8. 如图28.2-7，$△ AOB$与$△ COD$成中心对称，点$O$是它们的对称中心，若$∠ A=45°$，$OD=3$，求$∠ C$的度数和$OB$的长度。

8. 解: $\because △ AOB$ 与 $△ COD$ 成中心对称, 点 $O$ 是它们的对称中心,
$\therefore ∠ C=∠ A=45°,\ OB=OD=3.$

【分析】
解题时首先从已知条件“△AOB与△COD成中心对称，点O是对称中心”入手，回忆中心对称的性质：成中心对称的两个图形全等，对应角相等，对应边相等。接下来确定对应关系：∠C与∠A是对应角，OB与OD是对应边，将已知的∠A的度数和OD的长度代入，即可求出结果。
【解析】
解：$\because △ AOB$ 与 $△ COD$ 成中心对称，点$O$是它们的对称中心，
$\therefore$ 对应角相等，对应边相等，
$\therefore ∠ C=∠ A=45°,\ OB=OD=3$。
【答案】
$∠ C=45°$，$OB=3$
【知识点】
中心对称的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查中心对称性质的直接应用，解题的关键是准确识别成中心对称的两个图形的对应元素，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9

9. 如图28.2-8，$□ ABCO$与$□ A'B'C'O$关于点O对称，$∠ BAO$的平分线交BC于点D。若$BD=3$，$CD=2$，则$□ A'B'C'O$的周长为。

9. 16

【分析】
解题时先结合平行四边形的性质得到边的关系与平行线的内错角相等，再利用角平分线的性质推导等角，得到等腰三角形从而求出平行四边形ABCO的边长，计算出它的周长，最后根据中心对称的性质：关于某点对称的两个图形全等，周长相等，即可求出A'B'C'O的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴$BC=BD+CD=3+2=5$，且$AO// BC$，$AO=BC=5$，
∴$∠ OAD=∠ ADB$（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分$∠ BAO$，
∴$∠ BAD=∠ OAD$，
∴$∠ BAD=∠ ADB$，
∴$AB=BD=3$，
∴平行四边形ABCO的周长为$2×(AB+BC)=2×(3+5)=16$，
又
∵$□ ABCO$与$□ A'B'C'O$关于点O对称，
∴$□ ABCO≌□ A'B'C'O$，
∴$□ A'B'C'O$的周长等于平行四边形ABCO的周长，为16。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，中心对称的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将平行四边形、角平分线、中心对称的性质结合考查，解题的关键是利用平行线和角平分线的性质推导得到等腰三角形，求出平行四边形的边长。
【难度系数】
0.7

10. 如图28.2-9，已知$△ AGB$与$△ CGD$关于点$G$对称，点$E$，$F$分别在$GA$，$GC$上，且$AF=CE$. 求证$ED// BF$.

10. 证明：$\because △AGB$与$△CGD$关于点$G$对称，
$\therefore BG=DG$，$AG=CG$.
$\because AF=CE$，
$\therefore AF-AG=CE-CG$. $\therefore FG=EG$.
又$∠ BGF=∠ DGE$，
$\therefore △BGF≌ △DGE$.
$\therefore ∠ DEG=∠ BFG$.
$\therefore ED// BF$.

