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11. (★★★) 已知砖的密度为 $1.5 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3$，用长25 cm、宽12 cm、厚6 cm的砖铺一人行道，若人行道的总面积为750 $ \mathrm{m}^2 $，要求人行道路面铺砖厚度为12 cm。问：
(1)铺完此人行道至少需要多少块砖？
(2)如果汽车一次能运载4 t砖，则最少需要运多少次？
(1)铺完此人行道至少需要多少块砖？
(2)如果汽车一次能运载4 t砖，则最少需要运多少次？
答案
(1) 一块砖的截面积 $S=25\ \mathrm{cm}×12\ \mathrm{cm}=300\ \mathrm{cm^2}=3×10^{-2}\ \mathrm{m^2}$, 人行道的总面积 $S_{\mathrm{总}}=750\ \mathrm{m^2}$, 由题意可知人行道铺砖的层数为2, 所以共需砖数 $n=\frac{S_{\mathrm{总}}}{S}×2=\frac{750\ \mathrm{m^2}}{3×10^{-2}\ \mathrm{m^2}}×2=5×10^4$(块)。
(2) 铺砖的总体积 $V_{\mathrm{总}}=25\ \mathrm{cm}×12\ \mathrm{cm}×6\ \mathrm{cm}×5×10^4=9×10^7\ \mathrm{cm^3}=90\ \mathrm{m^3}$, 由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可得砖的总质量 $m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×90\ \mathrm{m^3}=1.35×10^5\ \mathrm{kg}$, 由题意知汽车一次能运载砖的质量 $M=4\ \mathrm{t}=4×10^3\ \mathrm{kg}$, 则需要运载次数 $N=\frac{m_{\mathrm{总}}}{M}=\frac{1.35×10^5\ \mathrm{kg}}{4×10^3\ \mathrm{kg}}=33.75$, 即需要运34次。
(2) 铺砖的总体积 $V_{\mathrm{总}}=25\ \mathrm{cm}×12\ \mathrm{cm}×6\ \mathrm{cm}×5×10^4=9×10^7\ \mathrm{cm^3}=90\ \mathrm{m^3}$, 由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可得砖的总质量 $m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×90\ \mathrm{m^3}=1.35×10^5\ \mathrm{kg}$, 由题意知汽车一次能运载砖的质量 $M=4\ \mathrm{t}=4×10^3\ \mathrm{kg}$, 则需要运载次数 $N=\frac{m_{\mathrm{总}}}{M}=\frac{1.35×10^5\ \mathrm{kg}}{4×10^3\ \mathrm{kg}}=33.75$, 即需要运34次。
解析
【分析】
解题思路：第(1)问，先通过人行道铺砖厚度与砖厚度的关系算出铺砖层数，再计算单块砖的铺设面积，结合人行道总面积求出单层砖数量，最后乘层数得到总砖数；第(2)问，先计算所有砖的总体积，利用密度公式算出总砖质量，再用总质量除以汽车单次运载质量，结果需向上取整（次数为整数）得到运输次数，核心是单位统一和实际问题的取整处理。
【解析】
(1) 计算所需砖的数量
① 单位换算：单块砖的铺设面积（长×宽）：$ S_{\mathrm{砖}} = 25\ \mathrm{cm} × 12\ \mathrm{cm} = 300\ \mathrm{cm}^2 = 3 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2 $；
② 铺砖层数：人行道铺砖厚度12cm，砖厚6cm，故层数 $ n_{\mathrm{层}} = \frac{12\ \mathrm{cm}}{6\ \mathrm{cm}} = 2 $；
③ 总砖数：单层砖数量为 $ \frac{S_{\mathrm{总}}}{S_{\mathrm{砖}}} = \frac{750\ \mathrm{m}^2}{3 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2} = 2.5 × 10^4 $ 块，总砖数 $ N = 2.5 × 10^4 × 2 = 5 × 10^4 $ 块。
(2) 计算运输次数
① 单块砖体积：$ V_{\mathrm{砖}} = 25\ \mathrm{cm} × 12\ \mathrm{cm} × 6\ \mathrm{cm} = 1800\ \mathrm{cm}^3 = 1.8 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3 $；
② 砖的总体积：$ V_{\mathrm{总}} = N × V_{\mathrm{砖}} = 5 × 10^4 × 1.8 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3 = 90\ \mathrm{m}^3 $；
③ 总砖质量：由 $ \rho = \frac{m}{V} $ 得 $ m_{\mathrm{总}} = \rho V_{\mathrm{总}} = 1.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 90\ \mathrm{m}^3 = 1.35 × 10^5\ \mathrm{kg} $；
④ 单位换算：汽车单次运载质量 $ M = 4\ \mathrm{t} = 4 × 10^3\ \mathrm{kg} $；
⑤ 运输次数：$ \mathrm{次数} = \frac{m_{\mathrm{总}}}{M} = \frac{1.35 × 10^5\ \mathrm{kg}}{4 × 10^3\ \mathrm{kg}} = 33.75 $，次数需取整数，故最少运34次。
