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圆是轴对称图形，
任何一条直径所在直线
都是圆的对称轴。答案
1. 任何一条直径所在直线
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形及对称轴的定义：对称轴是使图形对折后两侧完全重合的直线，而非线段。再结合圆的特征思考：将圆沿过圆心的直线对折时，两侧的半圆总能完全重合，而过圆心的直线就是直径所在的直线，且任意一条直径所在直线都满足要求，同时要注意区分“直径”（线段）和“直径所在直线”（直线），避免概念混淆。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
对圆而言，将其沿任意一条直径所在的直线对折，直线两侧的半圆可以完全重合，因此任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
注意：直径是线段，不符合对称轴是直线的要求，因此不能直接填写“直径”。
【答案】
任何一条直径所在直线
【知识点】
1. 圆的轴对称性
2. 轴对称图形概念
3. 对称轴定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分线段和直线的差异，易错点是忽略对称轴为直线，误答为“直径”，学习概念时要注意表述的严谨性。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆轴对称图形及对称轴的定义：对称轴是使图形对折后两侧完全重合的直线，而非线段。再结合圆的特征思考：将圆沿过圆心的直线对折时，两侧的半圆总能完全重合，而过圆心的直线就是直径所在的直线，且任意一条直径所在直线都满足要求，同时要注意区分“直径”（线段）和“直径所在直线”（直线），避免概念混淆。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
对圆而言，将其沿任意一条直径所在的直线对折，直线两侧的半圆可以完全重合，因此任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
注意：直径是线段，不符合对称轴是直线的要求，因此不能直接填写“直径”。
【答案】
任何一条直径所在直线
【知识点】
1. 圆的轴对称性
2. 轴对称图形概念
3. 对称轴定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分线段和直线的差异，易错点是忽略对称轴为直线，误答为“直径”，学习概念时要注意表述的严谨性。
【难度系数】
0.8
2. 垂直于弦的直径
平分
弦，并且平分弦所对的两条弧
.答案
2. 平分 两条弧
解析
【分析】
这道题考查垂径定理的基础内容，解题时只需回忆垂径定理的具体表述即可。垂径定理描述的是垂直于弦的直径的性质，先明确直径垂直于弦时对弦的作用，再明确其对弦所对的弧的作用，对应填入空缺内容即可。
【解析】
根据垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，因此第一空填“平分”，第二空填“两条弧”。
【答案】
平分；两条弧
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，考查对核心定理内容的掌握情况，相关定理是后续解决圆相关计算、证明题的基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
这道题考查垂径定理的基础内容，解题时只需回忆垂径定理的具体表述即可。垂径定理描述的是垂直于弦的直径的性质，先明确直径垂直于弦时对弦的作用，再明确其对弦所对的弧的作用，对应填入空缺内容即可。
【解析】
根据垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，因此第一空填“平分”，第二空填“两条弧”。
【答案】
平分；两条弧
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，考查对核心定理内容的掌握情况，相关定理是后续解决圆相关计算、证明题的基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
3. 平分弦（不是直径）的直径
垂直于
弦，并且平分弦所对的两条弧
。答案
3. 垂直于 两条弧
解析
【分析】
这道题考查垂径定理的推论，解题时可结合圆的性质推导理解：首先连接弦的两个端点与圆心，可得两条长度相等的半径，直径平分非直径的弦时，可得到两个全等的三角形，进而推出直径与弦的夹角为90°，即直径垂直于该弦；再结合垂径定理的延伸性质，可得到该直径同时平分弦所对的优弧和劣弧，也就是两条弧。另外要注意题干中“弦不是直径”的限制条件，若弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，不符合推论的适用场景。
【解析】
根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，因此第一个空填“垂直于”，第二个空填“两条弧”。
【答案】
垂直于 两条弧
【知识点】
1.垂径定理推论 2.圆的基本性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查核心定理的内容，解题关键是熟练掌握相关定理的内容和适用前提，避免忽略“弦不是直径”的限制条件导致概念混淆。
【难度系数】
0.9
