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6. 小明与小亮要到科技馆参观. 小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示,则科技馆位于小亮家的
南偏东60°
方向,距离小亮家 5
km处.答案
6.南偏东60°;5
解析
【分析】
解题时需分别解决方位判断和距离计算两个问题：①距离可直接从图中标注获取；②方位判断首先以小亮家为观测点，依据“上北下南、左西右东”的方位规则，结合三角形内角和定理计算角度：先求出小明家所在的三角形内角度数，再用内角和180°算出小亮家所在的内角，最终换算为南偏东的角度即可。
【解析】
1. 距离计算：观察图形可知，小亮家与科技馆之间的线段标注长度为5km，因此科技馆距离小亮家5km。
2. 方位计算：
（1）先求三角形中小明家的内角：小明家到科技馆的连线与正南方向夹角为50°，由于正南与正西方向垂直，因此该内角为$90° - 50° = 40°$。
（2）再求三角形中小亮家的内角：根据三角形内角和为$180°$，已知科技馆处内角为$110°$，因此小亮家处的内角为$180° - 40° - 110° = 30°$，这个角是小亮家到科技馆的连线与正东方向的向南夹角，即东偏南$30°$，换算为南偏东的角度为$90° - 30° = 60°$，因此科技馆位于小亮家南偏东$60°$方向。
【答案】
南偏东$60°$;5
【知识点】
位置与方位，三角形内角和定理
【点评】
本题结合方位图考查基础几何知识的应用，解题的核心是找准观测点，灵活运用三角形内角和计算夹角，同时注意方向表述的规范。
【难度系数】
0.7
解题时需分别解决方位判断和距离计算两个问题：①距离可直接从图中标注获取；②方位判断首先以小亮家为观测点，依据“上北下南、左西右东”的方位规则，结合三角形内角和定理计算角度：先求出小明家所在的三角形内角度数，再用内角和180°算出小亮家所在的内角，最终换算为南偏东的角度即可。
【解析】
1. 距离计算：观察图形可知，小亮家与科技馆之间的线段标注长度为5km，因此科技馆距离小亮家5km。
2. 方位计算：
（1）先求三角形中小明家的内角：小明家到科技馆的连线与正南方向夹角为50°，由于正南与正西方向垂直，因此该内角为$90° - 50° = 40°$。
（2）再求三角形中小亮家的内角：根据三角形内角和为$180°$，已知科技馆处内角为$110°$，因此小亮家处的内角为$180° - 40° - 110° = 30°$，这个角是小亮家到科技馆的连线与正东方向的向南夹角，即东偏南$30°$，换算为南偏东的角度为$90° - 30° = 60°$，因此科技馆位于小亮家南偏东$60°$方向。
【答案】
南偏东$60°$;5
【知识点】
位置与方位，三角形内角和定理
【点评】
本题结合方位图考查基础几何知识的应用，解题的核心是找准观测点，灵活运用三角形内角和计算夹角，同时注意方向表述的规范。
【难度系数】
0.7
7.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1).将线段AB平移,使其一个端点到点C(3,2)处,则平移后另一端点的坐标为 (
A.(1,3)
B.(5,1)
C.(1,3)或(3,5)
D.(1,3)或(5,1)
D
)A.(1,3)
B.(5,1)
C.(1,3)或(3,5)
D.(1,3)或(5,1)
答案
7.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确平移的坐标变化规律：平移过程中，图形上所有点的平移方式完全相同，即横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。题目未明确线段AB的哪个端点平移到点C，因此需要分两种情况讨论：①点A平移到点C，计算对应点B平移后的坐标；②点B平移到点C，计算对应点A平移后的坐标，最终汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若端点A(2,0)平移后得到点C(3,2)：
平移时横坐标增加量为$3-2=1$，纵坐标增加量为$2-0=2$，即线段向右平移1个单位，向上平移2个单位。
