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【例1】比较两个角的大小，有以下两种方法：
①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，度数大的角大；
②构造图形，若一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大.
对于如图给定的$∠ABC$与$∠DEF$，用以上两种方法分别比较它们的大小.
注:构造图形时,作示意图(草图)即可.
①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，度数大的角大；
②构造图形，若一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大.
对于如图给定的$∠ABC$与$∠DEF$，用以上两种方法分别比较它们的大小.
注:构造图形时,作示意图(草图)即可.
答案
解:第一种方法略.
第二种方法如图
,故∠DEF大.解析
【分析】
解题可按照题干给出的两种方法分别梳理思路：
1. 度量法：核心是通过角度数值判断大小，首先用量角器分别测量两个角的度数，再直接比较度数的大小，度数更大的对应角更大。
2. 叠合法：核心是通过图形覆盖关系判断大小，操作时先将两个角的顶点重合，再把两个角的其中一条边重合，剩余两条边放在重合边的同侧，观察剩余边的位置：若一个角的另一条边落在另一个角的内部，则这个角更小；若落在外部，则这个角更大。
【解析】
方法①（度量法）：
用量角器分别测量∠ABC和∠DEF的度数，测量可得∠ABC的度数小于∠DEF的度数，因此$∠ DEF＞∠ ABC$。
方法②（叠合法）：
第一步：将∠ABC的顶点B与∠DEF的顶点E重合，使边BC与边EF完全重合；
第二步：将边BA、边ED都放在重合边EF的同一侧；
第三步：观察边的位置，发现边BA落在∠DEF的内部，即∠DEF包含∠ABC，因此∠DEF更大。
【答案】
第一种方法略.
第二种方法如图,故∠DEF大.
【知识点】
1. 角的大小比较
2. 度量法
3. 叠合法
【点评】
本题考查角的大小比较的两种基础方法，分别从数值、图形两个维度判断角的大小，操作难度较低，熟练掌握两种方法的操作步骤是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
解题可按照题干给出的两种方法分别梳理思路：
1. 度量法：核心是通过角度数值判断大小，首先用量角器分别测量两个角的度数，再直接比较度数的大小，度数更大的对应角更大。
2. 叠合法：核心是通过图形覆盖关系判断大小，操作时先将两个角的顶点重合，再把两个角的其中一条边重合，剩余两条边放在重合边的同侧，观察剩余边的位置：若一个角的另一条边落在另一个角的内部，则这个角更小；若落在外部，则这个角更大。
【解析】
方法①（度量法）：
用量角器分别测量∠ABC和∠DEF的度数，测量可得∠ABC的度数小于∠DEF的度数，因此$∠ DEF＞∠ ABC$。
方法②（叠合法）：
第一步：将∠ABC的顶点B与∠DEF的顶点E重合，使边BC与边EF完全重合；
第二步：将边BA、边ED都放在重合边EF的同一侧；
第三步：观察边的位置，发现边BA落在∠DEF的内部，即∠DEF包含∠ABC，因此∠DEF更大。
【答案】
第一种方法略.
第二种方法如图
,故∠DEF大.【知识点】
1. 角的大小比较
2. 度量法
3. 叠合法
【点评】
本题考查角的大小比较的两种基础方法，分别从数值、图形两个维度判断角的大小，操作难度较低，熟练掌握两种方法的操作步骤是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
【变式】(2025 遵化市校级一模)如图，用同样大小的三角板比较∠A 和∠B 的大小，下列判断正确的是 （
A.∠A＞∠B
B.∠A＜∠B
C.∠A=∠B
D.没有量角器，无法确定
B
）A.∠A＞∠B
B.∠A＜∠B
C.∠A=∠B
D.没有量角器，无法确定
答案
B
解析
【分析】
本题可借助相同的三角板作为参照，用叠合法比较角的大小。首先明确：叠合法比较角时，将两个角的顶点和其中一条边分别重合，观察另一条边的位置，若落在内部则角更小，落在外部则角更大。我们先分别比较∠A、∠B和三角板同位置锐角的大小，再推导∠A和∠B的大小关系即可。
【解析】
已知两个三角板完全相同，因此它们对应锐角的大小相等，记该锐角的度数为α。
1. 比较∠A和α的大小：将∠A的顶点与三角板顶点重合，底边与三角板的底边重合，可观察到∠A的另一条边落在三角板该锐角的内部，因此$∠ A ＜ α$；
2. 比较∠B和α的大小：同理，将∠B的顶点与三角板顶点重合，底边与三角板的底边重合，可观察到∠B的另一条边落在三角板该锐角的外部，因此$∠ B ＞ α$。
结合上述结论可得$∠ A ＜ α ＜ ∠ B$，即$∠ A ＜ ∠ B$。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较、叠合法比较角
【点评】
本题考查角的大小比较的实际应用，无需量角器，借助已知角度的标准图形（三角板）用叠合法即可快速判断，解题的关键是掌握叠合法比较角大小的规则。
【难度系数】
0.8
本题可借助相同的三角板作为参照，用叠合法比较角的大小。首先明确：叠合法比较角时，将两个角的顶点和其中一条边分别重合，观察另一条边的位置，若落在内部则角更小，落在外部则角更大。我们先分别比较∠A、∠B和三角板同位置锐角的大小，再推导∠A和∠B的大小关系即可。
【解析】
已知两个三角板完全相同，因此它们对应锐角的大小相等，记该锐角的度数为α。
1. 比较∠A和α的大小：将∠A的顶点与三角板顶点重合，底边与三角板的底边重合，可观察到∠A的另一条边落在三角板该锐角的内部，因此$∠ A ＜ α$；
2. 比较∠B和α的大小：同理，将∠B的顶点与三角板顶点重合，底边与三角板的底边重合，可观察到∠B的另一条边落在三角板该锐角的外部，因此$∠ B ＞ α$。
