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8. 已知 $y=(m+2)x^{m^2+2m-1}$ 是关于 $x$ 的二次函数.
(1)求 $m$ 的值.
(2)当 $m$ 为何值时,抛物线有最低点? 这时当 $x$ 在什么范围内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大?
(3)当 $m$ 为何值时,函数有最大值? 这时当 $x$ 在什么范围内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小?
(1)求 $m$ 的值.
(2)当 $m$ 为何值时,抛物线有最低点? 这时当 $x$ 在什么范围内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大?
(3)当 $m$ 为何值时,函数有最大值? 这时当 $x$ 在什么范围内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小?
答案
8.(1)$m=1$或$m=-3$.
(2)由(1)知,当$m=1$时,抛物线有最低点;这时当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大.
(3)由(1)知,当$m=-3$时,函数有最大值;这时当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.
(2)由(1)知,当$m=1$时,抛物线有最低点;这时当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大.
(3)由(1)知,当$m=-3$时,函数有最大值;这时当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.
解析
【分析】
(1) 求m的值需依据二次函数的定义：二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解即可。
(2) 抛物线有最低点说明开口向上，即二次项系数大于0，从(1)的结果中筛选符合条件的m值；再结合y=ax²（a＞0）的增减性：对称轴为y轴，开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大，即可得到x的取值范围。
(3) 函数有最大值说明开口向下，即二次项系数小于0，从(1)的结果中筛选符合条件的m值；再结合y=ax²（a＜0）的增减性：对称轴为y轴，开口向下时对称轴右侧y随x增大而减小，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1)
∵ $y=(m+2)x^{m^2+2m-1}$ 是关于x的二次函数
∴ 需满足 $\begin{cases}m^2+2m-1=2 \\ m+2≠ 0 \end{cases}$
解方程$m^2+2m-1=2$，移项得$m^2+2m-3=0$，因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，解得$m=1$或$m=-3$
检验：当$m=1$时，$m+2=3≠0$；当$m=-3$时，$m+2=-1≠0$，均符合条件
(2) 抛物线有最低点，则开口向上，即$m+2＞0$，解得$m＞-2$
结合(1)的结果得$m=1$
此时函数为$y=3x^2$，对称轴为$x=0$，开口向上，因此$x＞0$时y随x的增大而增大
(3) 函数有最大值，则开口向下，即$m+2＜0$，解得$m＜-2$
结合(1)的结果得$m=-3$
此时函数为$y=-x^2$，对称轴为$x=0$，开口向下，因此$x＞0$时y随x的增大而减小
【答案】
(1)$m=1$或$m=-3$；
(2)当$m=1$时，抛物线有最低点；这时当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3)当$m=-3$时，函数有最大值；这时当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对二次函数定义、开口方向与最值及增减性对应关系的掌握，解题时注意不要遗漏二次项系数不为0的条件，相关性质需熟练运用。
【难度系数】
0.75
(1) 求m的值需依据二次函数的定义：二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解即可。
(2) 抛物线有最低点说明开口向上，即二次项系数大于0，从(1)的结果中筛选符合条件的m值；再结合y=ax²（a＞0）的增减性：对称轴为y轴，开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大，即可得到x的取值范围。
(3) 函数有最大值说明开口向下，即二次项系数小于0，从(1)的结果中筛选符合条件的m值；再结合y=ax²（a＜0）的增减性：对称轴为y轴，开口向下时对称轴右侧y随x增大而减小，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1)
∵ $y=(m+2)x^{m^2+2m-1}$ 是关于x的二次函数
∴ 需满足 $\begin{cases}m^2+2m-1=2 \\ m+2≠ 0 \end{cases}$
解方程$m^2+2m-1=2$，移项得$m^2+2m-3=0$，因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，解得$m=1$或$m=-3$
检验：当$m=1$时，$m+2=3≠0$；当$m=-3$时，$m+2=-1≠0$，均符合条件
(2) 抛物线有最低点，则开口向上，即$m+2＞0$，解得$m＞-2$
结合(1)的结果得$m=1$
此时函数为$y=3x^2$，对称轴为$x=0$，开口向上，因此$x＞0$时y随x的增大而增大
(3) 函数有最大值，则开口向下，即$m+2＜0$，解得$m＜-2$
结合(1)的结果得$m=-3$
此时函数为$y=-x^2$，对称轴为$x=0$，开口向下，因此$x＞0$时y随x的增大而减小
【答案】
(1)$m=1$或$m=-3$；
(2)当$m=1$时，抛物线有最低点；这时当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3)当$m=-3$时，函数有最大值；这时当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对二次函数定义、开口方向与最值及增减性对应关系的掌握，解题时注意不要遗漏二次项系数不为0的条件，相关性质需熟练运用。
【难度系数】
0.75
