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4. 已知 OC 是∠AOB 内部的一条射线，且∠AOB=3∠AOC.
（1）如图①所示，若∠AOB=120°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠AOB，求∠MON 的度数；
（2）如图②所示，设∠AOB=x°，射线 OP，射线 OQ 分别从 OC，OB 同时出发，并分别以每秒 1°和每秒 2°的速度绕着点 O 逆时针旋转，OP，OQ 分别只在∠AOC，∠BOC 内部旋转，运动时间为 t s.
①写出∠AOP 和∠COQ 的数量关系，并说明理由；
②若∠AOB=150°，则当$∠POQ=\frac{2}{3}∠BOP $时，求 t 的值.
（1）如图①所示，若∠AOB=120°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠AOB，求∠MON 的度数；
（2）如图②所示，设∠AOB=x°，射线 OP，射线 OQ 分别从 OC，OB 同时出发，并分别以每秒 1°和每秒 2°的速度绕着点 O 逆时针旋转，OP，OQ 分别只在∠AOC，∠BOC 内部旋转，运动时间为 t s.
①写出∠AOP 和∠COQ 的数量关系，并说明理由；
②若∠AOB=150°，则当$∠POQ=\frac{2}{3}∠BOP $时，求 t 的值.
答案
解 （1）因为 $∠AOB = 3 ∠AOC$，$∠AOB = 120°$，所以 $∠AOC = \dfrac{1}{3}×120°=40°$，因为 $OM$ 平分 $∠AOC$，$ON$ 平分 $∠AOB$，所以 $∠AOM = \dfrac{1}{2}∠AOC$，$∠AON = \dfrac{1}{2}∠AOB$，所以 $∠AOM = 20°$，$∠AON = 60°$，所以 $∠MON = ∠AON - ∠AOM=60°-20°=40°$。
（2）①$∠COQ=2∠AOP$。理由如下：因为$∠AOB = 3 ∠AOC$，$∠AOB = x °$，所以$∠AOC=( \dfrac{1}{3}x ) °$，所以$∠BOC=( \dfrac{2}{3}x ) °$，由题意得$∠COP = t × 1°= t °$，$∠BOQ = t × 2°= 2t °$，所以$∠AOP = ∠AOC - ∠COP=( \dfrac{1}{3}x - t ) °$，$∠COQ = ∠BOC - ∠BOQ=( \dfrac{2}{3}x - 2t ) °$，所以$∠COQ=2∠AOP$。
② 由 ① 知 $∠COP = t °$，$∠COQ =( \dfrac{2}{3}x - 2t ) °$，$∠BOC=\dfrac{2}{3}x °$。
因为 $∠POQ = ∠COQ + ∠COP$，$∠BOP = ∠BOC + ∠COP$，
所以 $∠POQ=( \dfrac{2}{3}x - t ) °$，$∠BOP=( \dfrac{2}{3}x + t ) °$。
因为 $∠AOB = 150°$，$∠POQ =\dfrac{2}{3}∠BOP$，
所以 $\dfrac{2}{3}x - t =\dfrac{2}{3}( \dfrac{2}{3}x + t )$，
把 $x=150$ 代入，得 $100 - t =\dfrac{2}{3}(100 + t)$，解得 $t=20$，
所以若$∠AOB=150°$，则当$∠POQ=\dfrac{2}{3}∠BOP$时，$t=20$。
（2）①$∠COQ=2∠AOP$。理由如下：因为$∠AOB = 3 ∠AOC$，$∠AOB = x °$，所以$∠AOC=( \dfrac{1}{3}x ) °$，所以$∠BOC=( \dfrac{2}{3}x ) °$，由题意得$∠COP = t × 1°= t °$，$∠BOQ = t × 2°= 2t °$，所以$∠AOP = ∠AOC - ∠COP=( \dfrac{1}{3}x - t ) °$，$∠COQ = ∠BOC - ∠BOQ=( \dfrac{2}{3}x - 2t ) °$，所以$∠COQ=2∠AOP$。
② 由 ① 知 $∠COP = t °$，$∠COQ =( \dfrac{2}{3}x - 2t ) °$，$∠BOC=\dfrac{2}{3}x °$。
因为 $∠POQ = ∠COQ + ∠COP$，$∠BOP = ∠BOC + ∠COP$，
所以 $∠POQ=( \dfrac{2}{3}x - t ) °$，$∠BOP=( \dfrac{2}{3}x + t ) °$。
因为 $∠AOB = 150°$，$∠POQ =\dfrac{2}{3}∠BOP$，
所以 $\dfrac{2}{3}x - t =\dfrac{2}{3}( \dfrac{2}{3}x + t )$，
把 $x=150$ 代入，得 $100 - t =\dfrac{2}{3}(100 + t)$，解得 $t=20$，
所以若$∠AOB=150°$，则当$∠POQ=\dfrac{2}{3}∠BOP$时，$t=20$。
解析
【分析】
（1）解题思路：首先根据已知∠AOB与∠AOC的倍数关系，求出∠AOC的度数；再利用角平分线的定义，分别计算出∠AOM和∠AON的度数；最后根据角的和差关系，用∠AON减去∠AOM即可得到∠MON的度数。
（2）①解题思路：先用含x的代数式表示出∠AOC和∠BOC的度数；再结合OP、OQ的旋转速度和运动时间t，表示出∠COP和∠BOQ的度数；分别推导∠AOP和∠COQ的表达式，对比两个代数式即可得到二者的数量关系。
②解题思路：先根据角的和差关系，用含t和x的式子分别表示出∠POQ和∠BOP；再代入∠AOB=150°的条件，结合题中给出的∠POQ与∠BOP的等量关系列一元一次方程，解方程即可求出t的值。
【解析】