则点B(0,1)平移后坐标为：横坐标$0+1=1$，纵坐标$1+2=3$，即$(1,3)$。
2. 若端点B(0,1)平移后得到点C(3,2)：
平移时横坐标增加量为$3-0=3$，纵坐标增加量为$2-1=1$，即线段向右平移3个单位，向上平移1个单位。
则点A(2,0)平移后坐标为：横坐标$2+3=5$，纵坐标$0+1=1$，即$(5,1)$。
综上，平移后另一端点的坐标为$(1,3)$或$(5,1)$。
【答案】
D
【知识点】
点的平移规律，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略平移的两种可能情况，导致漏解。解题时遇到未明确对应关系的平移问题，要注意分情况讨论，结合平移坐标变化规律分别计算即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确平移的坐标变化规律：平移过程中，图形上所有点的平移方式完全相同，即横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。题目未明确线段AB的哪个端点平移到点C，因此需要分两种情况讨论：①点A平移到点C，计算对应点B平移后的坐标；②点B平移到点C，计算对应点A平移后的坐标，最终汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若端点A(2,0)平移后得到点C(3,2)：
平移时横坐标增加量为$3-2=1$，纵坐标增加量为$2-0=2$，即线段向右平移1个单位，向上平移2个单位。
则点B(0,1)平移后坐标为：横坐标$0+1=1$，纵坐标$1+2=3$，即$(1,3)$。
2. 若端点B(0,1)平移后得到点C(3,2)：
平移时横坐标增加量为$3-0=3$，纵坐标增加量为$2-1=1$，即线段向右平移3个单位，向上平移1个单位。
则点A(2,0)平移后坐标为：横坐标$2+3=5$，纵坐标$0+1=1$，即$(5,1)$。
综上，平移后另一端点的坐标为$(1,3)$或$(5,1)$。
【答案】
D
【知识点】
点的平移规律，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略平移的两种可能情况，导致漏解。解题时遇到未明确对应关系的平移问题，要注意分情况讨论，结合平移坐标变化规律分别计算即可。
【难度系数】
0.7
8. 如图，长方形ABCD在坐标平面内，点A的坐标是$(\sqrt{2},1)$，且边AB，CD与x轴平行，边AD，BC与y轴平行，$AB=4$，$AD=2$。
(1)求B，C，D三点的坐标；
(2)如何经过平移，才能使点A与原点重合？
(1)求B，C，D三点的坐标；
(2)如何经过平移，才能使点A与原点重合？
答案
8.(1)$B(4+\sqrt{2},1),C(4+\sqrt{2},3),D(\sqrt{2},3).$
(2)由题图可知,向下平移1个单位长度,再向左平移$\sqrt{2}$个单位长度,即可使点A与原点重合.(答案不唯一,合理即可)
(2)由题图可知,向下平移1个单位长度,再向左平移$\sqrt{2}$个单位长度,即可使点A与原点重合.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1) 求解矩形各顶点坐标时，先利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，再结合已知边长先推导B、D两点的坐标，最后根据矩形顶点的位置关系推导C点坐标即可。
(2) 点的平移遵循“左减右加、上加下减”的坐标变化规律，要使点A$(\sqrt{2},1)$移动到原点$(0,0)$，只需根据坐标的变化量确定平移方向和距离即可，平移顺序不唯一。
【解析】
(1) $\because AB$与x轴平行，点A的坐标为$(\sqrt{2},1)$，$AB=4$
$\therefore$ 点B的纵坐标和点A相等，为1，横坐标为$\sqrt{2}+4$，即$B(4+\sqrt{2},1)$
$\because AD$与y轴平行，$AD=2$
$\therefore$ 点D的横坐标和点A相等，为$\sqrt{2}$，纵坐标为$1+2=3$，即$D(\sqrt{2},3)$
