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7.(1)已知反比例函数$y=\frac{2}{x}$，且$x=m$时，$y=n$.则代数式$(m-\frac{1}{n})(n+\frac{1}{m})$的值为
(2)已知变量$x,y$满足$(x-2y)^2=(x+2y)^2+10$，那么$y$与$x$之间的函数关系式为
$\frac{3}{2}$
.(2)已知变量$x,y$满足$(x-2y)^2=(x+2y)^2+10$，那么$y$与$x$之间的函数关系式为
$y=-\frac{5}{4x}$
.答案
7.(1)$\frac{3}{2}$ (2)$y=-\frac{5}{4x}$
解析
【分析】
(1) 首先根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得x与y的乘积为定值，即$mn=2$。再将所求代数式展开化简，发现可整体代入$mn$的值计算，无需单独求出$m$、$n$的具体值，能简化计算过程。
(2) 先利用完全平方公式将等式左右两边展开，再通过移项、合并同类项整理等式，最终变形为$y$用含$x$的代数式表示的形式，即可得到函数关系式。
【解析】
(1) 将$x=m$，$y=n$代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$，得$n=\frac{2}{m}$，即$mn=2$。
展开代数式：
$\begin{aligned}(m-\frac{1}{n})(n+\frac{1}{m})&=mn + m·\frac{1}{m} - \frac{1}{n}· n - \frac{1}{n}·\frac{1}{m}\\&=mn +1 -1 - \frac{1}{mn}\\&=mn - \frac{1}{mn}\end{aligned}$
将$mn=2$代入，得原式$=2 - \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
(2) 对等式$(x-2y)^2=(x+2y)^2+10$两边展开：
左边：$(x-2y)^2=x^2 -4xy +4y^2$
右边：$(x+2y)^2+10=x^2 +4xy +4y^2 +10$
移项合并同类项：
$\begin{aligned}x^2 -4xy +4y^2 -x^2 -4xy -4y^2 &=10\\-8xy&=10\end{aligned}$
整理得$y=-\frac{5}{4x}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $y=-\frac{5}{4x}$
【知识点】
反比例函数的定义，完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
这两道题属于基础题型，第一题利用整体代入的思想求值，避免了单独求解未知数的繁琐；第二题需要熟练掌握完全平方公式的展开，化简后即可得到反比例函数关系式，扎实掌握基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 首先根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得x与y的乘积为定值，即$mn=2$。再将所求代数式展开化简，发现可整体代入$mn$的值计算，无需单独求出$m$、$n$的具体值，能简化计算过程。
(2) 先利用完全平方公式将等式左右两边展开，再通过移项、合并同类项整理等式，最终变形为$y$用含$x$的代数式表示的形式，即可得到函数关系式。
【解析】
(1) 将$x=m$，$y=n$代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$，得$n=\frac{2}{m}$，即$mn=2$。
展开代数式：
$\begin{aligned}(m-\frac{1}{n})(n+\frac{1}{m})&=mn + m·\frac{1}{m} - \frac{1}{n}· n - \frac{1}{n}·\frac{1}{m}\\&=mn +1 -1 - \frac{1}{mn}\\&=mn - \frac{1}{mn}\end{aligned}$
将$mn=2$代入，得原式$=2 - \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
(2) 对等式$(x-2y)^2=(x+2y)^2+10$两边展开：
左边：$(x-2y)^2=x^2 -4xy +4y^2$
右边：$(x+2y)^2+10=x^2 +4xy +4y^2 +10$
移项合并同类项：
$\begin{aligned}x^2 -4xy +4y^2 -x^2 -4xy -4y^2 &=10\\-8xy&=10\end{aligned}$
整理得$y=-\frac{5}{4x}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $y=-\frac{5}{4x}$
【知识点】
反比例函数的定义，完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
这两道题属于基础题型，第一题利用整体代入的思想求值，避免了单独求解未知数的繁琐；第二题需要熟练掌握完全平方公式的展开，化简后即可得到反比例函数关系式，扎实掌握基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
8.将$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得的函数值记为$y_1$；将$x=y_1+1$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得的函数值记为$y_2$；将$x=y_2+1$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得的函数值记为$y_3$……如此继续下去，则$y_{2024}=$
2
。答案
8.2
解析
【分析】
本题是规律探究类问题，解题思路如下：首先根据题目给出的代入规则，依次计算出前几个函数值$y_1$、$y_2$、$y_3$、$y_4$……，观察计算结果可发现数值存在周期性循环规律；接着计算2024除以循环周期的余数，根据余数即可对应找到$y_{2024}$的数值。
【解析】
第一步：计算前几项函数值
① 把$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$
② 计算$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$
③ 计算$x=y_2+1=2+1=3$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_3=-\frac{1}{3}$
④ 计算$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_4=-\frac{3}{2}=y_1$
第二步：确定循环周期
由计算结果可知，函数值每3个为一个循环周期，循环顺序为：$-\frac{3}{2}、2、-\frac{1}{3}$
第三步：计算$y_{2024}$的数值
求2024除以3的余数：$2024÷3=674······2$，余数为2，说明$y_{2024}$对应循环周期里的第2个数值，即$y_{2024}=y_2=2$
