4. 能力训练点·探究建模 【知识探索】观察以下等式：
$(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$，
$(x+3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 27$，
$(x+6)(x^2 - 6x + 36) = x^3 + 216$，
$\dots$
按以上等式的规律，发现：
$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
(1)利用多项式乘以多项式的法则，试说明$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$成立；
(2)计算：$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = \_\_\_\_\_\_$；
【知识运用】
(3)已知$a + b = 1$，$ab = -1$，求$a^3 + b^3$的值；
(4)已知$(x - 203)^2 + (205 - x)^2 = 20$，求$(x - 203)^3 - (205 - x)^3$的值.

(1)略
(2)$a^3 - b^3$
(3)4
(4)$\pm72$

【分析】
(1) 要证明等式成立，只需利用多项式乘多项式的法则将左边展开，合并同类项后验证和右边相等即可。
(2) 类比(1)的推导方法，用多项式乘多项式展开左边合并同类项就能得到结果，也可将立方和公式中的b替换为-b快速推导。
(3) 求$a^3+b^3$可直接用推导好的立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，再结合完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，整体代入已知数值计算即可。
(4) 所求为两个数的立方差，可利用(2)的立方差公式，先设$m=x-203$，$n=205-x$，先求出$m+n$、$mn$和$m-n$的值，再整体代入公式计算，注意平方开方时要考虑正负两种情况。
【解析】
(1) 证明：根据多项式乘多项式法则，左边展开得：
$\begin{aligned}(a+b)(a^2 - ab + b^2)&=a· a^2 - a· ab + a· b^2 + b· a^2 - b· ab + b· b^2\\&=a^3 -a^2b + ab^2 + a^2b -ab^2 +b^3\\&=a^3 + b^3\end{aligned}$
左边等于右边，故等式成立。
(2) 展开计算：
$\begin{aligned}(a-b)(a^2 + ab + b^2)&=a· a^2 +a· ab +a· b^2 -b· a^2 -b· ab -b· b^2\\&=a^3 +a^2b +ab^2 -a^2b -ab^2 -b^3\\&=a^3 - b^3\end{aligned}$
(3) 由立方和公式得$a^3 + b^3=(a+b)(a^2 -ab +b^2)$，根据完全平方公式，$a^2 +b^2=(a+b)^2 -2ab$，代入$a+b=1$，$ab=-1$：
$a^2 +b^2=1^2 -2×(-1)=3$，
则$a^3 +b^3=1×(3 - (-1))=4$。
(4) 设$m=x-203$，$n=205-x$，则所求式子为$m^3 -n^3$，易得：
$m+n=(x-203)+(205-x)=2$，已知$m^2 +n^2=20$，
由$(m+n)^2=m^2 +2mn +n^2$，代入得$2^2=20 + 2mn$，解得$mn=-8$，
再由$(m-n)^2=m^2 -2mn +n^2=20 -2×(-8)=36$，得$m-n=\pm6$，
根据立方差公式$m^3 -n^3=(m-n)(m^2 +mn +n^2)$，代入得：
$m^3 -n^3=\pm6×(20 -8)=\pm72$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $a^3 - b^3$；
(3) $4$；
(4) $\pm72$
【知识点】
多项式乘法运算，完全平方公式，立方和（差）公式
【点评】
本题从特殊等式归纳推导立方和、立方差公式，再考查公式的变形应用，解题过程中用到整体代入、换元的思想，需要熟练掌握乘法公式的变形，注意开平方时不要漏解。
【难度系数】
0.6

5.定义:将二次三项式$x^2 + bx + c$变形为$(x + m)^2 + n$的形式,我们称为配方,然后由平方具有非负性,即$(x + m)^2 ≥ 0$,就可以解决很多问题.例如:把多项式$x^2 - 2x + 3$配方为$x^2 - 2x + 3 = x^2 - 2 · x · 1 + 1^2 - 1^2 + 3 = (x - 1)^2 + 2.$
(1)把多项式$x^2 + 4x + 5$配方成$(x + m)^2 + n$的形式,则$m=$ ,$n=$ ;
(2)若多项式$A = x^2 + 4x +5$,$B = x^2 +6x.$
①证明:无论$x$取任何实数,多项式$A$的值恒为正数;
②求多项式$2A - B$的最小值.

(1)2；1
(2)①证明：略
②9

【分析】
（1）本题考查配方法的基本操作，配方时先将二次项和一次项组合，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数保证原式值不变，整理成$(x+m)^2+n$的形式后，即可对应得到m、n的值。
（2）①要证明多项式A的值恒为正数，只需将A配方，利用平方的非负性，说明配方后的结果最小值大于0即可。
②求$2A-B$的最小值，先将A、B代入式子，通过整式的加减运算化简为二次三项式，再配方，结合平方非负性即可求出最小值。
【解析】
（1）对$x^2+4x+5$进行配方：
$x^2+4x+5 = x^2 + 2· x· 2 + 2^2 - 2^2 + 5 = (x+2)^2 + 1$
对比$(x+m)^2+n$的形式，可得$m=2$，$n=1$。
（2）①证明：
已知$A = x^2 + 4x +5$，由（1）得$A=(x+2)^2 + 1$。
∵ 平方具有非负性，即$(x+2)^2 ≥ 0$，
∴ $(x+2)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
∴ 无论x取任何实数，多项式A的值恒为正数。
②先化简$2A - B$：
将$A = x^2 + 4x +5$，$B = x^2 +6x$代入得：
$2A - B = 2(x^2 + 4x +5) - (x^2 +6x)$
$= 2x^2 + 8x + 10 - x^2 - 6x$
$= x^2 + 2x + 10$
对化简后的式子配方：
$x^2 + 2x + 10 = x^2 + 2· x·1 + 1^2 - 1^2 +10 = (x+1)^2 +9$
∵ $(x+1)^2 ≥ 0$，
∴ 当$(x+1)^2 = 0$，即$x=-1$时，$2A-B$取得最小值，最小值为9。
【答案】
(1)$2$；$1$
(2)①证明见解析；②$9$
【知识点】
配方法的应用；平方的非负性；整式的加减运算
【点评】
本题围绕配方法展开考查，既涉及配方的基本操作，又结合平方非负性解决恒正证明、最值求解问题，熟练掌握“加一次项系数一半的平方”这一配方核心步骤，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7