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1. 将抛物线 $ y = x^2 $ 向上平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 （
A.$ y = x^2 + 2 $
B.$ y = x^2 - 2 $
C.$ y = (x + 2)^2 $
D.$ y = (x - 2)^2 $
A
）A.$ y = x^2 + 2 $
B.$ y = x^2 - 2 $
C.$ y = (x + 2)^2 $
D.$ y = (x - 2)^2 $
答案
1.A
解析
【分析】
解决本题首先明确考查的是二次函数的图象平移问题，先回忆二次函数的平移规律：上下平移改变函数的常数项，遵循“上加下减”原则，即向上平移n个单位，原函数表达式整体加n，向下平移则整体减n；左右平移改变自变量，遵循“左加右减”原则。本题是向上平移2个单位，属于上下平移，直接套用“上加”的规则即可求解。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的规律：“上加下减常数项”，即图象向上平移时，在原函数表达式的末尾加上平移的单位长度，向下平移则减去平移的单位长度。
已知原抛物线对应的函数表达式为$y=x^2$，将其向上平移2个单位长度，因此新的函数表达式为$y=x^2+2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数表达式确定
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象的平移规律，牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀即可快速得出正确答案，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解决本题首先明确考查的是二次函数的图象平移问题，先回忆二次函数的平移规律：上下平移改变函数的常数项，遵循“上加下减”原则，即向上平移n个单位，原函数表达式整体加n，向下平移则整体减n；左右平移改变自变量，遵循“左加右减”原则。本题是向上平移2个单位，属于上下平移，直接套用“上加”的规则即可求解。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的规律：“上加下减常数项”，即图象向上平移时，在原函数表达式的末尾加上平移的单位长度，向下平移则减去平移的单位长度。
已知原抛物线对应的函数表达式为$y=x^2$，将其向上平移2个单位长度，因此新的函数表达式为$y=x^2+2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数表达式确定
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象的平移规律，牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀即可快速得出正确答案，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
变式训练
将抛物线$y=ax^2 + c$向上平移2个单位长度，得到抛物线$y=x^2$，则$a,c$的值分别是 （
A.1,2
B.1,−2
C.−1,2
D.−1,−2
将抛物线$y=ax^2 + c$向上平移2个单位长度，得到抛物线$y=x^2$，则$a,c$的值分别是 （
B
）A.1,2
B.1,−2
C.−1,2
D.−1,−2
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象平移的性质：抛物线平移过程中，形状、开口方向均不改变，因此二次项系数a保持不变，可先确定a的值；再根据上下平移“上加下减”的规则，即向上平移常数项加对应单位长度，结合平移后得到的抛物线解析式，列等式即可求出c的值。
【解析】
步骤1：确定a的值
抛物线平移时，开口方向和大小不变，即二次项系数a不变，已知平移后得到的抛物线为$y=x^2$，因此$a=1$，可排除C、D选项。
步骤2：根据平移规则求c的值
二次函数图象向上平移2个单位，遵循“上加下减”的常数项变化规则，因此原抛物线$y=ax^2+c$向上平移2个单位后的解析式为$y=ax^2 + c + 2$。
将$a=1$和平移后解析式$y=x^2$代入得：
$x^2 + c + 2 = x^2$
化简得$c+2=0$，解得$c=-2$。
综上，$a=1$，$c=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次项系数的意义
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移过程中二次项系数不变的性质和“上加下减”的上下平移规则，掌握基础规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数图象平移的性质：抛物线平移过程中，形状、开口方向均不改变，因此二次项系数a保持不变，可先确定a的值；再根据上下平移“上加下减”的规则，即向上平移常数项加对应单位长度，结合平移后得到的抛物线解析式，列等式即可求出c的值。
【解析】
步骤1：确定a的值
抛物线平移时，开口方向和大小不变，即二次项系数a不变，已知平移后得到的抛物线为$y=x^2$，因此$a=1$，可排除C、D选项。
步骤2：根据平移规则求c的值
二次函数图象向上平移2个单位，遵循“上加下减”的常数项变化规则，因此原抛物线$y=ax^2+c$向上平移2个单位后的解析式为$y=ax^2 + c + 2$。
将$a=1$和平移后解析式$y=x^2$代入得：
$x^2 + c + 2 = x^2$
化简得$c+2=0$，解得$c=-2$。
综上，$a=1$，$c=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次项系数的意义