【答案】
2
【知识点】
1.反比例函数求值 2.周期规律探究
【点评】
本题结合反比例函数的求值考查规律探索能力，解题的核心是先通过计算前若干项找到循环周期，再利用周期定位所求项的对应值，计算过程中需注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
本题是规律探究类问题，解题思路如下：首先根据题目给出的代入规则，依次计算出前几个函数值$y_1$、$y_2$、$y_3$、$y_4$……，观察计算结果可发现数值存在周期性循环规律；接着计算2024除以循环周期的余数，根据余数即可对应找到$y_{2024}$的数值。
【解析】
第一步：计算前几项函数值
① 把$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$
② 计算$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$
③ 计算$x=y_2+1=2+1=3$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_3=-\frac{1}{3}$
④ 计算$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_4=-\frac{3}{2}=y_1$
第二步：确定循环周期
由计算结果可知，函数值每3个为一个循环周期，循环顺序为：$-\frac{3}{2}、2、-\frac{1}{3}$
第三步：计算$y_{2024}$的数值
求2024除以3的余数：$2024÷3=674······2$，余数为2，说明$y_{2024}$对应循环周期里的第2个数值，即$y_{2024}=y_2=2$
【答案】
2
【知识点】
1.反比例函数求值 2.周期规律探究
【点评】
本题结合反比例函数的求值考查规律探索能力，解题的核心是先通过计算前若干项找到循环周期，再利用周期定位所求项的对应值，计算过程中需注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的函数$y=(m^2+2m)x^{m^2+m-1}$。
（1）当$m$为何值时，$y$是$x$的正比例函数？
（2）当$m$为何值时，$y$是$x$的反比例函数？
（1）当$m$为何值时，$y$是$x$的正比例函数？
（2）当$m$为何值时，$y$是$x$的反比例函数？
答案
9.解:(1)根据题意,得$\begin{cases} m^2+m-1=1,\\ m^2+2m≠0, \end{cases}$
解得$m=1$.
即当$m=1$时,$y$是$x$的正比例函数.
(2)根据题意,得$\begin{cases} m^2+m-1=-1,\\ m^2+2m≠0, \end{cases}$
解得$m=-1$.
即当$m=-1$时,$y$是$x$的反比例函数.
解得$m=1$.
即当$m=1$时,$y$是$x$的正比例函数.
(2)根据题意,得$\begin{cases} m^2+m-1=-1,\\ m^2+2m≠0, \end{cases}$
解得$m=-1$.
即当$m=-1$时,$y$是$x$的反比例函数.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确两类函数的定义特征：①正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$），要求自变量$x$的次数为1，且$x$的系数不为0；②反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数且$k≠0$），要求自变量$x$的次数为-1，且$x$的系数不为0。解题时根据两类函数的特征分别列出关于$m$的方程和不等式，求解后取公共解即可。
【解析】
（1）若$y$是$x$的正比例函数，根据定义列方程组：
$\begin{cases} m^2+m-1=1,\\ m^2+2m≠0, \end{cases}$
解方程$m^2+m-1=1$，整理得$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$；
解不等式$m^2+2m≠0$，即$m(m+2)≠0$，得$m≠0$且$m≠-2$；
取公共解，得$m=1$。
（2）若$y$是$x$的反比例函数，根据定义列方程组：
$\begin{cases} m^2+m-1=-1,\\ m^2+2m≠0, \end{cases}$
解方程$m^2+m-1=-1$，整理得$m^2+m=0$，因式分解得$m(m+1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$；
解不等式$m^2+2m≠0$，即$m(m+2)≠0$，得$m≠0$且$m≠-2$；
取公共解，得$m=-1$。
【答案】
（1）$m=1$；（2）$m=-1$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，一元二次方程求解
【点评】
本题是函数概念基础题，核心考查对正比例、反比例函数形式特征的掌握，解题时需注意不要忽略系数不为0的隐含限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确两类函数的定义特征：①正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$），要求自变量$x$的次数为1，且$x$的系数不为0；②反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数且$k≠0$），要求自变量$x$的次数为-1，且$x$的系数不为0。解题时根据两类函数的特征分别列出关于$m$的方程和不等式，求解后取公共解即可。
【解析】
（1）若$y$是$x$的正比例函数，根据定义列方程组：
$\begin{cases} m^2+m-1=1,\\ m^2+2m≠0, \end{cases}$
解方程$m^2+m-1=1$，整理得$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$；
解不等式$m^2+2m≠0$，即$m(m+2)≠0$，得$m≠0$且$m≠-2$；
取公共解，得$m=1$。
（2）若$y$是$x$的反比例函数，根据定义列方程组：
$\begin{cases} m^2+m-1=-1,\\ m^2+2m≠0, \end{cases}$
解方程$m^2+m-1=-1$，整理得$m^2+m=0$，因式分解得$m(m+1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$；
解不等式$m^2+2m≠0$，即$m(m+2)≠0$，得$m≠0$且$m≠-2$；
取公共解，得$m=-1$。
【答案】
（1）$m=1$；（2）$m=-1$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，一元二次方程求解
【点评】
本题是函数概念基础题，核心考查对正比例、反比例函数形式特征的掌握，解题时需注意不要忽略系数不为0的隐含限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
10.有600个零件需要在一天内加工完毕，设当工作效率为每人每天加工p个时，需工人q人.
