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7. 新考法 一项工程，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工. 某同学设规定的工期为$ x $天，根据题意列出了方程：$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1$，则方案③中被墨水污染的部分应该是（
A.甲、乙合作了4天
B.甲先做了4天
C.甲先做了工程的$\frac{1}{4}$
D.甲、乙合作了工程的$\frac{1}{4}$
A
）A.甲、乙合作了4天
B.甲先做了4天
C.甲先做了工程的$\frac{1}{4}$
D.甲、乙合作了工程的$\frac{1}{4}$
答案
7.A
解析
【分析】
要确定被污染的条件，首先要明确工程问题的基本等量关系：工作量=工作效率×工作时间，总工作量为1。先根据已知条件推导甲、乙的工作效率：设规定工期为x天，则甲单独完成需x天，工作效率为$\frac{1}{x}$；乙单独完成需$x+5$天，工作效率为$\frac{1}{x+5}$。接下来拆解给出的方程：方程左边两项分别对应甲、乙的总工作量，$\frac{4}{x}$是甲的工作量，说明甲一共工作了4天；$\frac{x}{x+5}$是乙的工作量，说明乙一共工作了x天（刚好等于规定工期）。结合“剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工”可知，乙全程参与施工，甲仅参与了前4天的施工，即前4天是甲、乙共同施工的。
【解析】
设工作总量为1，规定工期为x天：
1. 推导工作效率：甲队单独完成需x天，工作效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需$x+5$天，工作效率为$\frac{1}{x+5}$。
2. 分析方程各项含义：
$\frac{4}{x} = \frac{1}{x} × 4$，表示甲队一共工作了4天的工作量；
$\frac{x}{x+5} = \frac{1}{x+5} × x$，表示乙队一共工作了x天的工作量，刚好等于总工期，说明乙队全程参与施工。
3. 结合题干后半句“剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工”，说明甲队只在最开始的4天参与施工，和乙队共同工作，因此被污染的部分是“甲、乙合作了4天”。
【答案】
A
【知识点】
工程问题，分式方程的应用，工作量计算
【点评】
本题属于逆向考查分式方程实际意义的创新题型，需要学生熟练掌握工程问题中工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，能通过拆解方程各项的含义反推题干条件，避免了常规套用公式解题的固化思维，能有效考查逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
要确定被污染的条件，首先要明确工程问题的基本等量关系：工作量=工作效率×工作时间，总工作量为1。先根据已知条件推导甲、乙的工作效率：设规定工期为x天，则甲单独完成需x天，工作效率为$\frac{1}{x}$；乙单独完成需$x+5$天，工作效率为$\frac{1}{x+5}$。接下来拆解给出的方程：方程左边两项分别对应甲、乙的总工作量，$\frac{4}{x}$是甲的工作量，说明甲一共工作了4天；$\frac{x}{x+5}$是乙的工作量，说明乙一共工作了x天（刚好等于规定工期）。结合“剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工”可知，乙全程参与施工，甲仅参与了前4天的施工，即前4天是甲、乙共同施工的。
【解析】
设工作总量为1，规定工期为x天：
1. 推导工作效率：甲队单独完成需x天，工作效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需$x+5$天，工作效率为$\frac{1}{x+5}$。
2. 分析方程各项含义：
$\frac{4}{x} = \frac{1}{x} × 4$，表示甲队一共工作了4天的工作量；
$\frac{x}{x+5} = \frac{1}{x+5} × x$，表示乙队一共工作了x天的工作量，刚好等于总工期，说明乙队全程参与施工。
3. 结合题干后半句“剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工”，说明甲队只在最开始的4天参与施工，和乙队共同工作，因此被污染的部分是“甲、乙合作了4天”。
【答案】
A
【知识点】
工程问题，分式方程的应用，工作量计算
【点评】
本题属于逆向考查分式方程实际意义的创新题型，需要学生熟练掌握工程问题中工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，能通过拆解方程各项的含义反推题干条件，避免了常规套用公式解题的固化思维，能有效考查逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
8. 立德树人·科学精神 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米。若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时。
(1)求无人机和传统车辆的配送速度。
(2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内(含10分钟)送达，则无人机的速度要提高到多少，才能刚好完成此次配送任务？
(1)求无人机和传统车辆的配送速度。
(2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内(含10分钟)送达，则无人机的速度要提高到多少，才能刚好完成此次配送任务？
答案
8.解：(1)无人机的配送速度为 40 千米/时，传统车辆的配送速度为 60 千米/时. (2)48 千米/时.
