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4. 如图29.2-3，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
$2\sqrt{3}$
。答案
4. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时可结合折叠的性质与圆的垂径定理思考：首先根据折叠的对称性，圆弧折叠后过圆心O，可知圆心O到折痕AB的距离为半径的一半；再过圆心作AB的垂线，利用垂径定理可知垂线平分AB，只需求出半弦长即可得到AB的全长；最后在构造的直角三角形中用勾股定理计算半弦长即可。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
由折叠的性质可知，圆心O到折痕AB的距离为半径的一半，已知圆的半径为2，因此$OC = 2÷2 = 1$，$OA = 2$。
在Rt△OAC中，根据勾股定理可得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
根据垂径定理，OC垂直平分AB，因此$AB = 2AC = 2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，核心是将折叠的性质与圆的垂径定理结合，通过作辅助线构造直角三角形求解弦长，是圆章节中比较常见的考法，掌握辅助线的构造规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时可结合折叠的性质与圆的垂径定理思考：首先根据折叠的对称性，圆弧折叠后过圆心O，可知圆心O到折痕AB的距离为半径的一半；再过圆心作AB的垂线，利用垂径定理可知垂线平分AB，只需求出半弦长即可得到AB的全长；最后在构造的直角三角形中用勾股定理计算半弦长即可。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
由折叠的性质可知，圆心O到折痕AB的距离为半径的一半，已知圆的半径为2，因此$OC = 2÷2 = 1$，$OA = 2$。
在Rt△OAC中，根据勾股定理可得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
根据垂径定理，OC垂直平分AB，因此$AB = 2AC = 2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，核心是将折叠的性质与圆的垂径定理结合，通过作辅助线构造直角三角形求解弦长，是圆章节中比较常见的考法，掌握辅助线的构造规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图29.2-4，$\odot O$的弦$AB⊥ CD$，垂足为$E$，$AE=3$，$BE=7$，则圆心$O$到$CD$的距离为
2
。答案
5. 2
解析
【分析】
要计算圆心O到CD的距离，我们可以利用垂径定理和矩形的性质求解。首先过圆心分别作两条垂直弦的垂线，根据垂径定理可得到AB的中点位置，再结合两条弦互相垂直的条件，可知所作的两条垂线与两条弦围成矩形，因此圆心到CD的距离等于AB中点到垂足E的线段长度，进而计算即可。
【解析】
解：过点O作$OM ⊥ AB$于点M，$OF ⊥ CD$于点F，则$OF$即为圆心O到CD的距离。
根据垂径定理，M是AB的中点。
已知$AE=3$，$BE=7$，则$AB = AE + BE = 3 + 7 = 10$，
$\therefore AM = \frac{1}{2}AB = 5$，
$\therefore EM = AM - AE = 5 - 3 = 2$。
$\because AB ⊥ CD$，$OM ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
$\therefore$ 四边形OMFE的三个内角均为直角，即四边形OMFE是矩形，
$\therefore OF = EM = 2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，通过作辅助线构造矩形将所求距离转化为易求的线段，解题核心是熟练掌握垂径定理的内容，能根据已知条件找到线段间的等量关系。
【难度系数】
0.7
要计算圆心O到CD的距离，我们可以利用垂径定理和矩形的性质求解。首先过圆心分别作两条垂直弦的垂线，根据垂径定理可得到AB的中点位置，再结合两条弦互相垂直的条件，可知所作的两条垂线与两条弦围成矩形，因此圆心到CD的距离等于AB中点到垂足E的线段长度，进而计算即可。
【解析】
解：过点O作$OM ⊥ AB$于点M，$OF ⊥ CD$于点F，则$OF$即为圆心O到CD的距离。
根据垂径定理，M是AB的中点。
已知$AE=3$，$BE=7$，则$AB = AE + BE = 3 + 7 = 10$，
$\therefore AM = \frac{1}{2}AB = 5$，
$\therefore EM = AM - AE = 5 - 3 = 2$。
$\because AB ⊥ CD$，$OM ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
$\therefore$ 四边形OMFE的三个内角均为直角，即四边形OMFE是矩形，
$\therefore OF = EM = 2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，通过作辅助线构造矩形将所求距离转化为易求的线段，解题核心是熟练掌握垂径定理的内容，能根据已知条件找到线段间的等量关系。
【难度系数】
0.7
6.已知CD是$\odot O$的一条弦，作直径AB，使$AB⊥ CD$，垂足为E.若$AB=10$，$CD=8$，则BE的长为________.