这道题考查垂径定理的推论，解题时可结合圆的性质推导理解：首先连接弦的两个端点与圆心，可得两条长度相等的半径，直径平分非直径的弦时，可得到两个全等的三角形，进而推出直径与弦的夹角为90°，即直径垂直于该弦；再结合垂径定理的延伸性质，可得到该直径同时平分弦所对的优弧和劣弧，也就是两条弧。另外要注意题干中“弦不是直径”的限制条件，若弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，不符合推论的适用场景。
【解析】
根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，因此第一个空填“垂直于”，第二个空填“两条弧”。
【答案】
垂直于 两条弧
【知识点】
1.垂径定理推论 2.圆的基本性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查核心定理的内容，解题关键是熟练掌握相关定理的内容和适用前提，避免忽略“弦不是直径”的限制条件导致概念混淆。
【难度系数】
0.9
1. 下列说法正确的是（
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
D
）.A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的应用，解题时需先明确垂径定理及各推论的限制条件，再逐一分析每个选项是否满足定理的全部条件，从而判断正误。首先回忆核心内容：垂径定理是垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；其推论中要特别注意“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”这一限制，即若弦是直径时结论不成立，同时要区分定理中的条件和结论，避免逻辑颠倒。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：垂直于弦的直线必须是过圆心的（即直径），才能平分弦所对的两条弧，任意垂直于弦的直线不满足该结论，故A错误；
B选项：平分弦的直径垂直于弦的前提是“弦不是直径”，若弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，缺少前提条件，故B错误；
C选项：垂直于直径的弦只有在过圆心时才会平分直径，任意垂直于直径的弦不一定平分直径，属于混淆定理的条件和结论，故C错误；
D选项：弦不是直径，过该弦中点的直径，根据垂径定理的推论，首先该直径垂直于这条弦，因此可以平分弦所对的两条弧，符合定理要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及其推论、命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于忽略垂径定理推论中“弦不是直径”的前提条件，或是混淆定理的条件与结论，学习时要准确记忆定理的全部限制条件，不要漏记前提导致判断失误。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其推论的应用，解题时需先明确垂径定理及各推论的限制条件，再逐一分析每个选项是否满足定理的全部条件，从而判断正误。首先回忆核心内容：垂径定理是垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；其推论中要特别注意“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”这一限制，即若弦是直径时结论不成立，同时要区分定理中的条件和结论，避免逻辑颠倒。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：垂直于弦的直线必须是过圆心的（即直径），才能平分弦所对的两条弧，任意垂直于弦的直线不满足该结论，故A错误；
B选项：平分弦的直径垂直于弦的前提是“弦不是直径”，若弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，缺少前提条件，故B错误；
C选项：垂直于直径的弦只有在过圆心时才会平分直径，任意垂直于直径的弦不一定平分直径，属于混淆定理的条件和结论，故C错误；
D选项：弦不是直径，过该弦中点的直径，根据垂径定理的推论，首先该直径垂直于这条弦，因此可以平分弦所对的两条弧，符合定理要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及其推论、命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于忽略垂径定理推论中“弦不是直径”的前提条件，或是混淆定理的条件与结论，学习时要准确记忆定理的全部限制条件，不要漏记前提导致判断失误。
【难度系数】
0.7
2. 如图29.2-1，$\odot P$与$y$轴交于点$M(0, -4)$，$N(0, -10)$，圆心$P$的横坐标为$-4$，则$\odot P$的半径为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先明确MN是⊙P的弦，要求圆的半径，可结合垂径定理构造直角三角形求解：第一步先计算弦MN的长度，过圆心P作MN的垂线，根据垂径定理可得垂足是MN的中点，算出半弦长；第二步根据圆心P的横坐标求出圆心到y轴（即弦MN所在直线）的距离；第三步在构造的直角三角形中，利用勾股定理计算斜边长度，即为⊙P的半径。
【解析】