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移过程中二次项系数不变的性质和“上加下减”的上下平移规则，掌握基础规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. [教材P16练习第3题改编]将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线$y=-3x^2+1$，则原抛物线对应的函数表达式为
$y=-3x^2+4$
。答案
$y=-3x^2+4$
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题时可利用平移的可逆性思考：已知原抛物线向下平移3个单位得到新抛物线，那么将新抛物线向上平移3个单位即可得到原抛物线。同时要牢记二次函数上下平移的规律：平移过程中二次项系数$a$不变，仅常数项发生变化，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，常数项加几，向下平移几个单位，常数项减几。
【解析】
二次函数图象上下平移时，二次项系数不变，仅常数项按照“上加下减”规律变化。
已知新抛物线是原抛物线向下平移3个单位得到的，因此将新抛物线$y=-3x^2+1$向上平移3个单位即可得到原抛物线：
$y=-3x^2+1+3=-3x^2+4$
也可通过设解析式求解：设原抛物线的函数表达式为$y=-3x^2+k$，向下平移3个单位后表达式为$y=-3x^2+k-3$，结合题意得$k-3=1$，解得$k=4$，即原表达式为$y=-3x^2+4$。
【答案】
$y=-3x^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 二次函数表达式确定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的上下平移变换规则，解题核心是牢记“上下平移时二次项系数不变，常数项上加下减”的规律，也可通过平移的可逆性反向推导，简化解题步骤，该知识点是二次函数的基础内容，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数图象的平移变换，解题时可利用平移的可逆性思考：已知原抛物线向下平移3个单位得到新抛物线，那么将新抛物线向上平移3个单位即可得到原抛物线。同时要牢记二次函数上下平移的规律：平移过程中二次项系数$a$不变，仅常数项发生变化，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，常数项加几，向下平移几个单位，常数项减几。
【解析】
二次函数图象上下平移时，二次项系数不变，仅常数项按照“上加下减”规律变化。
已知新抛物线是原抛物线向下平移3个单位得到的，因此将新抛物线$y=-3x^2+1$向上平移3个单位即可得到原抛物线：
$y=-3x^2+1+3=-3x^2+4$
也可通过设解析式求解：设原抛物线的函数表达式为$y=-3x^2+k$，向下平移3个单位后表达式为$y=-3x^2+k-3$，结合题意得$k-3=1$，解得$k=4$，即原表达式为$y=-3x^2+4$。
【答案】
$y=-3x^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 二次函数表达式确定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的上下平移变换规则，解题核心是牢记“上下平移时二次项系数不变，常数项上加下减”的规律，也可通过平移的可逆性反向推导，简化解题步骤，该知识点是二次函数的基础内容，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
3. 将抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 进行上下平移，使平移后的图象经过点$(4,-2)$，求平移后的抛物线对应的函数表达式。
答案
$y=\frac{1}{2}x^2-10$
解析
【分析】
抛物线上下平移时，形状、开口方向不变，二次项系数$a$保持不变，平移后的解析式符合$y=ax^2+k$的形式。我们可以先设出平移后的函数解析式，再把已知点的坐标代入解析式，求出未知常数$k$，就能得到平移后的函数表达式。
【解析】
解：$\because$ 抛物线进行上下平移时二次项系数不变，
$\therefore$ 设平移后的抛物线对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x^2 + k$。
$\because$ 平移后的图象经过点$(4,-2)$，
$\therefore$ 将$x=4$，$y=-2$代入上述解析式，得：
$-2 = \frac{1}{2} × 4^2 + k$
计算得：$-2 = 8 + k$
解得：$k=-10$
$\therefore$ 平移后的抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 -10$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x^2-10$
【知识点】
1. 二次函数平移规律；2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题核心是掌握抛物线上下平移时仅常数项改变、二次项系数不变的性质，结合待定系数法代入已知点坐标即可求解，计算时需注意常数项的符号问题。
【难度系数】
0.8
抛物线上下平移时，形状、开口方向不变，二次项系数$a$保持不变，平移后的解析式符合$y=ax^2+k$的形式。我们可以先设出平移后的函数解析式，再把已知点的坐标代入解析式，求出未知常数$k$，就能得到平移后的函数表达式。
【解析】
解：$\because$ 抛物线进行上下平移时二次项系数不变，
$\therefore$ 设平移后的抛物线对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x^2 + k$。
$\because$ 平移后的图象经过点$(4,-2)$，
$\therefore$ 将$x=4$，$y=-2$代入上述解析式，得：
$-2 = \frac{1}{2} × 4^2 + k$
计算得：$-2 = 8 + k$
解得：$k=-10$