$\because$ 矩形ABCD中，点C的横坐标与点B相同，纵坐标与点D相同
$\therefore$ 点C的坐标为$(4+\sqrt{2},3)$
(2) 点A坐标为$(\sqrt{2},1)$，原点坐标为$(0,0)$，要使两点重合：
横坐标需减少$\sqrt{2}$，对应向左平移$\sqrt{2}$个单位长度；纵坐标需减少1，对应向下平移1个单位长度。
也可先向下平移1个单位长度，再向左平移$\sqrt{2}$个单位长度，合理即可。
【答案】
(1)$B(4+\sqrt{2},1),C(4+\sqrt{2},3),D(\sqrt{2},3)$
(2)向下平移1个单位长度，再向左平移$\sqrt{2}$个单位长度(答案不唯一，合理即可)
【知识点】
点的坐标特征，平移的性质，矩形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，核心考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，以及点平移时的坐标变化规则，结合矩形对边平行且相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求解矩形各顶点坐标时，先利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，再结合已知边长先推导B、D两点的坐标，最后根据矩形顶点的位置关系推导C点坐标即可。
(2) 点的平移遵循“左减右加、上加下减”的坐标变化规律，要使点A$(\sqrt{2},1)$移动到原点$(0,0)$，只需根据坐标的变化量确定平移方向和距离即可，平移顺序不唯一。
【解析】
(1) $\because AB$与x轴平行，点A的坐标为$(\sqrt{2},1)$，$AB=4$
$\therefore$ 点B的纵坐标和点A相等，为1，横坐标为$\sqrt{2}+4$，即$B(4+\sqrt{2},1)$
$\because AD$与y轴平行，$AD=2$
$\therefore$ 点D的横坐标和点A相等，为$\sqrt{2}$，纵坐标为$1+2=3$，即$D(\sqrt{2},3)$
$\because$ 矩形ABCD中，点C的横坐标与点B相同，纵坐标与点D相同
$\therefore$ 点C的坐标为$(4+\sqrt{2},3)$
(2) 点A坐标为$(\sqrt{2},1)$，原点坐标为$(0,0)$，要使两点重合：
横坐标需减少$\sqrt{2}$，对应向左平移$\sqrt{2}$个单位长度；纵坐标需减少1，对应向下平移1个单位长度。
也可先向下平移1个单位长度，再向左平移$\sqrt{2}$个单位长度，合理即可。
【答案】
(1)$B(4+\sqrt{2},1),C(4+\sqrt{2},3),D(\sqrt{2},3)$
(2)向下平移1个单位长度，再向左平移$\sqrt{2}$个单位长度(答案不唯一，合理即可)
【知识点】
点的坐标特征，平移的性质，矩形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，核心考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，以及点平移时的坐标变化规则，结合矩形对边平行且相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图, 三角形 $ ABC $ 顶点的坐标分别为 $ A(-2,3), B(-3,0), C(-1,-1) $. 将三角形 $ ABC $ 平移后, 得到三角形 $ A'B'C' $, 且点 $ A $ 的对应点是 $ A'(2,3) $, 点 $ B,C $ 的对应点分别是 $ B',C' $.
(1)点 $ A,A' $之间的距离是
(2)请在图中画出三角形 $ A'B'C' $;
(3)求三角形 $ A'B'C' $ 的面积.
(1)点 $ A,A' $之间的距离是
4
;(2)请在图中画出三角形 $ A'B'C' $;
(3)求三角形 $ A'B'C' $ 的面积.
答案
9.(1)4
(2)图略.
(3)$S_{三角形A'B'C'}=\frac{7}{2}.$
(2)图略.