解析
【分析】
(1)本题属于行程类分式方程应用题，核心等量关系为“传统车辆配送时间 - 无人机配送时间 = 0.1小时”。我们可以设无人机速度为x千米/时，用含x的式子表示传统车辆的速度，再根据“时间=路程÷速度”分别表示两者的配送时间，代入等量关系列分式方程求解，分式方程的解需要检验是否符合方程要求和实际意义。(2)先计算无人机原速飞行0.2小时的路程，得到剩余飞行路程，再将10分钟换算为小时统一单位，用剩余路程除以规定的剩余配送时间，即可求出需要提高到的速度。
【解析】
(1)设无人机的配送速度为$x$千米/时，则传统车辆的配送速度为$1.5x$千米/时。
根据题意列方程得：
$\frac{30}{1.5x} - \frac{16}{x} = 0.1$
化简得：$\frac{20}{x} - \frac{16}{x} = 0.1$，即$\frac{4}{x}=0.1$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$1.5x=60≠0$，$x≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际配送的速度要求。
则传统车辆的配送速度为$1.5×40=60$（千米/时）。
(2)先统一单位：$10$分钟$=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$小时。
无人机原速飞行0.2小时的路程为：$40×0.2=8$（千米）
剩余需要配送的路程为：$16-8=8$（千米）
要刚好在10分钟内送达，所需速度为：$8÷\frac{1}{6}=48$（千米/时）
【答案】
(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时；(2)48千米/时
【知识点】
分式方程的实际应用，行程问题基本公式，时间单位换算
【点评】
本题结合生活热点场景考查方程的实际应用，解题的关键是找准题目中的等量关系列方程，要注意分式方程求解后必须检验，同时计算时要统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.75
(1)本题属于行程类分式方程应用题，核心等量关系为“传统车辆配送时间 - 无人机配送时间 = 0.1小时”。我们可以设无人机速度为x千米/时，用含x的式子表示传统车辆的速度，再根据“时间=路程÷速度”分别表示两者的配送时间，代入等量关系列分式方程求解，分式方程的解需要检验是否符合方程要求和实际意义。(2)先计算无人机原速飞行0.2小时的路程，得到剩余飞行路程，再将10分钟换算为小时统一单位，用剩余路程除以规定的剩余配送时间，即可求出需要提高到的速度。
【解析】
(1)设无人机的配送速度为$x$千米/时，则传统车辆的配送速度为$1.5x$千米/时。
根据题意列方程得：
$\frac{30}{1.5x} - \frac{16}{x} = 0.1$
化简得：$\frac{20}{x} - \frac{16}{x} = 0.1$，即$\frac{4}{x}=0.1$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$1.5x=60≠0$，$x≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际配送的速度要求。
则传统车辆的配送速度为$1.5×40=60$（千米/时）。
(2)先统一单位：$10$分钟$=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$小时。
无人机原速飞行0.2小时的路程为：$40×0.2=8$（千米）
剩余需要配送的路程为：$16-8=8$（千米）
要刚好在10分钟内送达，所需速度为：$8÷\frac{1}{6}=48$（千米/时）
【答案】
(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时；(2)48千米/时
【知识点】
分式方程的实际应用，行程问题基本公式，时间单位换算
【点评】
本题结合生活热点场景考查方程的实际应用，解题的关键是找准题目中的等量关系列方程，要注意分式方程求解后必须检验，同时计算时要统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.75
9. 应用意识 某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书.甲工程队施工一天的工程款为1.2万元,乙工程队施工一天的工程款为0.5万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,有如下方案:
①甲队单独做这项工程刚好如期完成;
②乙队单独做这项工程要比规定工期多用6天;
③若甲、乙两队合作3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
(1)规定工期是多少天?
(2)在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由.
