8.[分类讨论思想]已知等腰三角形的周长是20,其中一边长为6,则其他两边的长度分别是 ()

A.6,8
B.7,7
C.6,8或7,7
D.3,11

8.C

【分析】
已知等腰三角形的周长和其中一边长，未明确该边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论计算，每次计算后都要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证结果是否符合构成三角形的要求，排除不符合的情况，最终确定所有可能的边长组合。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若长为6的边是腰：
则等腰三角形另一条腰长也为6，底边长 = 周长 - 2×腰长 = 20 - 2×6 = 8，
此时三边长为6、6、8，验证三边关系：6+6＞8，6+8＞6，符合三角形构成条件，此时另外两边为6和8；
2. 若长为6的边是底边：
则等腰三角形两条腰长相等，腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (20 - 6)÷2 = 7，
此时三边长为7、7、6，验证三边关系：7+7＞6，7+6＞7，符合三角形构成条件，此时另外两边为7和7。
综上，其他两边的长度为6,8或7,7。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型题型，解题核心是对已知边的身份分类讨论，容易出现的错误是忘记验证三边是否满足三角形构成条件，或者遗漏其中一种分类情况导致错解。
【难度系数】
0.7

变式训练
已知等腰三角形的周长和一边长,求其他两边长→
已知等腰三角形的两边长,求其周长
[易错题]若等腰三角形的两边长分别为2,4,则其
周长为（）

A.6
B.8
C.10
D.8或10

【变式训练】C

【分析】
首先明确等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两边长为2和4，未明确哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况分类讨论。其次，三角形的三边需要满足“任意两边之和大于第三边”的关系，因此每种情况讨论后都要验证是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为2，底边长为4，此时三角形的三边长为2，2，4。
∵ 2 + 2 = 4，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，
∴ 该情况无法构成三角形，舍去。
② 若腰长为4，底边长为2，此时三角形的三边长为4，4，2。
∵ 2 + 4 ＞ 4，4 + 4 ＞ 2，满足三角形三边关系，
∴ 该情况成立，三角形周长为4 + 4 + 2 = 10。
综上，该等腰三角形的周长为10，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是常见易错题，解题时容易忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长误选D，切记涉及等腰三角形边长的问题时，分类讨论后一定要验证三边能否构成合法三角形，避免掉入题目陷阱。
【难度系数】
0.6

9. [2024·合肥蜀山区期末]小明同学用长度分别为5,7,9,13(单位:cm)的四根木棒摆三角形,用其中的三根首尾顺次相接,每摆好一个后,拆开再摆,这样最多可摆出不同的三角形的个数为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

9.C

【分析】
要解决这个问题，我们分两步思考：第一步，先列出从4根木棒中任选3根的所有可能组合，避免遗漏或重复；第二步，根据三角形三边关系判断每个组合能否构成三角形，判断时可采用简便方法：只需验证较短两条边的长度之和是否大于最长边的长度（因为最长边加任意一条短边的和一定大于另一条短边，无需额外验证），最后统计符合条件的组合数即可。
【解析】
从长度为5cm、7cm、9cm、13cm的四根木棒中任选3根，共有4种不同的组合，逐一判断如下：
1. 选择5cm、7cm、9cm：较短两边和为$5+7=12\ \mathrm{cm}$，$12＞9$，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
2. 选择5cm、7cm、13cm：较短两边和为$5+7=12\ \mathrm{cm}$，$12＜13$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；
3. 选择5cm、9cm、13cm：较短两边和为$5+9=14\ \mathrm{cm}$，$14＞13$，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
4. 选择7cm、9cm、13cm：较短两边和为$7+9=16\ \mathrm{cm}$，$16＞13$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
综上，能构成三角形的组合共有3种。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 分类讨论
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题的关键是先不重不漏地列出所有选三根木棒的组合，再用简便判断方法快速筛选，易错点是枚举组合时出现漏项，或判断三边关系时没有用较短边之和与最长边比较导致判断错误。
【难度系数】
0.7

