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1.关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a,b,c$是实数），有下列说法：①若$a≠0$，则方程必是一元二次方程；②若$a=0$，则方程必是一元一次方程.上述说法中，（）
A.①②均正确
B.①②均错误
C.①正确，②错误
D.①错误，②正确
A.①②均正确
B.①②均错误
C.①正确，②错误
D.①错误，②正确
答案
C
解析
根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），因此当$a≠0$时，方程$ax^2+bx+c=0$必是一元二次方程，①正确。
当$a=0$时，方程变为$bx+c=0$，若此时$b=0$，方程要么为恒等式$c=0$，要么为矛盾式$c≠0$，都不是一元一次方程，因此$a=0$时方程不一定是一元一次方程，②错误。
综上①正确，②错误。
当$a=0$时，方程变为$bx+c=0$，若此时$b=0$，方程要么为恒等式$c=0$，要么为矛盾式$c≠0$，都不是一元一次方程，因此$a=0$时方程不一定是一元一次方程，②错误。
综上①正确，②错误。
2.用配方法解一元二次方程$x^2 - 3 = 4x$，下列配方正确的是()
A.$(x+2)^2=2$
B.$(x-2)^2=7$
C.$(x+2)^2=7$
D.$(x-2)^2=1$
A.$(x+2)^2=2$
B.$(x-2)^2=7$
C.$(x+2)^2=7$
D.$(x-2)^2=1$
答案
B
解析
先将原方程移项，把含x的项移到等式左侧，常数项移到右侧，得$x^2 -4x = 3$；在等式两边同时加上一次项系数一半的平方$(-\frac{4}{2})^2=4$，可得$x^2 -4x +4 = 3 +4$；根据完全平方公式整理后得到$(x-2)^2=7$。
3.据统计，我国某科技公司研发的AI软件首日上线的下载量为48万次，第二天、第三天连续增长，第三天为150万次.设下载量的日平均增长率为$ x $.根据题意，下列方程正确的是()
A.$ 48(1+x)=150 $
B.$ 48(1+x)^2=150 $
C.$ 48(1-x)^2=150 $
D.$ 48(1+x)^3=150 $
A.$ 48(1+x)=150 $
B.$ 48(1+x)^2=150 $
C.$ 48(1-x)^2=150 $
D.$ 48(1+x)^3=150 $
答案
B
解析
已知首日下载量为48万次，日平均增长率为x，则第二天的下载量为$48(1+x)$万次，第三天在第二天的基础上继续增长x，因此第三天的下载量为$48(1+x)·(1+x)=48(1+x)^2$万次。结合第三天下载量为150万次的条件，可列方程$48(1+x)^2=150$。
4.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了$a,b,c$，得到$x=$
$$，则$a+b+c=$。
$$，则$a+b+c=$。答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
解：一元二次方程的求根公式为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
对比已知表达式 $x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}$，可得：
$2a=2×2$，解得 $a=2$；
$-b=3$，解得 $b=-3$；
$c=-1$。
因此 $a+b+c=2+(-3)+(-1)=-2$。
最终
对比已知表达式 $x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}$，可得：
$2a=2×2$，解得 $a=2$；
$-b=3$，解得 $b=-3$；
$c=-1$。
因此 $a+b+c=2+(-3)+(-1)=-2$。
最终
5.若$x=2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$的一个根，则$2m + n$的值是。
答案
$\boldsymbol{-4}$
解析
解：
将$x=2$代入一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，得
$2^2 + 2m + n = 0$
整理得$4 + 2m + n = 0$
$\therefore 2m + n = -4$
将$x=2$代入一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，得
$2^2 + 2m + n = 0$
整理得$4 + 2m + n = 0$
$\therefore 2m + n = -4$
6.若关于x的一元二次方程$x^2 +6x +k=0$有两个相等的实数根，则实数k的值为.
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + 6x + k = 0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
其中$a=1$，$b=6$，$c=k$，代入得：
$6^2 - 4×1× k = 0$
$36 - 4k = 0$
解得$k=9$。
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + 6x + k = 0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
其中$a=1$，$b=6$，$c=k$，代入得：
$6^2 - 4×1× k = 0$
$36 - 4k = 0$
解得$k=9$。
7. 定义$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，上述记号叫作二阶行列式. 若$\begin{vmatrix} x+1 & x-1 \\ 1-x & x+1 \end{vmatrix}=6$，则$x=$ ______ .