（1）因为 $∠AOB = 3 ∠AOC$，$∠AOB = 120°$，所以 $∠AOC = \dfrac{1}{3}×120°=40°$。
因为 $OM$ 平分 $∠AOC$，$ON$ 平分 $∠AOB$，所以 $∠AOM = \dfrac{1}{2}∠AOC$，$∠AON = \dfrac{1}{2}∠AOB$，代入得$∠AOM = 20°$，$∠AON = 60°$。
所以 $∠MON = ∠AON - ∠AOM=60°-20°=40°$。
（2）①$∠COQ=2∠AOP$，理由如下：
因为$∠AOB = 3 ∠AOC$，$∠AOB = x °$，所以$∠AOC=( \dfrac{1}{3}x ) °$，$∠BOC=∠AOB-∠AOC=( \dfrac{2}{3}x ) °$。
由题意得$∠COP = t × 1°= t °$，$∠BOQ = t × 2°= 2t °$。
所以$∠AOP = ∠AOC - ∠COP=( \dfrac{1}{3}x - t ) °$，$∠COQ = ∠BOC - ∠BOQ=( \dfrac{2}{3}x - 2t ) °$，因此$∠COQ=2∠AOP$。
② 由①知 $∠COP = t °$，$∠COQ =( \dfrac{2}{3}x - 2t ) °$，$∠BOC=\dfrac{2}{3}x °$。
因为 $∠POQ = ∠COQ + ∠COP$，$∠BOP = ∠BOC + ∠COP$，
所以 $∠POQ=(\dfrac{2}{3}x -2t + t)=( \dfrac{2}{3}x - t ) °$，$∠BOP=( \dfrac{2}{3}x + t ) °$。
因为 $∠AOB = 150°$，$∠POQ =\dfrac{2}{3}∠BOP$，将$x=150$代入得：
$100 - t =\dfrac{2}{3}(100 + t)$，
两边同乘3得：$300-3t=200+2t$，
移项合并得：$5t=100$，
解得 $t=20$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{40°}$；（2）①$\boldsymbol{∠COQ=2∠AOP}$；②$\boldsymbol{t=20}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的典型综合题，既覆盖了角平分线、角的和差运算等基础考点，又结合了动态旋转场景，需要学生梳理运动过程中角的数量关系，能有效锻炼几何分析能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）解题思路：首先根据已知∠AOB与∠AOC的倍数关系，求出∠AOC的度数；再利用角平分线的定义，分别计算出∠AOM和∠AON的度数；最后根据角的和差关系，用∠AON减去∠AOM即可得到∠MON的度数。
（2）①解题思路：先用含x的代数式表示出∠AOC和∠BOC的度数；再结合OP、OQ的旋转速度和运动时间t，表示出∠COP和∠BOQ的度数；分别推导∠AOP和∠COQ的表达式，对比两个代数式即可得到二者的数量关系。
②解题思路：先根据角的和差关系，用含t和x的式子分别表示出∠POQ和∠BOP；再代入∠AOB=150°的条件，结合题中给出的∠POQ与∠BOP的等量关系列一元一次方程，解方程即可求出t的值。
【解析】
（1）因为 $∠AOB = 3 ∠AOC$，$∠AOB = 120°$，所以 $∠AOC = \dfrac{1}{3}×120°=40°$。
因为 $OM$ 平分 $∠AOC$，$ON$ 平分 $∠AOB$，所以 $∠AOM = \dfrac{1}{2}∠AOC$，$∠AON = \dfrac{1}{2}∠AOB$，代入得$∠AOM = 20°$，$∠AON = 60°$。
所以 $∠MON = ∠AON - ∠AOM=60°-20°=40°$。
（2）①$∠COQ=2∠AOP$，理由如下：
因为$∠AOB = 3 ∠AOC$，$∠AOB = x °$，所以$∠AOC=( \dfrac{1}{3}x ) °$，$∠BOC=∠AOB-∠AOC=( \dfrac{2}{3}x ) °$。
由题意得$∠COP = t × 1°= t °$，$∠BOQ = t × 2°= 2t °$。
所以$∠AOP = ∠AOC - ∠COP=( \dfrac{1}{3}x - t ) °$，$∠COQ = ∠BOC - ∠BOQ=( \dfrac{2}{3}x - 2t ) °$，因此$∠COQ=2∠AOP$。
② 由①知 $∠COP = t °$，$∠COQ =( \dfrac{2}{3}x - 2t ) °$，$∠BOC=\dfrac{2}{3}x °$。
因为 $∠POQ = ∠COQ + ∠COP$，$∠BOP = ∠BOC + ∠COP$，
所以 $∠POQ=(\dfrac{2}{3}x -2t + t)=( \dfrac{2}{3}x - t ) °$，$∠BOP=( \dfrac{2}{3}x + t ) °$。
因为 $∠AOB = 150°$，$∠POQ =\dfrac{2}{3}∠BOP$，将$x=150$代入得：
$100 - t =\dfrac{2}{3}(100 + t)$，
两边同乘3得：$300-3t=200+2t$，
移项合并得：$5t=100$，
解得 $t=20$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{40°}$；（2）①$\boldsymbol{∠COQ=2∠AOP}$；②$\boldsymbol{t=20}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的典型综合题，既覆盖了角平分线、角的和差运算等基础考点，又结合了动态旋转场景，需要学生梳理运动过程中角的数量关系，能有效锻炼几何分析能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