结合上述结论可得$∠ A ＜ α ＜ ∠ B$，即$∠ A ＜ ∠ B$。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较、叠合法比较角
【点评】
本题考查角的大小比较的实际应用，无需量角器，借助已知角度的标准图形（三角板）用叠合法即可快速判断，解题的关键是掌握叠合法比较角大小的规则。
【难度系数】
0.8
【例2】计算：
(1)$103.3° + 176° 42' - 98.34°$；
(2)$24° 22' 36'' × 3$；
(3)$147° 45' ÷ 5$。
(1)$103.3° + 176° 42' - 98.34°$；
(2)$24° 22' 36'' × 3$；
(3)$147° 45' ÷ 5$。
答案
解:(1)原式$=103°18'+176°42'-98°20'24''$
$=280°-98°20'24''$
$=279°59'60''-98°20'24''$
$=181°39'36''$；
(2)原式$=72°66'108''=73°7'48''$；
(3)原式$=(145°+2°45')÷5=29°+165'÷5=29°33'$.
$=280°-98°20'24''$
$=279°59'60''-98°20'24''$
$=181°39'36''$；
(2)原式$=72°66'108''=73°7'48''$；
(3)原式$=(145°+2°45')÷5=29°+165'÷5=29°33'$.
解析
【分析】
本题考查度分秒的运算，核心规则是度、分、秒为60进制（$1°=60'$，$1'=60''$），解题思路如下：
1. 加减运算：先将所有角度统一为度分秒形式，再将度、分、秒分别对齐运算，加法满60向上一级进1，减法不够减时向上一级借1当60；
2. 乘法运算：分别用度、分、秒乘乘数，再从秒开始逐级满60进1；
3. 除法运算：先除度，将度的余数转为分，加上原有的分后再除，依次类推，每级的余数都转成下一级再运算。
【解析】
(1) 先将小数形式的角度转为度分秒形式：
$103.3°=103°+0.3×60'=103°18'$，$98.34°=98°+0.34×60'=98°20'+0.4×60''=98°20'24''$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=103°18'+176°42'-98°20'24''\\&=280°-98°20'24''\\&=279°59'60''-98°20'24''\\&=181°39'36''\end{aligned}$
(2) 分别将度、分、秒乘3，再逐级进位：
$\begin{aligned}原式&=24°×3+22'×3+36''×3\\&=72°66'108''\\&=73°7'48''\end{aligned}$
(3) 先除度，余数转成分后再除：
$\begin{aligned}原式&=(145°+2°45')÷5\\&=29°+165'÷5\\&=29°33'\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{181°39'36''}$；(2) $\boxed{73°7'48''}$；(3) $\boxed{29°33'}$
【知识点】
度分秒的换算；角的加减运算；角的乘除运算
【点评】
本题重点考察度分秒的60进制运算规则，解题时要注意区分度分秒的进制和十进制的差异，进退位时严格按照60换算，熟练掌握换算方法即可准确求解。
【难度系数】
0.7
本题考查度分秒的运算，核心规则是度、分、秒为60进制（$1°=60'$，$1'=60''$），解题思路如下：
1. 加减运算：先将所有角度统一为度分秒形式，再将度、分、秒分别对齐运算，加法满60向上一级进1，减法不够减时向上一级借1当60；
2. 乘法运算：分别用度、分、秒乘乘数，再从秒开始逐级满60进1；
3. 除法运算：先除度，将度的余数转为分，加上原有的分后再除，依次类推，每级的余数都转成下一级再运算。
【解析】
(1) 先将小数形式的角度转为度分秒形式：
$103.3°=103°+0.3×60'=103°18'$，$98.34°=98°+0.34×60'=98°20'+0.4×60''=98°20'24''$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=103°18'+176°42'-98°20'24''\\&=280°-98°20'24''\\&=279°59'60''-98°20'24''\\&=181°39'36''\end{aligned}$
(2) 分别将度、分、秒乘3，再逐级进位：
$\begin{aligned}原式&=24°×3+22'×3+36''×3\\&=72°66'108''\\&=73°7'48''\end{aligned}$
(3) 先除度，余数转成分后再除：
$\begin{aligned}原式&=(145°+2°45')÷5\\&=29°+165'÷5\\&=29°33'\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{181°39'36''}$；(2) $\boxed{73°7'48''}$；(3) $\boxed{29°33'}$
【知识点】
度分秒的换算；角的加减运算；角的乘除运算
【点评】
本题重点考察度分秒的60进制运算规则，解题时要注意区分度分秒的进制和十进制的差异，进退位时严格按照60换算，熟练掌握换算方法即可准确求解。
【难度系数】
0.7
【变式】计算：
(1)$180° - 18°15' × 6$；
(2)$90° - (78°36' - 13°10' ÷ 4)$。
(1)$180° - 18°15' × 6$；
(2)$90° - (78°36' - 13°10' ÷ 4)$。
答案
解:(1)$180°-18°15'×6=180°-109°30'=70°30'$；
(2)$90°-(78°36'-13°10'÷4)=90°-(78°36'-3°17'30'')$
$=90°-75°18'30''=14°41'30''$.