过点P作PQ⊥y轴于点Q，
∵M(0, -4)，N(0, -10)，
∴MN = |-4 - (-10)| = 6，
根据垂径定理，PQ垂直平分MN，
∴QM = MN ÷ 2 = 3，
又
∵圆心P的横坐标为-4，PQ⊥y轴，
∴PQ = |-4 - 0| = 4，
在Rt△PQM中，PM为⊙P的半径，由勾股定理得：
$PM^2 = PQ^2 + QM^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
∴PM = 5，即⊙P的半径为5。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是通过作垂线构造符合垂径定理的结构，结合坐标得到直角边长度，再用勾股定理求解半径，是圆与平面直角坐标系结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确MN是⊙P的弦，要求圆的半径，可结合垂径定理构造直角三角形求解：第一步先计算弦MN的长度，过圆心P作MN的垂线，根据垂径定理可得垂足是MN的中点，算出半弦长；第二步根据圆心P的横坐标求出圆心到y轴（即弦MN所在直线）的距离；第三步在构造的直角三角形中，利用勾股定理计算斜边长度，即为⊙P的半径。
【解析】
过点P作PQ⊥y轴于点Q，
∵M(0, -4)，N(0, -10)，
∴MN = |-4 - (-10)| = 6，
根据垂径定理，PQ垂直平分MN，
∴QM = MN ÷ 2 = 3，
又
∵圆心P的横坐标为-4，PQ⊥y轴，
∴PQ = |-4 - 0| = 4，
在Rt△PQM中，PM为⊙P的半径，由勾股定理得：
$PM^2 = PQ^2 + QM^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
∴PM = 5，即⊙P的半径为5。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是通过作垂线构造符合垂径定理的结构，结合坐标得到直角边长度，再用勾股定理求解半径，是圆与平面直角坐标系结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图29.2-2，AB是$\odot O$的直径，AB交弦CD于点E，且$CE=ED$，连接AC. 若$∠ CAB=22.5°$，$CD=8$ cm，则$\odot O$的半径为
$4\sqrt{2}$
cm.答案
3. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：1. AB是过圆心O的直径，且平分弦CD，根据垂径定理的推论可推出AB⊥CD，进而求出CE的长度；2. 已知圆周角∠CAB的度数，根据圆周角定理可求出同弧所对的圆心角∠COB的度数，得到等腰直角三角形COE；3. 最后在直角三角形COE中利用勾股定理即可求出圆的半径。
【解析】
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，且CE=ED，
∴根据垂径定理可得AB⊥CD，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$，
∵∠CAB是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理得：∠COB=2∠CAB=2×22.5°=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OE=CE=4cm，
设⊙O的半径为r，则OC=r，
在Rt△COE中，由勾股定理得：
$OC^2=CE^2+OE^2$，
即$r^2=4^2+4^2=32$，
解得$r=4\sqrt{2}$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练运用垂径定理得到垂直关系，结合圆周角定理构造特殊直角三角形，再通过勾股定理计算边长，是圆相关计算中的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：1. AB是过圆心O的直径，且平分弦CD，根据垂径定理的推论可推出AB⊥CD，进而求出CE的长度；2. 已知圆周角∠CAB的度数，根据圆周角定理可求出同弧所对的圆心角∠COB的度数，得到等腰直角三角形COE；3. 最后在直角三角形COE中利用勾股定理即可求出圆的半径。
【解析】
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，且CE=ED，
∴根据垂径定理可得AB⊥CD，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$，
∵∠CAB是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理得：∠COB=2∠CAB=2×22.5°=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OE=CE=4cm，
设⊙O的半径为r，则OC=r，
在Rt△COE中，由勾股定理得：
$OC^2=CE^2+OE^2$，
即$r^2=4^2+4^2=32$，
解得$r=4\sqrt{2}$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练运用垂径定理得到垂直关系，结合圆周角定理构造特殊直角三角形，再通过勾股定理计算边长，是圆相关计算中的常考题型。
【难度系数】
0.7