【答案】
(1) $ 5 × 10^4 $ 块；(2) 34次
【知识点】
密度公式应用、体积面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查密度公式的应用，需注意单位统一（如cm转m、t转kg），以及运输次数需向上取整（不足1次也需运1次），避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.6
解题思路：第(1)问，先通过人行道铺砖厚度与砖厚度的关系算出铺砖层数，再计算单块砖的铺设面积，结合人行道总面积求出单层砖数量，最后乘层数得到总砖数；第(2)问，先计算所有砖的总体积，利用密度公式算出总砖质量，再用总质量除以汽车单次运载质量，结果需向上取整（次数为整数）得到运输次数，核心是单位统一和实际问题的取整处理。
【解析】
(1) 计算所需砖的数量
① 单位换算：单块砖的铺设面积（长×宽）：$ S_{\mathrm{砖}} = 25\ \mathrm{cm} × 12\ \mathrm{cm} = 300\ \mathrm{cm}^2 = 3 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2 $；
② 铺砖层数：人行道铺砖厚度12cm，砖厚6cm，故层数 $ n_{\mathrm{层}} = \frac{12\ \mathrm{cm}}{6\ \mathrm{cm}} = 2 $；
③ 总砖数：单层砖数量为 $ \frac{S_{\mathrm{总}}}{S_{\mathrm{砖}}} = \frac{750\ \mathrm{m}^2}{3 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2} = 2.5 × 10^4 $ 块，总砖数 $ N = 2.5 × 10^4 × 2 = 5 × 10^4 $ 块。
(2) 计算运输次数
① 单块砖体积：$ V_{\mathrm{砖}} = 25\ \mathrm{cm} × 12\ \mathrm{cm} × 6\ \mathrm{cm} = 1800\ \mathrm{cm}^3 = 1.8 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3 $；
② 砖的总体积：$ V_{\mathrm{总}} = N × V_{\mathrm{砖}} = 5 × 10^4 × 1.8 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3 = 90\ \mathrm{m}^3 $；
③ 总砖质量：由 $ \rho = \frac{m}{V} $ 得 $ m_{\mathrm{总}} = \rho V_{\mathrm{总}} = 1.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 90\ \mathrm{m}^3 = 1.35 × 10^5\ \mathrm{kg} $；
④ 单位换算：汽车单次运载质量 $ M = 4\ \mathrm{t} = 4 × 10^3\ \mathrm{kg} $；
⑤ 运输次数：$ \mathrm{次数} = \frac{m_{\mathrm{总}}}{M} = \frac{1.35 × 10^5\ \mathrm{kg}}{4 × 10^3\ \mathrm{kg}} = 33.75 $，次数需取整数，故最少运34次。
【答案】
(1) $ 5 × 10^4 $ 块；(2) 34次
【知识点】
密度公式应用、体积面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查密度公式的应用，需注意单位统一（如cm转m、t转kg），以及运输次数需向上取整（不足1次也需运1次），避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.6
12. (★★★)某款柿子醋玻璃瓶的标签上标有“净含量:480 mL”的字样。为了测出该柿子醋的密度,先称出了玻璃瓶和醋的总质量为604 g,并记下醋液面所在的位置;在醋用完后装入等体积的水,再称出玻璃瓶和水的总质量为580 g。求:($\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
(1)所装水的质量;
(2)空瓶的质量;
(3)柿子醋的密度。
(1)所装水的质量;
(2)空瓶的质量;
(3)柿子醋的密度。
答案
(1) 所装水的体积 $V_{\mathrm{水}}=480\ \mathrm{mL}=4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$, 由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可得, 所装水的质量 $m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=0.48\ \mathrm{kg}$。
(2) 空瓶的质量 $m_{\mathrm{瓶}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{水}}=0.58\ \mathrm{kg}-0.48\ \mathrm{kg}=0.1\ \mathrm{kg}$。
(3) 醋的质量 $m_{\mathrm{醋}}=M_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{瓶}}=0.604\ \mathrm{kg}-0.1\ \mathrm{kg}=0.504\ \mathrm{kg}$, 瓶内醋的体积 $V_{\mathrm{醋}}=4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$, 则柿子醋的密度 $\rho=\frac{m_{\mathrm{醋}}}{V_{\mathrm{醋}}}=\frac{0.504\ \mathrm{kg}}{4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