(2)$90°-(78°36'-13°10'÷4)=90°-(78°36'-3°17'30'')$
$=90°-75°18'30''=14°41'30''$.
解析
【分析】
度分秒采用60进制，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$，运算时遵循四则运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内的内容。计算乘除时分别对度、分、秒运算，结果满60向上一级进1；计算减法时如果本级数值不够减，要向上一级借1当60再计算。
第(1)题先计算乘法$18°15'×6$，将结果换算为规范的度分表示后，再用$180°$减去该结果即可；
第(2)题先算括号内的除法$13°10'÷4$，得到结果后再算括号内的减法，最后计算括号外的减法即可。
【解析】
(1) 先计算乘法部分：
$18°15'×6 = 18°×6 + 15'×6 = 108° + 90'$
因为$90'=1°30'$，因此$108°+90'=109°30'$
再计算减法，将$180°$改写为$179°60'$方便计算：
$180° - 109°30' = 179°60' - 109°30' = 70°30'$
(2) 先计算括号内的除法：
计算$13°10'÷4$：$13°÷4=3°$余$1°$，将余下的$1°$换算为$60'$，加原有$10'$得$70'$；
$70'÷4=17'$余$2'$，将余下的$2'$换算为$120''$；
$120''÷4=30''$，因此$13°10'÷4=3°17'30''$
再计算括号内的减法，将$78°36'$改写为$78°35'60''$方便计算：
$78°36' - 3°17'30'' = 78°35'60'' - 3°17'30'' = 75°18'30''$
最后计算括号外的减法，将$90°$改写为$89°59'60''$方便计算：
$90° - 75°18'30'' = 89°59'60'' - 75°18'30'' = 14°41'30''$
【答案】
(1)$70°30'$；(2)$14°41'30''$
【知识点】
度分秒换算，角的四则运算，60进制运算
【点评】
本题主要考查度分秒的运算能力，解题核心是牢记度分秒为60进制，不要和十进制混淆，运算时严格遵循先乘除后加减、有括号先算括号内的顺序，借位、进位以及除法的余数换算时注意单位转换规则，就能顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.7
度分秒采用60进制，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$，运算时遵循四则运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内的内容。计算乘除时分别对度、分、秒运算，结果满60向上一级进1；计算减法时如果本级数值不够减，要向上一级借1当60再计算。
第(1)题先计算乘法$18°15'×6$，将结果换算为规范的度分表示后，再用$180°$减去该结果即可；
第(2)题先算括号内的除法$13°10'÷4$，得到结果后再算括号内的减法，最后计算括号外的减法即可。
【解析】
(1) 先计算乘法部分：
$18°15'×6 = 18°×6 + 15'×6 = 108° + 90'$
因为$90'=1°30'$，因此$108°+90'=109°30'$
再计算减法，将$180°$改写为$179°60'$方便计算：
$180° - 109°30' = 179°60' - 109°30' = 70°30'$
(2) 先计算括号内的除法：
计算$13°10'÷4$：$13°÷4=3°$余$1°$，将余下的$1°$换算为$60'$，加原有$10'$得$70'$；
$70'÷4=17'$余$2'$，将余下的$2'$换算为$120''$；
$120''÷4=30''$，因此$13°10'÷4=3°17'30''$
再计算括号内的减法，将$78°36'$改写为$78°35'60''$方便计算：
$78°36' - 3°17'30'' = 78°35'60'' - 3°17'30'' = 75°18'30''$
最后计算括号外的减法，将$90°$改写为$89°59'60''$方便计算：
$90° - 75°18'30'' = 89°59'60'' - 75°18'30'' = 14°41'30''$
【答案】
(1)$70°30'$；(2)$14°41'30''$
【知识点】
度分秒换算，角的四则运算，60进制运算
【点评】
本题主要考查度分秒的运算能力，解题核心是牢记度分秒为60进制，不要和十进制混淆，运算时严格遵循先乘除后加减、有括号先算括号内的顺序，借位、进位以及除法的余数换算时注意单位转换规则，就能顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.7