(3)$S_{三角形A'B'C'}=\frac{7}{2}.$
解析
【分析】
(1) 求A、A'两点距离时，观察坐标发现两点纵坐标相同，因此距离等于横坐标差的绝对值，直接计算即可；
(2) 先根据A到A'的坐标变化确定平移规则：横坐标加4，纵坐标不变，再按照该规则算出B'、C'的坐标，最后描点连线就能画出平移后的三角形；
(3) 平移不改变图形的面积，因此求△A'B'C'的面积等价于求△ABC的面积，用网格中常用的割补法，用包围三角形的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可算出结果。
【解析】
(1) 已知$A(-2,3)$，$A'(2,3)$，两点纵坐标相等，因此两点间的距离为$|2 - (-2)| = 4$；
(2) 由点A到A'的坐标变化可知，平移规则为：向右平移4个单位，纵坐标不变。
因此点$B(-3,0)$的对应点$B'$坐标为$(-3+4,0)=(1,0)$，点$C(-1,-1)$的对应点$C'$坐标为$(-1+4,-1)=(3,-1)$。
在坐标系中描出$A'(2,3)$、$B'(1,0)$、$C'(3,-1)$，顺次连接三点，即可得到三角形$A'B'C'$；
(3) 因为平移不改变图形的面积，所以$S_{△ A'B'C'}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算$△ ABC$的面积：作包围$△ ABC$的矩形，矩形顶点为$(-3,3)$、$(-1,3)$、$(-1,-1)$、$(-3,-1)$，矩形面积为$[(-1)-(-3)]×[3-(-1)]=2×4=8$。
减去周围三个直角三角形的面积：
① 以AB为斜边的三角形面积：$S_1=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$；
② 以AC为斜边的三角形面积：$S_2=\frac{1}{2}×1×4=2$；
③ 以BC为斜边的三角形面积：$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$。
因此$S_{△ ABC}=8 - \frac{3}{2} - 2 - 1=\frac{7}{2}$，即$S_{△ A'B'C'}=\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) 画图略
(3) $\boxed{\frac{7}{2}}$
【知识点】
坐标与平移变换；两点间距离计算；割补法求面积
【点评】
本题围绕平面直角坐标系内图形的平移展开，既考查了平移的核心性质，也考查了网格内不规则图形面积的常用计算方法，解题时要注意平移前后对应点的坐标变化规律一致，割补法计算面积时要准确找到周边小三角形的底和高。
【难度系数】
0.7
(1) 求A、A'两点距离时，观察坐标发现两点纵坐标相同，因此距离等于横坐标差的绝对值，直接计算即可；
(2) 先根据A到A'的坐标变化确定平移规则：横坐标加4，纵坐标不变，再按照该规则算出B'、C'的坐标，最后描点连线就能画出平移后的三角形；
(3) 平移不改变图形的面积，因此求△A'B'C'的面积等价于求△ABC的面积，用网格中常用的割补法，用包围三角形的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可算出结果。
【解析】
(1) 已知$A(-2,3)$，$A'(2,3)$，两点纵坐标相等，因此两点间的距离为$|2 - (-2)| = 4$；
(2) 由点A到A'的坐标变化可知，平移规则为：向右平移4个单位，纵坐标不变。
因此点$B(-3,0)$的对应点$B'$坐标为$(-3+4,0)=(1,0)$，点$C(-1,-1)$的对应点$C'$坐标为$(-1+4,-1)=(3,-1)$。
在坐标系中描出$A'(2,3)$、$B'(1,0)$、$C'(3,-1)$，顺次连接三点，即可得到三角形$A'B'C'$；
(3) 因为平移不改变图形的面积，所以$S_{△ A'B'C'}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算$△ ABC$的面积：作包围$△ ABC$的矩形，矩形顶点为$(-3,3)$、$(-1,3)$、$(-1,-1)$、$(-3,-1)$，矩形面积为$[(-1)-(-3)]×[3-(-1)]=2×4=8$。
减去周围三个直角三角形的面积：
① 以AB为斜边的三角形面积：$S_1=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$；
② 以AC为斜边的三角形面积：$S_2=\frac{1}{2}×1×4=2$；
③ 以BC为斜边的三角形面积：$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$。
因此$S_{△ ABC}=8 - \frac{3}{2} - 2 - 1=\frac{7}{2}$，即$S_{△ A'B'C'}=\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) 画图略
(3) $\boxed{\frac{7}{2}}$
【知识点】
坐标与平移变换；两点间距离计算；割补法求面积
【点评】
本题围绕平面直角坐标系内图形的平移展开，既考查了平移的核心性质，也考查了网格内不规则图形面积的常用计算方法，解题时要注意平移前后对应点的坐标变化规律一致，割补法计算面积时要准确找到周边小三角形的底和高。
【难度系数】
0.7