(2) 空瓶的质量 $m_{\mathrm{瓶}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{水}}=0.58\ \mathrm{kg}-0.48\ \mathrm{kg}=0.1\ \mathrm{kg}$。
(3) 醋的质量 $m_{\mathrm{醋}}=M_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{瓶}}=0.604\ \mathrm{kg}-0.1\ \mathrm{kg}=0.504\ \mathrm{kg}$, 瓶内醋的体积 $V_{\mathrm{醋}}=4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$, 则柿子醋的密度 $\rho=\frac{m_{\mathrm{醋}}}{V_{\mathrm{醋}}}=\frac{0.504\ \mathrm{kg}}{4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
解析
【分析】
解题思路：首先明确“净含量480mL”是柿子醋的体积，装入等体积的水时，水的体积与醋的体积相等，均为480mL。步骤1：利用密度公式结合水的密度和体积，计算水的质量；步骤2：用玻璃瓶和水的总质量减去水的质量，得到空瓶质量；步骤3：先算柿子醋的质量（瓶和醋的总质量减空瓶质量），再结合醋的体积，用密度公式求出柿子醋的密度。
【解析】
解：
(1) 水的体积等于柿子醋的体积，即$V_{水}=V_{醋}=480\ \mathrm{mL}=4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$，
根据$\rho=\frac{m}{V}$，所装水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=0.48\ \mathrm{kg}$；
(2) 玻璃瓶和水的总质量$m_{总水}=580\ \mathrm{g}=0.58\ \mathrm{kg}$，
空瓶质量：
$m_{瓶}=m_{总水}-m_{水}=0.58\ \mathrm{kg}-0.48\ \mathrm{kg}=0.1\ \mathrm{kg}$；
(3) 玻璃瓶和醋的总质量$m_{总醋}=604\ \mathrm{g}=0.604\ \mathrm{kg}$，
柿子醋的质量：
$m_{醋}=m_{总醋}-m_{瓶}=0.604\ \mathrm{kg}-0.1\ \mathrm{kg}=0.504\ \mathrm{kg}$，
柿子醋体积$V_{醋}=4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$，
则柿子醋的密度：
$\rho_{醋}=\frac{m_{醋}}{V_{醋}}=\frac{0.504\ \mathrm{kg}}{4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
【答案】
(1) 0.48 kg；(2) 0.1 kg；(3) $1.05×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【知识点】
密度公式应用，单位换算，质量计算
【点评】
本题为密度计算基础应用题，核心是利用“等体积”条件确定水和醋的体积，需注意质量与体积单位的统一，考查学生对密度公式的掌握及单位换算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先明确“净含量480mL”是柿子醋的体积，装入等体积的水时，水的体积与醋的体积相等，均为480mL。步骤1：利用密度公式结合水的密度和体积，计算水的质量；步骤2：用玻璃瓶和水的总质量减去水的质量，得到空瓶质量；步骤3：先算柿子醋的质量（瓶和醋的总质量减空瓶质量），再结合醋的体积，用密度公式求出柿子醋的密度。
【解析】
解：
(1) 水的体积等于柿子醋的体积，即$V_{水}=V_{醋}=480\ \mathrm{mL}=4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$，
根据$\rho=\frac{m}{V}$，所装水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=0.48\ \mathrm{kg}$；
(2) 玻璃瓶和水的总质量$m_{总水}=580\ \mathrm{g}=0.58\ \mathrm{kg}$，
空瓶质量：
$m_{瓶}=m_{总水}-m_{水}=0.58\ \mathrm{kg}-0.48\ \mathrm{kg}=0.1\ \mathrm{kg}$；
(3) 玻璃瓶和醋的总质量$m_{总醋}=604\ \mathrm{g}=0.604\ \mathrm{kg}$，
柿子醋的质量：
$m_{醋}=m_{总醋}-m_{瓶}=0.604\ \mathrm{kg}-0.1\ \mathrm{kg}=0.504\ \mathrm{kg}$，
柿子醋体积$V_{醋}=4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$，
则柿子醋的密度：
$\rho_{醋}=\frac{m_{醋}}{V_{醋}}=\frac{0.504\ \mathrm{kg}}{4.8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
【答案】
(1) 0.48 kg；(2) 0.1 kg；(3) $1.05×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【知识点】
密度公式应用，单位换算，质量计算
【点评】
本题为密度计算基础应用题，核心是利用“等体积”条件确定水和醋的体积，需注意质量与体积单位的统一，考查学生对密度公式的掌握及单位换算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