9.已知二次函数$y=3x^2$且$-1≤ x≤2$，则函数值$y$的取值范围是（
A.$y≥0$
B.$3≤ y≤12$
C.$0≤ y≤3$
D.$0≤ y≤12$
D
）A.$y≥0$
B.$3≤ y≤12$
C.$0≤ y≤3$
D.$0≤ y≤12$
答案
9.D
解析
【分析】
要确定二次函数在给定自变量范围内的函数值取值范围，首先明确二次函数$y=3x^2$的基本性质：因为$a=3＞0$，所以抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点在原点，顶点处取得函数最小值。接下来判断顶点是否在给定的$x$范围$-1≤x≤2$内，显然$x=0$在该区间内，因此最小值就是顶点的纵坐标0；再比较区间内离对称轴最远的点，代入计算得到最大值，即可确定$y$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2$：
1. 由$a=3＞0$可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=0$；
2. 给定自变量取值范围为$-1≤x≤2$，分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=3×(-1)^2=3$；
当$x=2$时，$y=3×2^2=12$；
3. 结合开口向上的性质，在$-1≤x≤2$范围内，$y$的最大值为12，最小值为0，因此函数值$y$的取值范围是$0≤y≤12$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数最值求解；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的关键是不能直接仅代入区间两端点计算函数值来确定范围，要先判断顶点是否在自变量的取值范围内，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数在给定自变量范围内的函数值取值范围，首先明确二次函数$y=3x^2$的基本性质：因为$a=3＞0$，所以抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点在原点，顶点处取得函数最小值。接下来判断顶点是否在给定的$x$范围$-1≤x≤2$内，显然$x=0$在该区间内，因此最小值就是顶点的纵坐标0；再比较区间内离对称轴最远的点，代入计算得到最大值，即可确定$y$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2$：
1. 由$a=3＞0$可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=0$；
2. 给定自变量取值范围为$-1≤x≤2$，分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=3×(-1)^2=3$；
当$x=2$时，$y=3×2^2=12$；
3. 结合开口向上的性质，在$-1≤x≤2$范围内，$y$的最大值为12，最小值为0，因此函数值$y$的取值范围是$0≤y≤12$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数最值求解；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的关键是不能直接仅代入区间两端点计算函数值来确定范围，要先判断顶点是否在自变量的取值范围内，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.8
10. [与T7互为孪生题]已知点$A(-3,y_1)$，$B(-1,y_2)$，$C(2,y_3)$在抛物线$y=\frac{2}{3}x^2$上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
10.D
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常用思路：思路一：先明确抛物线$y=\frac{2}{3}x^2$的基本性质，该抛物线开口向上，对称轴为y轴，开口向上的抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可比较y值大小；思路二：直接将三个点的横坐标代入解析式，算出对应的y值后直接比较大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
已知抛物线解析式为$y=\frac{2}{3}x^2$，其中$a=\frac{2}{3}＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）。
对于开口向上的抛物线，点的横坐标到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大。
分别计算三个点横坐标到对称轴$x=0$的距离：
点A横坐标为-3，距离：$|-3-0|=3$；
点B横坐标为-1，距离：$|-1-0|=1$；
点C横坐标为2，距离：$|2-0|=2$。
因为$1＜2＜3$，所以对应的函数值大小为$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：代入求值比较
将三个点的横坐标分别代入$y=\frac{2}{3}x^2$计算y值：
$y_1=\frac{2}{3}×(-3)^2=\frac{2}{3}×9=6$；
$y_2=\frac{2}{3}×(-1)^2=\frac{2}{3}×1=\frac{2}{3}$；
$y_3=\frac{2}{3}×2^2=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}$。
比较大小：$\frac{2}{3}＜\frac{8}{3}＜6$，即$y_2＜y_3＜y_1$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，既可以通过代入求值直接比较，也可以利用抛物线的开口方向、对称轴与点的位置关系快速判断，能很好地考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，有两种常用思路：思路一：先明确抛物线$y=\frac{2}{3}x^2$的基本性质，该抛物线开口向上，对称轴为y轴，开口向上的抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可比较y值大小；思路二：直接将三个点的横坐标代入解析式，算出对应的y值后直接比较大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