10. [2024·宣城期末]设$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，化简：$|a+b-c|-|c-a-b|=$。

10.0

【分析】
要化简含绝对值的式子，需分三步思考：第一步，回忆三角形三边的核心性质，判断每个绝对值内代数式的正负；第二步，依据绝对值的化简规则，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号；第三步，对去绝对值后的式子合并同类项，得到最终化简结果。
【解析】
解：
∵a、b、c是△ABC的三边长
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$
$c＜a+b$，即$c-a-b=c-(a+b)＜0$
根据绝对值的性质化简得：
$|a+b-c|=a+b-c$
$|c-a-b|=-(c-a-b)=a+b-c$
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a+b-c|-|c-a-b|&=(a+b-c)-(a+b-c)\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简
【点评】
本题是几何性质与代数运算结合的基础题，解题的关键是先利用三角形三边关系确定绝对值内式子的正负，去绝对值时要注意原式前的符号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8

11.已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.
(1)若$a,b,c$满足$(a-b)^2+(b-c)^2=0$,试判断$△ ABC$的形状；
(2)若$a=5,b=2$,且$c$为整数,求$△ ABC$周长的最大值及最小值.

11.(1)由题意,得$a-b=0,b-c=0$,
所以$a=b=c$,所以$△ABC$ 是等边三角形.
(2)因为$a=5,b=2$,所以$3＜c＜7$,
因为$c$为整数,所以$c=4$或$c=5$或$c=6$.
当$c=4$时,$△ABC$ 周长的最小值为$5+2+4=11$;
当$c=6$时,$△ABC$ 周长的最大值为$5+2+6=13$.

【分析】
（1）本题可根据平方的非负性推导三边的关系：偶次幂具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数均为0，由此可得a-b=0、b-c=0，进而得到三边的数量关系，判断三角形形状。
（2）要求三角形周长的最值，需先确定第三边c的取值范围：根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，代入已知的a、b的值求出c的取值范围，再结合c为整数的限定，找出c的所有可能值；由于a、b为定值，周长随c的增大而增大，随c的减小而减小，分别代入c的最大值和最小值即可求出周长的最大值和最小值。
【解析】
（1）
∵平方具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，且$(a-b)^2+(b-c)^2=0$
∴$a-b=0$，$b-c=0$
∴$a=b$，$b=c$，即$a=b=c$
∴$△ ABC$是等边三角形。
（2）根据三角形三边关系可得：$a-b ＜ c ＜ a+b$
将$a=5$，$b=2$代入得：$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜ 7$
∵c为整数，
∴c的取值为4、5、6
当c取最小值4时，周长最小，最小值为$5+2+4=11$；
当c取最大值6时，周长最大，最大值为$5+2+6=13$。
【答案】
（1）$△ ABC$是等边三角形；
（2）周长的最大值为13，最小值为11。
【知识点】
平方的非负性；三角形三边关系；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础应用题，既考察了非负数的性质，又结合三角形三边关系求最值，解题时需注意题干中“c为整数”的限制条件，避免漏看条件导致取值错误。
【难度系数】
0.8

12. [教材P65例1改编]用一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么底边长是多少?
(2)能围成一个边长为5 cm的等腰三角形吗?请说明理由.

12.(1)底边长是3 cm.
(2)能.理由略.