答案
$\pm\sqrt{2}$
解析
解：根据二阶行列式的定义，得
$(x+1)(x+1) - (x-1)(1-x) = 6$
整理得：
$(x+1)^2 + (x-1)^2 = 6$
展开完全平方：
$x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1 = 6$
合并同类项：
$2x^2 + 2 = 6$
移项化简：
$2x^2 = 4$
$x^2 = 2$
解得：
$x = \pm\sqrt{2}$
$(x+1)(x+1) - (x-1)(1-x) = 6$
整理得：
$(x+1)^2 + (x-1)^2 = 6$
展开完全平方：
$x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1 = 6$
合并同类项：
$2x^2 + 2 = 6$
移项化简：
$2x^2 = 4$
$x^2 = 2$
解得：
$x = \pm\sqrt{2}$
8. 提升题 欧几里得的《几何原本》中记载，形如$x^2 + ax = b^2(a＞0,b＞0)$的方程的图解法：如图，以$\frac{a}{2}$和$b$分别为直角边的长作$\mathrm{Rt}△ ABC$，再在斜边上截取$BD=\frac{a}{2}$，则$AD$的长就是所求方程的正根。利用以上方法解关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx =16(m＞0)$，若构造后的图形满足$AD=2BD$，则$m$的值为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
解析
解：
∵ 方程$x^2 + mx =16$对应形式$x^2 +ax =b^2$，
∴ $a=m$，$b^2=16$，
∵ $m＞0,b＞0$，
∴ $BD=\frac{a}{2}=\frac{m}{2}$，$b=4$。
∵ $AD=2BD$，
∴ $AD=2×\frac{m}{2}=m$，
∴ 斜边$AB=AD+BD=m+\frac{m}{2}=\frac{3m}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，直角边$BC=\frac{m}{2}$，$AC=b=4$，由勾股定理得：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
代入得：
$(\frac{m}{2})^2 + 4^2 = (\frac{3m}{2})^2$
整理得：
$\frac{m^2}{4} + 16 = \frac{9m^2}{4}$
$2m^2=16$
$m^2=8$
∵ $m＞0$，
∴ $m=2\sqrt{2}$。
∵ 方程$x^2 + mx =16$对应形式$x^2 +ax =b^2$，
∴ $a=m$，$b^2=16$，
∵ $m＞0,b＞0$，
∴ $BD=\frac{a}{2}=\frac{m}{2}$，$b=4$。
∵ $AD=2BD$，
∴ $AD=2×\frac{m}{2}=m$，
∴ 斜边$AB=AD+BD=m+\frac{m}{2}=\frac{3m}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，直角边$BC=\frac{m}{2}$，$AC=b=4$，由勾股定理得：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
代入得：
$(\frac{m}{2})^2 + 4^2 = (\frac{3m}{2})^2$
整理得：
$\frac{m^2}{4} + 16 = \frac{9m^2}{4}$
$2m^2=16$
$m^2=8$
∵ $m＞0$，
∴ $m=2\sqrt{2}$。
9.用适当的方法解方程：
(1)$2x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2)$x^2 + x - 12 = 0$；
(3)$(x - 2)(x - 3) = 12$。
(1)$2x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2)$x^2 + x - 12 = 0$；
(3)$(x - 2)(x - 3) = 12$。
答案
解：
(1) 移项，得$2x^2 - 4x = -1$，
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = -\frac{1}{2}$，
配方，得$x^2 - 2x + 1 = 1 - \frac{1}{2}$，即$(x-1)^2 = \frac{1}{2}$，
开平方，得$x-1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 因式分解，得$(x+4)(x-3) = 0$，
则$x+4=0$或$x-3=0$，
解得$x_1 = -4$，$x_2 = 3$。
(3) 整理方程得：$x^2 - 5x + 6 = 12$，即$x^2 - 5x - 6 = 0$，
因式分解，得$(x-6)(x+1) = 0$，
则$x-6=0$或$x+1=0$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = -1$。
(1) 移项，得$2x^2 - 4x = -1$，
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = -\frac{1}{2}$，
配方，得$x^2 - 2x + 1 = 1 - \frac{1}{2}$，即$(x-1)^2 = \frac{1}{2}$，
开平方，得$x-1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 因式分解，得$(x+4)(x-3) = 0$，
则$x+4=0$或$x-3=0$，
解得$x_1 = -4$，$x_2 = 3$。
(3) 整理方程得：$x^2 - 5x + 6 = 12$，即$x^2 - 5x - 6 = 0$，
因式分解，得$(x-6)(x+1) = 0$，
则$x-6=0$或$x+1=0$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = -1$。
