10.已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2kx + k^2 - k - 2 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k＜0$且$k$为整数,求方程的根.

解：
(1) ∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式Δ＞0。
Δ = (-2k)² - 4×1×(k² - k - 2)
= 4k² - 4k² + 4k + 8
= 4k + 8
由4k + 8 ＞ 0，
解得k ＞ -2。
(2) 由(1)得k ＞ -2，结合条件k ＜ 0且k为整数，可得k = -1。
将k = -1代入原方程：
x² - 2×(-1)x + (-1)² - (-1) - 2 = 0
整理得：x² + 2x = 0
因式分解得：x(x + 2) = 0
解得x₁=0，x₂=-2。

11.在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像.
(1)将雕像抽象成线段AB,雕像的上部为AC,则AC,BC,AB之间的数量关系是;
(2)求该雕像下部的设计高度.

解：
(1) $\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}$（或$BC^2=AC· AB$）
(2) 设该雕像下部的设计高度为$x\ \mathrm{m}$，则雕像上部高度$AC=(2-x)\ \mathrm{m}$。
由题意得：
$x^2=2(2-x)$
整理得：
$x^2+2x-4=0$
解得：$x_1=\sqrt{5}-1$，$x_2=-\sqrt{5}-1$（高度为正，不符合实际意义，舍去）。
答：该雕像下部的设计高度为$(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{m}$。

12. 提升题 阅读材料.
已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^2 - m - 1 = 0 $，$ n^2 - n - 1 = 0 $，且 $ m ≠ n $，求 $ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} $ 的值.
解:由题知 $ m,n $ 是方程 $ x^2 - x - 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根，
∴ $ m + n = 1 $，$ mn = -1 $.
∴ $ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn} = \frac{1 + 2}{-1} = -3 $.
根据上述材料解答下列问题:
(1)已知实数 $ m,n $ 满足 $ 2m^2 - 2m - 1 = 0 $，$ 2n^2 - 2n - 1 = 0 $，且 $ m ≠ n $，求 $ m^2n + mn^2 $ 的值；
(2)已知实数 $ p,q $ 满足 $ p^2 = 3p + 2 $，$ 2q^2 = 3q + 1 $，且 $ p ≠ 2q $，求 $ p^2 + 4q^2 $ 的值.

解：
(1) 由题意知，$m,n$是方程$2x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$m+n = \frac{2}{2}=1$，$mn = \frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
$\because m^2n + mn^2 = mn(m+n)$，
$\therefore$ 代入得：$m^2n + mn^2 = -\frac{1}{2} × 1 = -\frac{1}{2}$。
(2) 将$2q^2=3q+1$两边同乘2，整理得：$(2q)^2 - 3·(2q) - 2 = 0$，
又由$p^2=3p+2$整理得：$p^2 - 3p - 2 = 0$，且$p≠ 2q$，
$\therefore p$和$2q$是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$p + 2q = 3$，$p· 2q = -2$。
$\because p^2=3p+2$，$4q^2=(2q)^2=3·(2q)+2=6q+2$，
$\therefore p^2 + 4q^2 = 3p + 2 + 6q + 2 = 3(p+2q) + 4$，
代入$p+2q=3$得：$p^2 + 4q^2 = 3× 3 + 4 = 13$。
综上，(1)的值为$-\frac{1}{2}$，(2)的值为$13$。