【分析】
(1) 利用等腰三角形两腰相等的性质，结合周长公式列方程求解即可。先设底边长为未知数，根据腰长和底边长的倍数关系表示出腰长，再根据三边之和等于细绳长度21cm列方程，求出解后验证是否符合三角形三边关系即可。
(2) 已知边长为5cm但未指明是腰还是底，需分两种情况讨论：一是5cm为底边长，二是5cm为腰长，分别计算出剩余边长后，用三角形任意两边之和大于第三边的规则验证能否构成三角形，排除不符合的情况即可得到结论。
【解析】
(1) 设底边长为$x\ \mathrm{cm}$，则腰长为$3x\ \mathrm{cm}$。
根据周长的定义列方程：
$x+3x+3x=21$
解得$x=3$。
此时三边长为3cm、9cm、9cm，满足$3+9＞9$，符合三角形三边关系。
(2) 分两种情况讨论：
① 若5cm为底边长，则腰长为$(21-5)÷2=8\ \mathrm{cm}$，三边长为5cm、8cm、8cm，满足$5+8＞8$，可构成等腰三角形。
② 若5cm为腰长，则底边长为$21-5×2=11\ \mathrm{cm}$，三边长为5cm、5cm、11cm，$5+5=10＜11$，不满足三角形三边关系，此情况舍去。
综上可以围成边长为5cm的等腰三角形。
【答案】
(1) 底边长是3 cm。
(2) 能。
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、一元一次方程应用
【点评】
本题核心考查等腰三角形边长计算和分类讨论思想的应用，解题易错点是忽略边长未指明腰或底时需分类讨论，且所有情况都要验证三边关系，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7

13.[新课标—探究题]如图，P是△ABC内部的一点.
(1)连接PB，PC，并分别度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB＋AC与PB＋PC的大小；
(2)改变点P的位置，(1)中结论还成立吗？请说明理由.

13.(1)$AB+AC＞PB+PC$.
(2)改变点$P$的位置,(1)中结论还成立.
理由:连接$PB,PC$,延长$BP$交$AC$于点$E$.
在$△ABE$中,$AB+AE＞BE=PB+PE$ ①,
在$△CEP$中,$PE+CE＞PC$ ②,
①+②,得$AB+AE+PE+CE＞PB+PE+PC$,
所以$AB+AC+PE＞PB+PE+PC$,
所以$AB+AC＞PB+PC$.

【分析】
(1) 本小问为操作探究题，先按要求连接PB、PC，用刻度尺分别度量AB、AC、PB、PC的长度，计算两组线段和后直接比较大小即可得到结论。
(2) 要证明该不等关系，核心是运用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。我们通过作辅助线延长BP交AC于点E，将分散的四条线段转化到△ABE和△CEP两个三角形中，分别列出三边关系的不等式，再将两个不等式相加，消去公共项PE后化简即可得到结论；由于点P在△ABC内部时该辅助线构造方法始终成立，因此改变P的位置结论依然成立。
【解析】
(1) 连接PB、PC，经度量（度量结果合理即可），例如测得AB=3cm，AC=2.4cm，PB=1.7cm，PC=1.5cm，计算得AB+AC=5.4cm，PB+PC=3.2cm，因此可得$AB+AC＞PB+PC$。
(2) 改变点P的位置，(1)中结论仍然成立，理由如下：
连接PB、PC，延长BP交AC于点E。
在$△ ABE$中，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，可得$AB+AE＞BE$，又因为$BE=PB+PE$，因此$AB+AE＞PB+PE$ ①；
在$△ CEP$中，同理可得$PE+CE＞PC$ ②；
将①②两个不等式左右两边分别相加，得$AB+AE+PE+CE＞PB+PE+PC$，
由于$AE+CE=AC$，不等式两边同时减去PE，不等号方向不变，化简可得$AB+AC＞PB+PC$。
【答案】
(1)$AB+AC＞PB+PC$；
(2)改变点$P$的位置,(1)中结论还成立，理由：连接$PB,PC$,延长$BP$交$AC$于点$E$，在$△ABE$中,$AB+AE＞BE=PB+PE$ ①，在$△CEP$中,$PE+CE＞PC$ ②，①+②,得$AB+AE+PE+CE＞PB+PE+PC$，所以$AB+AC+PE＞PB+PE+PC$，所以$AB+AC＞PB+PC$。
【知识点】
三角形三边关系、不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形不等关系的典型探究题，既考查了动手操作能力，又考查了通过构造辅助线将分散线段转化到三角形中推导不等式的逻辑推理能力，掌握此类辅助线的构造思路是解决同类问题的关键。
【难度系数】
0.65