$\therefore$ 平移后的抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 -10$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x^2-10$
【知识点】
1. 二次函数平移规律；2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题核心是掌握抛物线上下平移时仅常数项改变、二次项系数不变的性质，结合待定系数法代入已知点坐标即可求解，计算时需注意常数项的符号问题。
【难度系数】
0.8
4. 填写下表：
答案
解：
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最值 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2-2$ | 向上 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,-2)$ | 当$x=0$时，$y$有最小值$-2$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2+4$ | 向下 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,4)$ | 当$x=0$时，$y$有最大值$4$ |
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最值 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2-2$ | 向上 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,-2)$ | 当$x=0$时，$y$有最小值$-2$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2+4$ | 向下 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,4)$ | 当$x=0$时，$y$有最大值$4$ |
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题思路如下：1. 判断开口方向：由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 确定对称轴和顶点坐标：$y=ax^2+k$形式的二次函数没有一次项，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$；3. 求最值：开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值。分别对应两个抛物线的$a$、$k$值代入分析即可。
【解析】
1. 对于抛物线$y=3x^2-2$：
二次项系数$a=3＞0$，因此开口向上；
无一次项，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；
常数项$k=-2$，顶点坐标为$(0,-2)$；
开口向上，因此当$x=0$时，$y$有最小值$-2$。
2. 对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+4$：
二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此开口向下；
无一次项，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；
常数项$k=4$，顶点坐标为$(0,4)$；
开口向下，因此当$x=0$时，$y$有最大值$4$。
整理得对应表格内容。
【答案】
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最值 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2-2$ | 向上 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,-2)$ | 当$x=0$时，$y$有最小值$-2$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2+4$ | 向下 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,4)$ | 当$x=0$时，$y$有最大值$4$ |
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数开口方向判断
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，熟练掌握$y=ax^2+k$中参数$a$、$k$分别对应的图象特征，即可快速完成求解，是后续学习更复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题思路如下：1. 判断开口方向：由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 确定对称轴和顶点坐标：$y=ax^2+k$形式的二次函数没有一次项，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$；3. 求最值：开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值。分别对应两个抛物线的$a$、$k$值代入分析即可。
【解析】
1. 对于抛物线$y=3x^2-2$：
二次项系数$a=3＞0$，因此开口向上；
无一次项，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；
常数项$k=-2$，顶点坐标为$(0,-2)$；
开口向上，因此当$x=0$时，$y$有最小值$-2$。
2. 对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+4$：
二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此开口向下；
