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1.计算:
(1)$(\dfrac{1}{2}-2x^{2})(-2x^{2}-\dfrac{1}{2});$
(2)$3(y-z)^{2}-(2y+z)(-z+2y).$
(1)$(\dfrac{1}{2}-2x^{2})(-2x^{2}-\dfrac{1}{2});$
(2)$3(y-z)^{2}-(2y+z)(-z+2y).$
答案
(1)$4x^{4}-\dfrac{1}{4}$
(2)$4z^{2}-6yz-y^{2}$
(2)$4z^{2}-6yz-y^{2}$
解析
【分析】
(1)观察式子结构，发现两个因式中相同项为$-2x^2$，互为相反数的项为$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，直接套用公式计算即可简化运算。
(2)式子分为两部分，第一部分$(y-z)^2$符合完全平方公式结构，第二部分$(2y+z)(-z+2y)$可变形为$(2y+z)(2y-z)$，符合平方差公式结构，分别套用两个公式展开后，再去括号、合并同类项即可得到结果，计算时需注意去括号的符号变化。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{2}-2x^{2})(-2x^{2}-\dfrac{1}{2})&=(-2x^2+\dfrac{1}{2})(-2x^2-\dfrac{1}{2})\\&=(-2x^2)^2 - (\dfrac{1}{2})^2\\&=4x^4 - \dfrac{1}{4}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}3(y-z)^{2}-(2y+z)(-z+2y)&=3(y^2 - 2yz + z^2) - [(2y)^2 - z^2]\\&=3y^2 - 6yz + 3z^2 - (4y^2 - z^2)\\&=3y^2 - 6yz + 3z^2 - 4y^2 + z^2\\&=4z^2 -6yz -y^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$4x^{4}-\dfrac{1}{4}$
(2)$4z^{2}-6yz-y^{2}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式的加减
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时要先观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式再计算，能大幅降低运算量，同时要注意去括号时的符号规则，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
(1)观察式子结构，发现两个因式中相同项为$-2x^2$，互为相反数的项为$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，直接套用公式计算即可简化运算。
(2)式子分为两部分，第一部分$(y-z)^2$符合完全平方公式结构，第二部分$(2y+z)(-z+2y)$可变形为$(2y+z)(2y-z)$，符合平方差公式结构，分别套用两个公式展开后，再去括号、合并同类项即可得到结果，计算时需注意去括号的符号变化。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{2}-2x^{2})(-2x^{2}-\dfrac{1}{2})&=(-2x^2+\dfrac{1}{2})(-2x^2-\dfrac{1}{2})\\&=(-2x^2)^2 - (\dfrac{1}{2})^2\\&=4x^4 - \dfrac{1}{4}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}3(y-z)^{2}-(2y+z)(-z+2y)&=3(y^2 - 2yz + z^2) - [(2y)^2 - z^2]\\&=3y^2 - 6yz + 3z^2 - (4y^2 - z^2)\\&=3y^2 - 6yz + 3z^2 - 4y^2 + z^2\\&=4z^2 -6yz -y^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$4x^{4}-\dfrac{1}{4}$
(2)$4z^{2}-6yz-y^{2}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式的加减
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时要先观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式再计算，能大幅降低运算量，同时要注意去括号时的符号规则，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
2.计算：
(1)$(x-3y)^2(x+3y)^2$；
(2)$(2x-y+1)(2x+y-1)$。
(1)$(x-3y)^2(x+3y)^2$；
(2)$(2x-y+1)(2x+y-1)$。
答案
(1)$x^{4}-18x^{2}y^{2}+81y^{4}$
(2)$4x^{2}-y^{2}+2y-1$
(2)$4x^{2}-y^{2}+2y-1$
解析
【分析】
(1) 观察式子发现两个乘式均为平方形式，可先逆用积的乘方性质，将两个底数相乘后再平方，此时底数$(x-3y)(x+3y)$符合平方差公式结构，先利用平方差公式计算，再对结果用完全平方公式展开即可。(2) 观察两个多项式的项，相同项为$2x$，相反项为$(-y+1)$和$(y-1)$，可将相反项整体括起来，变形为平方差公式的结构，先用平方差公式计算，再对剩余的完全平方式展开、去括号得到结果。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}(x-3y)^2(x+3y)^2&=[(x-3y)(x+3y)]^2 \\&=(x^2-9y^2)^2 \\&=(x^2)^2 - 2· x^2·9y^2 + (9y^2)^2 \\&=x^4 - 18x^2y^2 + 81y^4\end{aligned}$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}(2x-y+1)(2x+y-1)&=[2x-(y-1)][2x+(y-1)] \\&=(2x)^2 - (y-1)^2 \\&=4x^2 - (y^2 - 2y + 1) \\&=4x^2 - y^2 + 2y - 1\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^{4}-18x^{2}y^{2}+81y^{4}$；(2)$4x^{2}-y^{2}+2y-1$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；积的乘方逆用
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活应用，解题核心是观察式子的结构特征，通过合理变形凑出乘法公式的标准形式，可大幅简化运算，避免直接展开多项式导致计算量过大、出错率升高。
【难度系数】
0.65