已知抛物线解析式为$y=\frac{2}{3}x^2$，其中$a=\frac{2}{3}＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）。
对于开口向上的抛物线，点的横坐标到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大。
分别计算三个点横坐标到对称轴$x=0$的距离：
点A横坐标为-3，距离：$|-3-0|=3$；
点B横坐标为-1，距离：$|-1-0|=1$；
点C横坐标为2，距离：$|2-0|=2$。
因为$1＜2＜3$，所以对应的函数值大小为$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：代入求值比较
将三个点的横坐标分别代入$y=\frac{2}{3}x^2$计算y值：
$y_1=\frac{2}{3}×(-3)^2=\frac{2}{3}×9=6$；
$y_2=\frac{2}{3}×(-1)^2=\frac{2}{3}×1=\frac{2}{3}$；
$y_3=\frac{2}{3}×2^2=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}$。
比较大小：$\frac{2}{3}＜\frac{8}{3}＜6$，即$y_2＜y_3＜y_1$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，既可以通过代入求值直接比较，也可以利用抛物线的开口方向、对称轴与点的位置关系快速判断，能很好地考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
11.[2024·合肥蜀山区期中改编]在同一平面直角坐标系内，函数$y=kx^2$和$y=kx-2$（$k≠0$）的图象可能是（
）
）答案
11.B
解析
【分析】
解题时我们采用分类讨论结合排除法的思路：首先明确两个函数的图象由参数k的符号决定，因此分k＞0和k＜0两种情况，分别结合二次函数$y=kx^2$的开口方向、一次函数$y=kx-2$的斜率和与y轴的交点特征，逐一比对选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。另外注意一次函数$y=kx-2$的常数项为-2，因此它与y轴的交点一定在y轴负半轴，可作为快速排除的依据。
【解析】
已知两个函数分别为二次函数$y=kx^2$和一次函数$y=kx-2$（$k≠0$），分情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
二次函数$y=kx^2$开口向上，顶点在坐标原点；
一次函数$y=kx-2$中，斜率$k＞0$，故y随x的增大而增大，且当$x=0$时$y=-2$，与y轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限。
观察选项C、D：C中一次函数y随x增大而减小，不符合；D中一次函数与y轴交于正半轴，不符合，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
二次函数$y=kx^2$开口向下，顶点在坐标原点；
一次函数$y=kx-2$中，斜率$k＜0$，故y随x的增大而减小，且与y轴交于负半轴，图象经过第二、三、四象限。
观察选项A、B：A中一次函数y随x增大而增大，不符合；B中两个函数图象均符合特征。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；一次函数图象性质；含参函数图象判断
【点评】
本题是典型的同参数函数图象判别题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时抓住不同参数符号下两类函数的图象特征，结合排除法可快速得到答案，要注意一次函数固定截距这个隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
解题时我们采用分类讨论结合排除法的思路：首先明确两个函数的图象由参数k的符号决定，因此分k＞0和k＜0两种情况，分别结合二次函数$y=kx^2$的开口方向、一次函数$y=kx-2$的斜率和与y轴的交点特征，逐一比对选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。另外注意一次函数$y=kx-2$的常数项为-2，因此它与y轴的交点一定在y轴负半轴，可作为快速排除的依据。
【解析】
已知两个函数分别为二次函数$y=kx^2$和一次函数$y=kx-2$（$k≠0$），分情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
二次函数$y=kx^2$开口向上，顶点在坐标原点；
一次函数$y=kx-2$中，斜率$k＞0$，故y随x的增大而增大，且当$x=0$时$y=-2$，与y轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限。
观察选项C、D：C中一次函数y随x增大而减小，不符合；D中一次函数与y轴交于正半轴，不符合，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
二次函数$y=kx^2$开口向下，顶点在坐标原点；
一次函数$y=kx-2$中，斜率$k＜0$，故y随x的增大而减小，且与y轴交于负半轴，图象经过第二、三、四象限。
观察选项A、B：A中一次函数y随x增大而增大，不符合；B中两个函数图象均符合特征。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；一次函数图象性质；含参函数图象判断
【点评】
本题是典型的同参数函数图象判别题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时抓住不同参数符号下两类函数的图象特征，结合排除法可快速得到答案，要注意一次函数固定截距这个隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
12. 如图，一次函数$y=-x+4$的图象与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，且与二次函数$y=ax^2$的图象在第一象限交于点$P$。已知$△ AOP$的面积为6。
(1)求点$P$的坐标；
(2)求二次函数的表达式。
(1)求点$P$的坐标；
(2)求二次函数的表达式。
答案
12.(1)点$P$的坐标为$(1,3)$.