无一次项，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；
常数项$k=4$，顶点坐标为$(0,4)$；
开口向下，因此当$x=0$时，$y$有最大值$4$。
整理得对应表格内容。
【答案】
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最值 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2-2$ | 向上 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,-2)$ | 当$x=0$时，$y$有最小值$-2$ |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^2+4$ | 向下 | 直线$x=0$（y轴） | $(0,4)$ | 当$x=0$时，$y$有最大值$4$ |
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数开口方向判断
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，熟练掌握$y=ax^2+k$中参数$a$、$k$分别对应的图象特征，即可快速完成求解，是后续学习更复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9
5.已知点$P(1,2)$在二次函数$y=mx^2 -1$的图象上，则$m$的值为 （
A.－3
B.3
C.2
D.－2
B
）A.－3
B.3
C.2
D.－2
答案
B
解析
【分析】
遇到“点在函数图象上”的问题，核心思路是：函数图象上的点的横、纵坐标分别对应解析式的自变量x和函数值y，将坐标代入解析式就能得到关于未知参数的方程，解方程即可求出参数值。本题只需把点P的x=1、y=2代入二次函数解析式，就能得到关于m的一元一次方程，求解即可。
【解析】
∵ 点$P(1,2)$在二次函数$y=mx^2 -1$的图象上
∴ 将$x=1$，$y=2$代入解析式，可得：
$2=m×1^2 -1$
整理得：$2=m-1$
解得：$m=3$
【答案】
B
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查代入法求函数参数的方法，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，就能快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
遇到“点在函数图象上”的问题，核心思路是：函数图象上的点的横、纵坐标分别对应解析式的自变量x和函数值y，将坐标代入解析式就能得到关于未知参数的方程，解方程即可求出参数值。本题只需把点P的x=1、y=2代入二次函数解析式，就能得到关于m的一元一次方程，求解即可。
【解析】
∵ 点$P(1,2)$在二次函数$y=mx^2 -1$的图象上
∴ 将$x=1$，$y=2$代入解析式，可得：
$2=m×1^2 -1$
整理得：$2=m-1$
解得：$m=3$
【答案】
B
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查代入法求函数参数的方法，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，就能快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
6. 抛物线$y=-3x^2 -1$经过 （
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
D
）A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
D
解析
【分析】
要判断抛物线经过的象限，可结合二次函数$y=ax^2+k$的图象性质逐步分析：首先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向，再确定顶点位置，最后结合开口方向和顶点位置判断函数图象的整体分布，即可确定经过的象限。
【解析】
步骤1：判断抛物线开口方向
在二次函数$y=-3x^2 -1$中，二次项系数$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下。
步骤2：确定顶点坐标
该函数是$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$，代入$k=-1$得顶点坐标为$(0,-1)$，即顶点在y轴负半轴，是抛物线的最高点。
步骤3：判断函数图象的分布
由于抛物线开口向下，最高点（顶点）的纵坐标为$-1＜0$，因此抛物线上所有点的纵坐标都小于0，即全部图象都在x轴下方。
当$x＞0$时，点的坐标特征为（正，负），对应第四象限；当$x＜0$时，点的坐标特征为（负，负），对应第三象限。因此抛物线经过第三、四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础性质的直接考查，熟练掌握二次函数开口方向、顶点坐标的判断方法即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线经过的象限，可结合二次函数$y=ax^2+k$的图象性质逐步分析：首先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向，再确定顶点位置，最后结合开口方向和顶点位置判断函数图象的整体分布，即可确定经过的象限。
【解析】
步骤1：判断抛物线开口方向
在二次函数$y=-3x^2 -1$中，二次项系数$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下。
步骤2：确定顶点坐标
该函数是$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$，代入$k=-1$得顶点坐标为$(0,-1)$，即顶点在y轴负半轴，是抛物线的最高点。
步骤3：判断函数图象的分布