(1)求q关于p的函数表达式.
(2)若每人每天的工作效率提高20%，则工人的人数可以减少几分之几？
(1)求q关于p的函数表达式.
(2)若每人每天的工作效率提高20%，则工人的人数可以减少几分之几？
答案
10.解:(1)$\because pq=600,\therefore q=\frac{600}{p}$.
(2)设提高效率后需工人的人数是$m$,则有$(1+20\%)pm=pq$,
$\therefore m=\frac{q}{1.2}=\frac{5}{6}q,\therefore q-m=q-\frac{5}{6}q=\frac{1}{6}q$.
答:工人的人数可以减少$\frac{1}{6}$.
(2)设提高效率后需工人的人数是$m$,则有$(1+20\%)pm=pq$,
$\therefore m=\frac{q}{1.2}=\frac{5}{6}q,\therefore q-m=q-\frac{5}{6}q=\frac{1}{6}q$.
答:工人的人数可以减少$\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
(1) 首先依据“总工作量=每人每天工作效率×工人人数”的基础等量关系，已知总零件数为固定值600，将对应量代入等量关系后变形，即可得到q关于p的函数表达式。
(2) 第二问的核心是总工作量始终不变，先表示出效率提高20%后的新工作效率，设新的工人人数为m，再次利用总工作量相等列等式，求出新人数m与原人数q的关系，最后计算人数减少的比例即可。
【解析】
(1) 由工作总量、工作效率、人数的对应关系可得：$pq=600$，
将式子变形为用p表示q的形式，得$q=\frac{600}{p}$（p为正数，符合实际意义）。
(2) 设工作效率提高后需要工人$m$人，
每人每天工作效率提高20%，则新的工作效率为$(1+20\%)p=1.2p$，
总工作量保持600不变，因此可得等式：$1.2p· m = pq$，
两边同时除以不为0的p，得$1.2m = q$，
解得$m=\frac{q}{1.2}=\frac{5}{6}q$，
则减少的人数为$q - m = q - \frac{5}{6}q = \frac{1}{6}q$，
减少的比例为$\frac{\frac{1}{6}q}{q}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $q=\frac{600}{p}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
反比例函数应用，工程问题等量关系，百分率计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查基础函数与工程问题的结合，解题关键是抓住总工作量不变的核心条件，注重对基础等量关系的理解和运用，计算量小，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
(1) 首先依据“总工作量=每人每天工作效率×工人人数”的基础等量关系，已知总零件数为固定值600，将对应量代入等量关系后变形，即可得到q关于p的函数表达式。
(2) 第二问的核心是总工作量始终不变，先表示出效率提高20%后的新工作效率，设新的工人人数为m，再次利用总工作量相等列等式，求出新人数m与原人数q的关系，最后计算人数减少的比例即可。
【解析】
(1) 由工作总量、工作效率、人数的对应关系可得：$pq=600$，
将式子变形为用p表示q的形式，得$q=\frac{600}{p}$（p为正数，符合实际意义）。
(2) 设工作效率提高后需要工人$m$人，
每人每天工作效率提高20%，则新的工作效率为$(1+20\%)p=1.2p$，
总工作量保持600不变，因此可得等式：$1.2p· m = pq$，
两边同时除以不为0的p，得$1.2m = q$，
解得$m=\frac{q}{1.2}=\frac{5}{6}q$，
则减少的人数为$q - m = q - \frac{5}{6}q = \frac{1}{6}q$，
减少的比例为$\frac{\frac{1}{6}q}{q}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $q=\frac{600}{p}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
反比例函数应用，工程问题等量关系，百分率计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查基础函数与工程问题的结合，解题关键是抓住总工作量不变的核心条件，注重对基础等量关系的理解和运用，计算量小，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