【分析】
要证$ED// BF$，可通过证明两条直线被截形成的内错角相等推导，即证$∠ DEG=∠ BFG$，该结论可通过证明$△ BGF≌△ DGE$得到：首先根据中心对称的性质，可得$BG=DG$、$AG=CG$；结合已知$AF=CE$，可推出$FG=EG$；再结合对顶角$∠ BGF=∠ DGE$，即可用SAS判定两三角形全等，得到对应角相等，进而证明两直线平行。
【解析】
证明：
$\because △ AGB$与$△ CGD$关于点$G$对称，
$\therefore BG=DG$，$AG=CG$。
$\because AF=CE$，
$\therefore AF-AG=CE-CG$，即$FG=EG$。
又$\because ∠ BGF=∠ DGE$，
$\therefore △ BGF≌△ DGE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ DEG=∠ BFG$。
$\therefore ED// BF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明：$\because △ AGB$与$△ CGD$关于点$G$对称，$\therefore BG=DG$，$AG=CG$。$\because AF=CE$，$\therefore AF-AG=CE-CG$，$\therefore FG=EG$。又$∠ BGF=∠ DGE$，$\therefore △ BGF≌△ DGE$。$\therefore ∠ DEG=∠ BFG$。$\therefore ED// BF$。
【知识点】
中心对称的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了图形对称、三角形全等、平行线判定的相关知识，解题关键是利用中心对称的性质得到相等线段，为三角形全等的证明提供条件，后续结合角的关系即可判定平行，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

11. 如图28.2-10，已知菱形ABCD的顶点在方格的格点上，其中点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(-2，4)，(-4，1).该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形(顶点均在格点上).
（1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心G的坐标和点B的对应点B'的坐标；
（2）将菱形ABCD平移，使点C的对应点为点B，画出平移后的菱形.

11. （1）如图，建立平面直角坐标系，
$\therefore$ 对称中心$G$的坐标是$(0,\ -\dfrac{1}{2})$，点$B$的对应点$B'$的坐标是$(2,\ -5)$.
（2）画出平移后的菱形，如图所示.

【分析】
（1）首先根据已知点A(0,1)、B(-2,4)、C(-4,1)的坐标建立平面直角坐标系：y轴为过点A的竖直直线，x轴为过点A下方1个单位的水平直线。由于中心对称的对称中心是任意一组对应点连线的中点，先找到点A的对应点坐标，代入中点坐标公式即可求出对称中心G的坐标；再利用中点坐标公式，结合对称中心G的坐标和点B的坐标，就能求出点B的对应点B'的坐标。
（2）平移变换中所有点的平移规律一致，先根据点C(-4,1)对应点为B(-2,4)，计算出横坐标加2、纵坐标加3的平移规律，再将菱形ABCD其余三个顶点按该规律平移，顺次连接平移后的顶点即可得到平移后的菱形。
【解析】
（1）按照已知点的坐标建立平面直角坐标系，如图所示。
设对称中心为$G$，观察图形可知点$A(0,1)$的对应点为$A'(0,-2)$，根据中点坐标公式：若两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点为$(x,y)$，则$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y=\frac{y_1+y_2}{2}$。
代入$A$和$A'$的坐标，得$G$的横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}$，即$G(0,-\frac{1}{2})$。
设点$B(-2,4)$的对应点为$B'(x,y)$，由$G$是$B$和$B'$的中点可得：
$\frac{-2+x}{2}=0$，$\frac{4+y}{2}=-\frac{1}{2}$
解得$x=2$，$y=-5$，即$B'(2,-5)$。
（2）点$C(-4,1)$平移后对应点为$B(-2,4)$，平移规律为：横坐标增加$-2-(-4)=2$，纵坐标增加$4-1=3$，即向右平移2个单位，向上平移3个单位。
将点$A(0,1)$、$B(-2,4)$、$D(-2,-2)$按该规律平移，得到对应点分别为$(2,4)$、$(0,7)$、$(0,1)$，顺次连接四个对应点，即可得到平移后的菱形，如图所示。
【答案】
（1）如图，建立平面直角坐标系，
$\therefore$ 对称中心$G$的坐标是$(0,\ -\dfrac{1}{2})$，点$B$的对应点$B'$的坐标是$(2,\ -5)$.
（2）画出平移后的菱形，如图所示.
【知识点】
中心对称的性质，坐标与图形变换，平移的性质
【点评】
本题结合格点图形考查了平面直角坐标系的建立、中心对称和平移的坐标变化规律，解题的关键是熟练掌握图形变换中点的坐标的对应关系，结合格点特征可以快速验证结果的准确性。
【难度系数】
0.7