由于抛物线开口向下，最高点（顶点）的纵坐标为$-1＜0$，因此抛物线上所有点的纵坐标都小于0，即全部图象都在x轴下方。
当$x＞0$时，点的坐标特征为（正，负），对应第四象限；当$x＜0$时，点的坐标特征为（负，负），对应第三象限。因此抛物线经过第三、四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础性质的直接考查，熟练掌握二次函数开口方向、顶点坐标的判断方法即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
7.已知二次函数$y=-2x^2+1$，当$-3≤ x≤1$时，函数值$y$的取值范围是（
A.$-1≤ y≤0$
B.$-1≤ y≤1$
C.$-17≤ y≤-1$
D.$-17≤ y≤1$
D
）A.$-1≤ y≤0$
B.$-1≤ y≤1$
C.$-17≤ y≤-1$
D.$-17≤ y≤1$
答案
D
解析
【分析】
要解决二次函数在给定区间内的取值范围问题，首先需明确该二次函数的基本性质：该函数是$y=ax^2+k$的形式，先判断开口方向、对称轴，再结合开口方向确定最值的位置：开口向下时，顶点处取最大值，离对称轴越远的点函数值越小，最后分别计算最大值和最小值即可得到$y$的取值范围。
【解析】
步骤1：分析二次函数的基本性质
二次函数$y=-2x^2+1$中，$a=-2＜0$，因此图象开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,1)$。
步骤2：求最大值
已知$x$的取值范围是$-3≤ x≤1$，对称轴$x=0$在该区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，因此当$x=0$时，$y$的最大值为$1$。
步骤3：求最小值
开口向下的二次函数，区间内离对称轴越远的点对应的函数值越小：
计算区间端点到对称轴的距离：$|-3-0|=3$，$|1-0|=1$，$3＞1$，因此当$x=-3$时，$y$取得最小值。
代入计算：$y=-2×(-3)^2 +1 = -2×9 +1 = -17$。
步骤4：确定取值范围
综上，当$-3≤ x≤1$时，$y$的取值范围是$-17≤ y≤1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的性质
2.二次函数最值计算
3.区间取值范围求解
【点评】
本题核心考查二次函数在限定区间内的取值范围求解，解题的关键是先明确函数的开口方向、对称轴，再结合区间特征判断最值对应的$x$值，易错点是容易误将区间右端点$x=1$的函数值当成最小值，忽略离对称轴更远的左端点$x=-3$的函数值。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数在给定区间内的取值范围问题，首先需明确该二次函数的基本性质：该函数是$y=ax^2+k$的形式，先判断开口方向、对称轴，再结合开口方向确定最值的位置：开口向下时，顶点处取最大值，离对称轴越远的点函数值越小，最后分别计算最大值和最小值即可得到$y$的取值范围。
【解析】
步骤1：分析二次函数的基本性质
二次函数$y=-2x^2+1$中，$a=-2＜0$，因此图象开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,1)$。
步骤2：求最大值
已知$x$的取值范围是$-3≤ x≤1$，对称轴$x=0$在该区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，因此当$x=0$时，$y$的最大值为$1$。
步骤3：求最小值
开口向下的二次函数，区间内离对称轴越远的点对应的函数值越小：
计算区间端点到对称轴的距离：$|-3-0|=3$，$|1-0|=1$，$3＞1$，因此当$x=-3$时，$y$取得最小值。
代入计算：$y=-2×(-3)^2 +1 = -2×9 +1 = -17$。
步骤4：确定取值范围
综上，当$-3≤ x≤1$时，$y$的取值范围是$-17≤ y≤1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的性质
2.二次函数最值计算
3.区间取值范围求解
【点评】
本题核心考查二次函数在限定区间内的取值范围求解，解题的关键是先明确函数的开口方向、对称轴，再结合区间特征判断最值对应的$x$值，易错点是容易误将区间右端点$x=1$的函数值当成最小值，忽略离对称轴更远的左端点$x=-3$的函数值。
【难度系数】
0.7
8. [教材 P16 练习第2题改编]如图,在同一平面直角坐标系中,画出二次函数 $y=\frac{1}{3}x^2$ 与 $y=\frac{1}{3}x^2+3$ 的图象,并回答下列问题:
(1)直接写出它们的顶点坐标与对称轴;
(2)若点$(-1,y_1)$和点$(2,y_2)$都在二次函数 $y=\frac{1}{3}x^2+3$ 的图象上,请直接写出 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系;(用“＜”连接)
(3)在二次函数 $y=\frac{1}{3}x^2+3$ 中,当函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时,请直接写出 $x$ 的取值范围.
(1)直接写出它们的顶点坐标与对称轴;
(2)若点$(-1,y_1)$和点$(2,y_2)$都在二次函数 $y=\frac{1}{3}x^2+3$ 的图象上,请直接写出 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系;(用“＜”连接)
(3)在二次函数 $y=\frac{1}{3}x^2+3$ 中,当函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时,请直接写出 $x$ 的取值范围.
答案
图略.
(1)抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$的顶点坐标是$(0,0)$,对称轴是$y$轴;抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+3$的顶点坐标是$(0,3)$,对称轴是$y$轴.