答案
6. 2或8
解析
【分析】
解题时先回忆圆的相关性质：已知直径垂直弦，首先想到垂径定理，可求出弦长的一半；再连接圆心和弦的端点得到半径，构造直角三角形，用勾股定理求出圆心到垂足的距离；最后注意垂足E的位置有两种可能（靠近点B或靠近点A），需分类讨论计算BE的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴⊙O的半径$OC=OB=5$。
∵$AB⊥CD$，$CD=8$，根据垂径定理，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$Rt△OCE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
分两种情况讨论：
①当垂足E在OB上时，$BE=OB - OE=5 - 3=2$；
②当垂足E在OA上时，$BE=OB + OE=5 + 3=8$。
综上，BE的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆的基础应用题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合，易错点是易忽略垂足的两种位置情况导致漏解，解题时需结合图形的多种可能性全面分析。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆圆的相关性质：已知直径垂直弦，首先想到垂径定理，可求出弦长的一半；再连接圆心和弦的端点得到半径，构造直角三角形，用勾股定理求出圆心到垂足的距离；最后注意垂足E的位置有两种可能（靠近点B或靠近点A），需分类讨论计算BE的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴⊙O的半径$OC=OB=5$。
∵$AB⊥CD$，$CD=8$，根据垂径定理，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$Rt△OCE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
分两种情况讨论：
①当垂足E在OB上时，$BE=OB - OE=5 - 3=2$；
②当垂足E在OA上时，$BE=OB + OE=5 + 3=8$。
综上，BE的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆的基础应用题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合，易错点是易忽略垂足的两种位置情况导致漏解，解题时需结合图形的多种可能性全面分析。
【难度系数】
0.6
7. 如图29.2-5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝2OE，若AB＝4，求CD的长。
答案
7. 解：如图，连接OC.
∵AB 是$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$，
∴$CD=2CE$.
∵$CD=2OE$,
∴$CE=OE$.
在 Rt△OCE 中, $CE^2+OE^2=2CE^2=OC^2$.
∴$2CE^2=2^2$.
∴$CE=\sqrt{2}$.
∴$CD=2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
遇到直径垂直弦的问题，首先回忆垂径定理，可得到弦被直径平分的关系。已知CD=2OE，结合垂径定理推出的CD=2CE，可进一步得到CE=OE。要求CD的长，只需先求CE的长度，此时连接半径OC构造直角三角形，利用已知的直径长度得到半径，再通过勾股定理列方程即可求出CE，最终得到CD的长度。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴由垂径定理得$CD=2CE$。
∵$CD=2OE$，
∴$CE=OE$。
已知AB=4，因此⊙O的半径$OC=\frac{1}{2}AB=2$，
在Rt△OCE中，根据勾股定理可得$CE^2+OE^2=OC^2$，
将$CE=OE$、$OC=2$代入得：$2CE^2=2^2$，
解得$CE=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负解），
因此$CD=2CE=2\sqrt{2}$。
【答案】
7. 解：如图，连接OC.
∵AB 是$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$，
∴$CD=2CE$.
∵$CD=2OE$,
∴$CE=OE$.
在 Rt△OCE 中, $CE^2+OE^2=2CE^2=OC^2$.
∴$2CE^2=2^2$.
∴$CE=\sqrt{2}$.
