系求出∠DBE的度数；接下来注意到四边形EBDC是圆内接四边形，利用“圆内接四边形对角互补”求出∠ECD的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠DOE是弧DE对应的圆心角，∠ECD是弧DE对应的圆周角，因此用∠ECD乘2即可得到∠DOE的度数。
【解析】
连接BE，DC。
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BEC=90°，则∠AEB=180°-∠BEC=90°。
∵ ∠A=35°，
∴ 在Rt△AEB中，∠ABE=90°−∠A=55°，
∴ ∠DBE=180°−∠ABE=125°。
∵ 四边形EBDC是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ECD + ∠DBE = 180°，
∴ ∠ECD=180°−125°=55°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠DOE和∠ECD都对应弧DE，
∴ ∠DOE=2∠ECD=2×55°=110°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角；2. 圆内接四边形的性质；3. 圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型习题，解题的核心是结合已知条件合理添加辅助线，逐步推导角度关系，对学生综合运用圆的基础性质解决问题的能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，BC是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”这一性质，因此添加辅助线连接BE，得到直角△AEB；结合已知∠A=35°，可先求出∠ABE的度数，再通过邻补角的关系求出∠DBE的度数；接下来注意到四边形EBDC是圆内接四边形，利用“圆内接四边形对角互补”求出∠ECD的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠DOE是弧DE对应的圆心角，∠ECD是弧DE对应的圆周角，因此用∠ECD乘2即可得到∠DOE的度数。
【解析】
连接BE，DC。
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BEC=90°，则∠AEB=180°-∠BEC=90°。
∵ ∠A=35°，
∴ 在Rt△AEB中，∠ABE=90°−∠A=55°，
∴ ∠DBE=180°−∠ABE=125°。
∵ 四边形EBDC是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ECD + ∠DBE = 180°，
∴ ∠ECD=180°−125°=55°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠DOE和∠ECD都对应弧DE，
∴ ∠DOE=2∠ECD=2×55°=110°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角；2. 圆内接四边形的性质；3. 圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型习题，解题的核心是结合已知条件合理添加辅助线，逐步推导角度关系，对学生综合运用圆的基础性质解决问题的能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D，E在$\odot O$上. 若$∠ C = 100°$，则$∠ E$的度数为
$10°$
. 答案
3. $10°$
解析
【分析】
解题时首先通过添加辅助线BD，利用圆内接四边形的对角互补性质求出∠BAD的度数，再结合直径所对的圆周角是直角，求出弧AD对应的圆周角∠ABD的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推导得到∠E的度数。
【解析】
连接BD，
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD+∠ C=180°$。已知$∠ C=100°$，代入得$∠ BAD=180°-100°=80°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角的性质，可得$∠ ADB=90°$。在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°-∠ BAD=90°-80°=10°$。
3. 因为$∠ AED$和$∠ ABD$都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ E=∠ ABD=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的核心是通过添加辅助线建立已知角和待求角的关联，需要熟练掌握圆相关的基础定理并灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先通过添加辅助线BD，利用圆内接四边形的对角互补性质求出∠BAD的度数，再结合直径所对的圆周角是直角，求出弧AD对应的圆周角∠ABD的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推导得到∠E的度数。
【解析】
连接BD，
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD+∠ C=180°$。已知$∠ C=100°$，代入得$∠ BAD=180°-100°=80°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角的性质，可得$∠ ADB=90°$。在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°-∠ BAD=90°-80°=10°$。
3. 因为$∠ AED$和$∠ ABD$都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ E=∠ ABD=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的核心是通过添加辅助线建立已知角和待求角的关联，需要熟练掌握圆相关的基础定理并灵活应用。
【难度系数】
0.7