(2)将点$P(1,3)$代入$y=ax^2$,得$a=3$,
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3x^2$.
(2)将点$P(1,3)$代入$y=ax^2$,得$a=3$,
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3x^2$.
解析
【分析】
(1)要得到点P的坐标，首先先求一次函数与x轴交点A的坐标，得到线段OA的长度。△AOP以OA为底时，高就是点P的纵坐标，结合已知的三角形面积可先算出P点的纵坐标，再将纵坐标代入一次函数解析式，就能求出点P的横坐标，进而得到P点坐标。
(2)因为点P在二次函数$y=ax^2$的图象上，所以将P点坐标代入解析式，解出a的值即可得到二次函数的表达式。
【解析】
(1) 先求点A的坐标：
对于一次函数$y=-x+4$，令$y=0$，则$-x+4=0$，解得$x=4$，即点A坐标为$(4,0)$，$\therefore OA=4$。
设点P的纵坐标为$y_P$（$y_P＞0$，因为P在第一象限），由$△ AOP$的面积为6，可得：
$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA × y_P = 6$
代入$OA=4$，得$\frac{1}{2}×4× y_P=6$，解得$y_P=3$。
因为点P在一次函数$y=-x+4$的图象上，将$y=3$代入解析式得：
$3=-x+4$，解得$x=1$。
$\therefore$点P的坐标为$(1,3)$。
(2) 因为点P$(1,3)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，将点P坐标代入解析式：
$3=a× 1^2$，解得$a=3$。
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3x^2$。
【答案】
(1)点$P$的坐标为$(1,3)$；
(2)二次函数的表达式为$y=3x^2$。
【知识点】
一次函数图象性质、待定系数法求解析式、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的基础题型，核心考察函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式这一性质，解题关键是通过三角形面积先求出交点P的坐标，整体思路清晰，是函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
(1)要得到点P的坐标，首先先求一次函数与x轴交点A的坐标，得到线段OA的长度。△AOP以OA为底时，高就是点P的纵坐标，结合已知的三角形面积可先算出P点的纵坐标，再将纵坐标代入一次函数解析式，就能求出点P的横坐标，进而得到P点坐标。
(2)因为点P在二次函数$y=ax^2$的图象上，所以将P点坐标代入解析式，解出a的值即可得到二次函数的表达式。
【解析】
(1) 先求点A的坐标：
对于一次函数$y=-x+4$，令$y=0$，则$-x+4=0$，解得$x=4$，即点A坐标为$(4,0)$，$\therefore OA=4$。
设点P的纵坐标为$y_P$（$y_P＞0$，因为P在第一象限），由$△ AOP$的面积为6，可得：
$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA × y_P = 6$
代入$OA=4$，得$\frac{1}{2}×4× y_P=6$，解得$y_P=3$。
因为点P在一次函数$y=-x+4$的图象上，将$y=3$代入解析式得：
$3=-x+4$，解得$x=1$。
$\therefore$点P的坐标为$(1,3)$。
(2) 因为点P$(1,3)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，将点P坐标代入解析式：
$3=a× 1^2$，解得$a=3$。
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3x^2$。
【答案】
(1)点$P$的坐标为$(1,3)$；
(2)二次函数的表达式为$y=3x^2$。
【知识点】
一次函数图象性质、待定系数法求解析式、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的基础题型，核心考察函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式这一性质，解题关键是通过三角形面积先求出交点P的坐标，整体思路清晰，是函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
13. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1), (3,1),(3,3),(1,3).若抛物线$y=ax^2$与正方形有交点,则实数$a$的取值范围是
$\frac{1}{9}≤ a≤ 3$
. 答案
13.$\frac{1}{9}≤ a≤ 3$
解析
【分析】
要确定抛物线$y=ax^2$与正方形有交点时$a$的取值范围，可结合二次函数的性质分析临界情况：抛物线$y=ax^2$开口向上，$a$的大小决定开口宽窄，$a$越大开口越窄，$a$越小开口越宽。当抛物线刚好经过正方形的两个边界顶点时，$a$取到最值：一是开口最宽（$a$最小）时刚好经过正方形右下顶点$(3,1)$，二是开口最窄（$a$最大）时刚好经过正方形左上顶点$(1,3)$，代入两个顶点坐标即可求出$a$的临界值，进而得到取值范围。
【解析】
正方形的横坐标范围为$1≤x≤3$，纵坐标范围为$1≤y≤3$：
1. 求$a$的最小值：当抛物线经过正方形右下顶点$(3,1)$时，$a$取最小值，将$x=3$，$y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1 = a×3^2$，解得$a=\frac{1}{9}$；
若$a＜\frac{1}{9}$，则当$x≤3$时，$y=ax^2＜\frac{1}{9}×9=1$，抛物线在正方形下方，无交点。
2. 求$a$的最大值：当抛物线经过正方形左上顶点$(1,3)$时，$a$取最大值，将$x=1$，$y=3$代入$y=ax^2$，得：
$3 = a×1^2$，解得$a=3$；
若$a＞3$，则当$x≥1$时，$y=ax^2＞3×1=3$，抛物线在正方形上方，无交点。
综上，实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9}≤ a≤ 3$。
【答案】
$\frac{1}{9}≤ a≤ 3$
【知识点】
二次函数$y=ax²$的性质；待定系数法求参数；数形结合求范围
【点评】
本题结合二次函数图象与正方形的位置关系考查参数范围的求解，解题核心是利用数形结合思想找到两个临界交点，通过代入临界点坐标求出参数的边界值，进而得到取值范围，属于二次函数性质的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线$y=ax^2$与正方形有交点时$a$的取值范围，可结合二次函数的性质分析临界情况：抛物线$y=ax^2$开口向上，$a$的大小决定开口宽窄，$a$越大开口越窄，$a$越小开口越宽。当抛物线刚好经过正方形的两个边界顶点时，$a$取到最值：一是开口最宽（$a$最小）时刚好经过正方形右下顶点$(3,1)$，二是开口最窄（$a$最大）时刚好经过正方形左上顶点$(1,3)$，代入两个顶点坐标即可求出$a$的临界值，进而得到取值范围。
【解析】
正方形的横坐标范围为$1≤x≤3$，纵坐标范围为$1≤y≤3$：
1. 求$a$的最小值：当抛物线经过正方形右下顶点$(3,1)$时，$a$取最小值，将$x=3$，$y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1 = a×3^2$，解得$a=\frac{1}{9}$；
若$a＜\frac{1}{9}$，则当$x≤3$时，$y=ax^2＜\frac{1}{9}×9=1$，抛物线在正方形下方，无交点。
2. 求$a$的最大值：当抛物线经过正方形左上顶点$(1,3)$时，$a$取最大值，将$x=1$，$y=3$代入$y=ax^2$，得：
$3 = a×1^2$，解得$a=3$；
若$a＞3$，则当$x≥1$时，$y=ax^2＞3×1=3$，抛物线在正方形上方，无交点。
综上，实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9}≤ a≤ 3$。
【答案】
$\frac{1}{9}≤ a≤ 3$
【知识点】
二次函数$y=ax²$的性质；待定系数法求参数；数形结合求范围
【点评】
本题结合二次函数图象与正方形的位置关系考查参数范围的求解，解题核心是利用数形结合思想找到两个临界交点，通过代入临界点坐标求出参数的边界值，进而得到取值范围，属于二次函数性质的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