∴$CD=2\sqrt{2}$.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题的关键是掌握“连接半径构造直角三角形”这一常用辅助线做法，结合垂径定理将已知条件转化到直角三角形中，利用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直弦的问题，首先回忆垂径定理，可得到弦被直径平分的关系。已知CD=2OE，结合垂径定理推出的CD=2CE，可进一步得到CE=OE。要求CD的长，只需先求CE的长度，此时连接半径OC构造直角三角形，利用已知的直径长度得到半径，再通过勾股定理列方程即可求出CE，最终得到CD的长度。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴由垂径定理得$CD=2CE$。
∵$CD=2OE$，
∴$CE=OE$。
已知AB=4，因此⊙O的半径$OC=\frac{1}{2}AB=2$，
在Rt△OCE中，根据勾股定理可得$CE^2+OE^2=OC^2$，
将$CE=OE$、$OC=2$代入得：$2CE^2=2^2$，
解得$CE=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负解），
因此$CD=2CE=2\sqrt{2}$。
【答案】
7. 解：如图，连接OC.
∵AB 是$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$，
∴$CD=2CE$.
∵$CD=2OE$,
∴$CE=OE$.
在 Rt△OCE 中, $CE^2+OE^2=2CE^2=OC^2$.
∴$2CE^2=2^2$.
∴$CE=\sqrt{2}$.
∴$CD=2\sqrt{2}$.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题的关键是掌握“连接半径构造直角三角形”这一常用辅助线做法，结合垂径定理将已知条件转化到直角三角形中，利用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
8. 如图29.2-6，$\odot O$的半径$OA$与弦$BC$交于点$D$. 若$OD=3$，$AD=2$，$BD=CD$，则$BC$的长为
8
.答案
8. 8
解析
【分析】
首先根据已知条件BD=CD，可知点D是弦BC的中点，又因为OA是过圆心的线段，根据垂径定理的推论可推出OA垂直于BC，即△ODB为直角三角形。接下来先求出圆的半径OB的长度，再用勾股定理算出BD的长，最后由BC=2BD即可求出BC的长度。
【解析】
∵ OA是⊙O的半径，OD=3，AD=2
∴ 半径OB=OA=OD+AD=3+2=5
又
∵ BD=CD，且OA过圆心O
根据垂径定理的推论可得：OA⊥BC，即∠ODB=90°
在Rt△ODB中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$
∵ D是BC的中点
∴ BC=2BD=2×4=8
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是通过垂径定理得到垂直关系，将问题转化为直角三角形的边长计算，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件BD=CD，可知点D是弦BC的中点，又因为OA是过圆心的线段，根据垂径定理的推论可推出OA垂直于BC，即△ODB为直角三角形。接下来先求出圆的半径OB的长度，再用勾股定理算出BD的长，最后由BC=2BD即可求出BC的长度。
【解析】
∵ OA是⊙O的半径，OD=3，AD=2
∴ 半径OB=OA=OD+AD=3+2=5
又
∵ BD=CD，且OA过圆心O
根据垂径定理的推论可得：OA⊥BC，即∠ODB=90°
在Rt△ODB中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$
∵ D是BC的中点
∴ BC=2BD=2×4=8
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是通过垂径定理得到垂直关系，将问题转化为直角三角形的边长计算，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 已知点P是$\odot O$内一点，且$OP=2\ \mathrm{cm}$，若$\odot O$的半径为$3\ \mathrm{cm}$，则过点P的最短的弦长为
$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
。答案
9. $2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确圆内过一点的最短弦的特征：过圆内一点的所有弦中，与过该点的半径（或直径）垂直的弦最短。这是因为弦长由圆心到弦的距离决定，圆心到弦的距离越大，弦长越短，而过点P的弦中，圆心到弦的最大距离就是OP的长度，此时弦与OP垂直，对应弦长最短。确定最短弦的位置后，结合垂径定理和勾股定理即可计算出弦长。
【解析】
过点P作弦AB⊥OP，此时AB为过点P的最短弦，连接OA。
∵ OA是⊙O的半径，
∴ OA=3 cm，
又
∵ OP⊥AB，根据垂径定理，P为AB的中点，即AB=2AP，
在Rt△OPA中，由勾股定理可得：
$AP=\sqrt{OA^2 - OP^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
∴ 最短弦长$AB=2AP=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆内