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8. 为鼓励学生多读书，某图书馆针对学生推出两种新的借阅优惠方案：
甲方案:凭学生证免费办理借阅卡,充值超过20元时,超过多少送多少.
乙方案:凭学生证免费办理会员卡,充值每满40元再送20元.
设借阅时间为x(天),甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别为$y_1$(元),$y_2$(元),$y_1$,$y_2$关于x的函数图象如图所示.
(1)直接写出$y_1$,$y_2$与x之间的函数关系式.
(2)请求出图中线段AB的长,并说明它的实际意义.
(3)八年级学生小兰准备用40元钱在该图书馆借阅一本书,选择哪种方案更划算?说明理由.
甲方案:凭学生证免费办理借阅卡,充值超过20元时,超过多少送多少.
乙方案:凭学生证免费办理会员卡,充值每满40元再送20元.
设借阅时间为x(天),甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别为$y_1$(元),$y_2$(元),$y_1$,$y_2$关于x的函数图象如图所示.
(1)直接写出$y_1$,$y_2$与x之间的函数关系式.
(2)请求出图中线段AB的长,并说明它的实际意义.
(3)八年级学生小兰准备用40元钱在该图书馆借阅一本书,选择哪种方案更划算?说明理由.
答案
8.解:(1)$y_1=0.3x+20$,$y_2=0.5x$. (2)当$x=50$时,$y_1=0.3×50+20=35$,$y_2=0.5×50=25$. $\therefore AB=y_1-y_2=10$. AB的实际意义是当借阅50天时,两种方案每本书的借用租金相差10元. (3)选择甲方案更划算.理由如下:选择甲方案:借阅卡金额为$40+(40-20)=60$(元). 则$0.3x+20=60$,解得$x=\frac{400}{3}$;选择乙方案:会员卡金额为$40+20=60$(元). 则$0.5x=60$,解得$x=120$. $\because\frac{400}{3}＞120$,$\therefore$选择甲方案更划算.
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式使用待定系数法：观察图象可知$y_1$是过点$(0,20)$、$(100,50)$的一次函数，设解析式为$y_1=k_1x+b$，代入两点即可求出系数；$y_2$是过原点、$(100,50)$的正比例函数，设解析式为$y_2=k_2x$，代入$(100,50)$即可求出系数。
(2) 线段AB是$x=50$时两个函数对应y值的差，先分别将$x=50$代入两个解析式求出函数值，作差得到AB长度，再结合x、y的实际意义解释AB的含义即可。
(3) 先根据两种方案的优惠规则，分别算出充值40元后可使用的总金额，再分别令两个函数值等于总金额，解出对应借阅天数x，x越大则方案越划算。
【解析】
解：(1) 设$y_1$的解析式为$y_1=k_1x+b$，将$(0,20)$、$(100,50)$代入得：
$\begin{cases}b=20\\100k_1+b=50\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=0.3\\b=20\end{cases}$，$\therefore y_1=0.3x+20$。
设$y_2$的解析式为$y_2=k_2x$，将$(100,50)$代入得：$100k_2=50$，解得$k_2=0.5$，$\therefore y_2=0.5x$。
(2) 当$x=50$时，$y_1=0.3×50+20=35$，$y_2=0.5×50=25$，
$\therefore AB=y_1-y_2=35-25=10$。
实际意义：当借阅时间为50天时，两种方案的借阅租金相差10元。
(3) 选择甲方案更划算，理由如下：
按甲方案优惠规则：充值40元，超过20元的部分为$40-20=20$元，可获送20元，总可用金额为$40+20=60$元。
令$0.3x+20=60$，解得$x=\frac{400}{3}$。
按乙方案优惠规则：充值40元，每满40元送20元，可获送20元，总可用金额为$40+20=60$元。
令$0.5x=60$，解得$x=120$。
$\because\frac{400}{3}＞120$，即甲方案可借阅的天数更长，$\therefore$选择甲方案更划算。
【答案】
(1) $y_1=0.3x+20$，$y_2=0.5x$；
(2) 线段AB的长为10，实际意义为借阅50天时，两种方案的借阅租金相差10元；
(3) 选择甲方案更划算。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数与一元一次方程
【点评】
本题结合生活中的借阅优惠情境考查一次函数相关知识，需要学生准确理解优惠规则、读懂函数图象，通过建立函数模型解决实际问题，能有效提升学生的信息提取能力和数学应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求一次函数解析式使用待定系数法：观察图象可知$y_1$是过点$(0,20)$、$(100,50)$的一次函数，设解析式为$y_1=k_1x+b$，代入两点即可求出系数；$y_2$是过原点、$(100,50)$的正比例函数，设解析式为$y_2=k_2x$，代入$(100,50)$即可求出系数。
(2) 线段AB是$x=50$时两个函数对应y值的差，先分别将$x=50$代入两个解析式求出函数值，作差得到AB长度，再结合x、y的实际意义解释AB的含义即可。
(3) 先根据两种方案的优惠规则，分别算出充值40元后可使用的总金额，再分别令两个函数值等于总金额，解出对应借阅天数x，x越大则方案越划算。
【解析】
解：(1) 设$y_1$的解析式为$y_1=k_1x+b$，将$(0,20)$、$(100,50)$代入得：
$\begin{cases}b=20\\100k_1+b=50\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=0.3\\b=20\end{cases}$，$\therefore y_1=0.3x+20$。
设$y_2$的解析式为$y_2=k_2x$，将$(100,50)$代入得：$100k_2=50$，解得$k_2=0.5$，$\therefore y_2=0.5x$。
(2) 当$x=50$时，$y_1=0.3×50+20=35$，$y_2=0.5×50=25$，
$\therefore AB=y_1-y_2=35-25=10$。
实际意义：当借阅时间为50天时，两种方案的借阅租金相差10元。
(3) 选择甲方案更划算，理由如下：
按甲方案优惠规则：充值40元，超过20元的部分为$40-20=20$元，可获送20元，总可用金额为$40+20=60$元。
令$0.3x+20=60$，解得$x=\frac{400}{3}$。
按乙方案优惠规则：充值40元，每满40元送20元，可获送20元，总可用金额为$40+20=60$元。
令$0.5x=60$，解得$x=120$。
$\because\frac{400}{3}＞120$，即甲方案可借阅的天数更长，$\therefore$选择甲方案更划算。
【答案】
(1) $y_1=0.3x+20$，$y_2=0.5x$；
(2) 线段AB的长为10，实际意义为借阅50天时，两种方案的借阅租金相差10元；
(3) 选择甲方案更划算。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数与一元一次方程
【点评】
本题结合生活中的借阅优惠情境考查一次函数相关知识，需要学生准确理解优惠规则、读懂函数图象，通过建立函数模型解决实际问题，能有效提升学生的信息提取能力和数学应用能力。
【难度系数】
0.65
9. 如图1，长为60 km的某段线路AB上有甲、乙两车，分别从南站A和北站B同时出发相向而行，达到B，A后立马返回到出发站停止，速度均为30 km/h，设甲车、乙车距南站A的路程分别为$y_甲$，$y_乙$(km)，行驶时间为$t$(h)($t≥0$).
(1)图2中已画出$y_甲$关于$t$的函数图象，其中$a=$
(2)在图2中补画$y_乙$关于$t$的函数图象，求出$y_乙$与$t$之间的关系式(注明自变量的取值范围).
(3)观察图象，直接写出在整个行驶过程中两车相遇的次数.
(1)图2中已画出$y_甲$关于$t$的函数图象，其中$a=$
2
，$b=$4
.(2)在图2中补画$y_乙$关于$t$的函数图象，求出$y_乙$与$t$之间的关系式(注明自变量的取值范围).
(3)观察图象，直接写出在整个行驶过程中两车相遇的次数.
答案
9.解:(1)2 4 (2)补画$y_乙$关于t的函数图象图略. 当$0≤ t≤2$时,设函数表达式为$y_乙=kx+m$,根据题意,得$60=m$,① $0=2k+m$. ② 把①代入②,得$k=-30$. $\therefore y_乙=-30t+60(0≤ t≤2)$;当$2＜ t≤4$时,设函数表达式为$y_乙=30x+n$. 将$(2,0)$代入,得$2×30+n=0$,解得$n=-60$. $\therefore y_乙=30t-60(2＜ t≤4)$. $\therefore y_乙=\begin{cases}-30t+60(0≤ t≤2),\\30t-60(2＜ t≤4).\end{cases}$ (3)在整个行驶过程中两车相遇的次数为2.