(2)$y_1＜y_2$
(3)$x＜0$
(1)抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$的顶点坐标是$(0,0)$,对称轴是$y$轴;抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+3$的顶点坐标是$(0,3)$,对称轴是$y$轴.
(2)$y_1＜y_2$
(3)$x＜0$
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2+k$的性质展开考查，解题思路如下：
1. 第(1)问可直接用$y=ax^2+k$的基本性质求解：这类函数的顶点坐标为$(0,k)$，对称轴恒为y轴，对应两个函数的$k$值即可写出结果。
2. 第(2)问比较函数值大小有两种思路：一是直接将两点横坐标代入解析式计算$y_1、y_2$的数值再比较；二是利用抛物线性质：开口向上时，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算两点横坐标到y轴的距离即可判断大小。
3. 第(3)问先判断抛物线开口方向，$a=\frac{1}{3}＞0$时抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，结合对称轴为$x=0$即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2+k$，顶点坐标为$(0,k)$，对称轴为y轴：
抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$中$k=0$，故顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+3$中$k=3$，故顶点坐标为$(0,3)$，对称轴为y轴。
(2) 代入解析式计算：
将$x=-1$代入$y=\frac{1}{3}x^2+3$，得$y_1=\frac{1}{3}×(-1)^2+3=\frac{10}{3}$；
将$x=2$代入$y=\frac{1}{3}x^2+3$，得$y_2=\frac{1}{3}×2^2+3=\frac{13}{3}$；
因为$\frac{10}{3}＜\frac{13}{3}$，所以$y_1＜y_2$。
(3) 抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+3$中$a=\frac{1}{3}＞0$，开口向上，对称轴为$x=0$，因此在对称轴左侧，即$x＜0$时，函数值y随x的增大而减小。
【答案】
图略。
(1)抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$的顶点坐标是$(0,0)$，对称轴是$y$轴；抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+3$的顶点坐标是$(0,3)$，对称轴是$y$轴。
(2)$y_1＜y_2$
(3)$x＜0$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质，函数值大小比较，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础考查题，核心是对$y=ax^2+k$的顶点、对称轴、增减性等性质的理解与运用，掌握相关基础性质即可快速求解，有助于夯实二次函数入门基础。
【难度系数】
0.85
本题围绕二次函数$y=ax^2+k$的性质展开考查，解题思路如下：
1. 第(1)问可直接用$y=ax^2+k$的基本性质求解：这类函数的顶点坐标为$(0,k)$，对称轴恒为y轴，对应两个函数的$k$值即可写出结果。
2. 第(2)问比较函数值大小有两种思路：一是直接将两点横坐标代入解析式计算$y_1、y_2$的数值再比较；二是利用抛物线性质：开口向上时，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算两点横坐标到y轴的距离即可判断大小。
3. 第(3)问先判断抛物线开口方向，$a=\frac{1}{3}＞0$时抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，结合对称轴为$x=0$即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2+k$，顶点坐标为$(0,k)$，对称轴为y轴：
抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$中$k=0$，故顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+3$中$k=3$，故顶点坐标为$(0,3)$，对称轴为y轴。
(2) 代入解析式计算：
将$x=-1$代入$y=\frac{1}{3}x^2+3$，得$y_1=\frac{1}{3}×(-1)^2+3=\frac{10}{3}$；
将$x=2$代入$y=\frac{1}{3}x^2+3$，得$y_2=\frac{1}{3}×2^2+3=\frac{13}{3}$；
因为$\frac{10}{3}＜\frac{13}{3}$，所以$y_1＜y_2$。
(3) 抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+3$中$a=\frac{1}{3}＞0$，开口向上，对称轴为$x=0$，因此在对称轴左侧，即$x＜0$时，函数值y随x的增大而减小。
【答案】
图略。
(1)抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$的顶点坐标是$(0,0)$，对称轴是$y$轴；抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+3$的顶点坐标是$(0,3)$，对称轴是$y$轴。
(2)$y_1＜y_2$
(3)$x＜0$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质，函数值大小比较，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础考查题，核心是对$y=ax^2+k$的顶点、对称轴、增减性等性质的理解与运用，掌握相关基础性质即可快速求解，有助于夯实二次函数入门基础。
【难度系数】
0.85