①甲队单独做这项工程刚好如期完成;
②乙队单独做这项工程要比规定工期多用6天;
③若甲、乙两队合作3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
(1)规定工期是多少天?
(2)在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由.
答案
9.解：(1)6天. (2)方案③最节省工程款.理由略.
解析
【分析】
（1）这是典型的工程问题，通常将总工程量设为单位“1”，工作效率=1÷单独完成所需时间。要计算规定工期，设规定工期为x天，则甲队单独完成需x天，效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需$(x+6)$天，效率为$\frac{1}{x+6}$。根据方案③的完成条件：甲工作3天的工作量+乙全程工作x天的工作量=总工程量1，即可列出分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性。
（2）首先根据“不耽误工期”的前提，排除超过规定工期的方案，再分别计算剩余符合要求的方案的总工程款，比较大小即可选出最省钱的方案。
【解析】
(1) 设规定工期为$x$天，总工程量为单位“1”，则甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{x+6}$。
根据方案③的工作情况列方程：
$3×\frac{1}{x} + x×\frac{1}{x+6} = 1$
方程两边同乘$x(x+6)$去分母得：
$3(x+6) + x^2 = x(x+6)$
展开化简：
$3x + 18 + x^2 = x^2 + 6x$
移项合并同类项得：
$3x = 18$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+6)=6×12=72≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 首先判断各方案是否符合“不耽误工期”的要求：
方案①：甲单独做刚好6天完成，符合要求，总工程款为$1.2×6=7.2$万元；
方案②：乙单独做需要$6+6=12$天，超过规定工期6天，不符合要求，排除；
方案③：总工期为6天，符合要求，总工程款为甲3天的费用加乙6天的费用，即$1.2×3 + 0.5×6=3.6+3=6.6$万元。
因为$6.6＜7.2$，所以方案③最节省工程款。
【答案】
(1) 6天；(2) 方案③最节省工程款
【知识点】
分式方程的应用，工程问题，方案优化
【点评】
本题以工程招标为背景，贴近生活实际，既考查了分式方程解应用题的基本步骤，又要求结合实际约束条件筛选方案，能有效提升将数学知识应用到实际问题中的能力，解题时需注意分式方程必须验根，避免忽略实际约束导致错误。
【难度系数】
0.7
（1）这是典型的工程问题，通常将总工程量设为单位“1”，工作效率=1÷单独完成所需时间。要计算规定工期，设规定工期为x天，则甲队单独完成需x天，效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需$(x+6)$天，效率为$\frac{1}{x+6}$。根据方案③的完成条件：甲工作3天的工作量+乙全程工作x天的工作量=总工程量1，即可列出分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性。
（2）首先根据“不耽误工期”的前提，排除超过规定工期的方案，再分别计算剩余符合要求的方案的总工程款，比较大小即可选出最省钱的方案。
【解析】
(1) 设规定工期为$x$天，总工程量为单位“1”，则甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{x+6}$。
根据方案③的工作情况列方程：
$3×\frac{1}{x} + x×\frac{1}{x+6} = 1$
方程两边同乘$x(x+6)$去分母得：
$3(x+6) + x^2 = x(x+6)$
展开化简：
$3x + 18 + x^2 = x^2 + 6x$
移项合并同类项得：
$3x = 18$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+6)=6×12=72≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 首先判断各方案是否符合“不耽误工期”的要求：
方案①：甲单独做刚好6天完成，符合要求，总工程款为$1.2×6=7.2$万元；
方案②：乙单独做需要$6+6=12$天，超过规定工期6天，不符合要求，排除；
方案③：总工期为6天，符合要求，总工程款为甲3天的费用加乙6天的费用，即$1.2×3 + 0.5×6=3.6+3=6.6$万元。
因为$6.6＜7.2$，所以方案③最节省工程款。
【答案】
(1) 6天；(2) 方案③最节省工程款
【知识点】
分式方程的应用，工程问题，方案优化
【点评】
本题以工程招标为背景，贴近生活实际，既考查了分式方程解应用题的基本步骤，又要求结合实际约束条件筛选方案，能有效提升将数学知识应用到实际问题中的能力，解题时需注意分式方程必须验根，避免忽略实际约束导致错误。
【难度系数】
0.7