解析
【分析】
(1) 首先明确a是甲车从南站A行驶到北站B的单程时间，根据行程公式“时间=路程÷速度”，代入路程60km、速度30km/h即可求出a；b是甲车往返A、B两站的总时间，为单程时间的2倍，直接计算即可得到b。
(2) 乙车从北站B出发，先向南站A行驶，2小时到达A站，此时距A站的路程从60km逐渐降到0；之后立刻返回北站B，2小时后回到起点，距A站的路程从0逐渐升到60km，因此$y_乙$的函数是分段函数，对每段分别使用待定系数法，代入对应点的坐标即可求出函数关系式，注意标注每段对应的自变量取值范围。
(3) 两车相遇时，两车距南站A的路程相等，对应两个函数图象的交点，统计两个函数图象的交点总个数，即可得到相遇次数。
【解析】
(1) 甲车单程行驶路程为60km，速度为30km/h，因此单程时间$a=60÷30=2$；往返总路程为$60×2=120\mathrm{km}$，总时间$b=120÷30=4$。
(2) $y_乙$的函数图象分两段绘制：起点为$(0,60)$，用线段连接到点$(2,0)$，再用线段连接到点$(4,60)$。
分两段求函数关系式：
①当$0≤ t≤2$时，设$y_乙=kt+m$，将$(0,60)$、$(2,0)$代入解析式，得$\begin{cases}m=60\\2k+m=0\end{cases}$，将$m=60$代入第二个方程，解得$k=-30$，因此$y_乙=-30t+60\quad(0≤ t≤2)$。
②当$2＜t≤4$时，设$y_乙=30t+n$，将$(2,0)$代入解析式，得$30×2+n=0$，解得$n=-60$，因此$y_乙=30t-60\quad(2＜t≤4)$。
综上可得$y_乙$的分段关系式。
(3) $y_甲$和$y_乙$的函数图象共有2个交点，对应两车相遇2次。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{4}$
(2) 图象略，$y_乙=\begin{cases}-30t+60&(0≤ t≤2)\\30t-60&(2＜ t≤4)\end{cases}$
(3) $\boxed{2}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数交点
【点评】
本题结合行程场景考察一次函数的实际应用，需要结合实际运动过程分析函数的分段特征，通过数形结合的方法理解函数交点对应的实际意义，能有效锻炼分段函数分析能力和实际问题转化能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确a是甲车从南站A行驶到北站B的单程时间，根据行程公式“时间=路程÷速度”，代入路程60km、速度30km/h即可求出a；b是甲车往返A、B两站的总时间，为单程时间的2倍，直接计算即可得到b。
(2) 乙车从北站B出发，先向南站A行驶，2小时到达A站，此时距A站的路程从60km逐渐降到0；之后立刻返回北站B，2小时后回到起点，距A站的路程从0逐渐升到60km，因此$y_乙$的函数是分段函数，对每段分别使用待定系数法，代入对应点的坐标即可求出函数关系式，注意标注每段对应的自变量取值范围。
(3) 两车相遇时，两车距南站A的路程相等，对应两个函数图象的交点，统计两个函数图象的交点总个数，即可得到相遇次数。
【解析】
(1) 甲车单程行驶路程为60km，速度为30km/h，因此单程时间$a=60÷30=2$；往返总路程为$60×2=120\mathrm{km}$，总时间$b=120÷30=4$。
(2) $y_乙$的函数图象分两段绘制：起点为$(0,60)$，用线段连接到点$(2,0)$，再用线段连接到点$(4,60)$。
分两段求函数关系式：
①当$0≤ t≤2$时，设$y_乙=kt+m$，将$(0,60)$、$(2,0)$代入解析式，得$\begin{cases}m=60\\2k+m=0\end{cases}$，将$m=60$代入第二个方程，解得$k=-30$，因此$y_乙=-30t+60\quad(0≤ t≤2)$。
②当$2＜t≤4$时，设$y_乙=30t+n$，将$(2,0)$代入解析式，得$30×2+n=0$，解得$n=-60$，因此$y_乙=30t-60\quad(2＜t≤4)$。
综上可得$y_乙$的分段关系式。
(3) $y_甲$和$y_乙$的函数图象共有2个交点，对应两车相遇2次。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{4}$
(2) 图象略，$y_乙=\begin{cases}-30t+60&(0≤ t≤2)\\30t-60&(2＜ t≤4)\end{cases}$
(3) $\boxed{2}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数交点
【点评】
本题结合行程场景考察一次函数的实际应用，需要结合实际运动过程分析函数的分段特征，通过数形结合的方法理解函数交点对应的实际意义，能有效锻炼分段函数分析能力和实际问题转化能力。
【难度系数】
0.7