(1) 观察式子发现两个乘式均为平方形式，可先逆用积的乘方性质，将两个底数相乘后再平方，此时底数$(x-3y)(x+3y)$符合平方差公式结构，先利用平方差公式计算，再对结果用完全平方公式展开即可。(2) 观察两个多项式的项，相同项为$2x$，相反项为$(-y+1)$和$(y-1)$，可将相反项整体括起来，变形为平方差公式的结构，先用平方差公式计算，再对剩余的完全平方式展开、去括号得到结果。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}(x-3y)^2(x+3y)^2&=[(x-3y)(x+3y)]^2 \\&=(x^2-9y^2)^2 \\&=(x^2)^2 - 2· x^2·9y^2 + (9y^2)^2 \\&=x^4 - 18x^2y^2 + 81y^4\end{aligned}$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}(2x-y+1)(2x+y-1)&=[2x-(y-1)][2x+(y-1)] \\&=(2x)^2 - (y-1)^2 \\&=4x^2 - (y^2 - 2y + 1) \\&=4x^2 - y^2 + 2y - 1\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^{4}-18x^{2}y^{2}+81y^{4}$；(2)$4x^{2}-y^{2}+2y-1$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；积的乘方逆用
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活应用，解题核心是观察式子的结构特征，通过合理变形凑出乘法公式的标准形式，可大幅简化运算，避免直接展开多项式导致计算量过大、出错率升高。
【难度系数】
0.65
3.请用简便方法计算：
(1)$398^2$；
(2)$899×901+1$；
(3)$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}$；
(4)$1.37^2 + 2×1.37×8.63 + 8.63^2$。
(1)$398^2$；
(2)$899×901+1$；
(3)$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}$；
(4)$1.37^2 + 2×1.37×8.63 + 8.63^2$。
答案
(1)158 404
(2)810 000
(3)$1\ 599\dfrac{5}{9}$
(4)100
(2)810 000
(3)$1\ 599\dfrac{5}{9}$
(4)100
解析
【分析】
这几道题均可通过变形后利用乘法公式进行简便运算，无需直接计算大数乘积，解题思路如下：1. 对于接近整百的数的平方，可将其拆成整百数加/减一个较小数的形式，利用完全平方公式展开计算；2. 对于两个相差不大的数相乘，若两数的平均数为整十/整百数，可写成两数平均数加/减同一个数的形式，利用平方差公式计算；3. 若式子符合$a^2±2ab+b^2$的结构，直接逆用完全平方公式凑成$(a±b)^2$计算即可。
【解析】
(1) 计算$398^2$：
将398转化为$400-2$，利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
$398^2=(400-2)^2=400^2 - 2×400×2 + 2^2=160000 - 1600 + 4=158404$
(2) 计算$899×901+1$：
观察得$899=900-1$，$901=900+1$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
$899×901+1=(900-1)(900+1)+1=900^2 - 1^2 +1=810000 -1 +1=810000$
(3) 计算$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}$：
将带分数转化为$40+\dfrac{2}{3}$和$40-\dfrac{2}{3}$，利用平方差公式计算：
$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}=(40+\dfrac{2}{3})(40-\dfrac{2}{3})=40^2 - (\dfrac{2}{3})^2=1600 - \dfrac{4}{9}=1599\dfrac{5}{9}$
(4) 计算$1.37^2 + 2×1.37×8.63 + 8.63^2$：
式子符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，逆用公式计算：
原式=$(1.37+8.63)^2=10^2=100$
【答案】
(1)$158404$；(2)$810000$；(3)$1599\dfrac{5}{9}$；(4)$100$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、乘法公式逆用
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，解题关键是观察式子特征，将数字或式子变形为符合乘法公式的结构，可大幅简化计算，降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
这几道题均可通过变形后利用乘法公式进行简便运算，无需直接计算大数乘积，解题思路如下：1. 对于接近整百的数的平方，可将其拆成整百数加/减一个较小数的形式，利用完全平方公式展开计算；2. 对于两个相差不大的数相乘，若两数的平均数为整十/整百数，可写成两数平均数加/减同一个数的形式，利用平方差公式计算；3. 若式子符合$a^2±2ab+b^2$的结构，直接逆用完全平方公式凑成$(a±b)^2$计算即可。
【解析】
(1) 计算$398^2$：
将398转化为$400-2$，利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
$398^2=(400-2)^2=400^2 - 2×400×2 + 2^2=160000 - 1600 + 4=158404$
(2) 计算$899×901+1$：
观察得$899=900-1$，$901=900+1$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
$899×901+1=(900-1)(900+1)+1=900^2 - 1^2 +1=810000 -1 +1=810000$
(3) 计算$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}$：
将带分数转化为$40+\dfrac{2}{3}$和$40-\dfrac{2}{3}$，利用平方差公式计算：
$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}=(40+\dfrac{2}{3})(40-\dfrac{2}{3})=40^2 - (\dfrac{2}{3})^2=1600 - \dfrac{4}{9}=1599\dfrac{5}{9}$
(4) 计算$1.37^2 + 2×1.37×8.63 + 8.63^2$：
式子符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，逆用公式计算：
原式=$(1.37+8.63)^2=10^2=100$
【答案】
(1)$158404$；(2)$810000$；(3)$1599\dfrac{5}{9}$；(4)$100$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、乘法公式逆用
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，解题关键是观察式子特征，将数字或式子变形为符合乘法公式的结构，可大幅简化计算，降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
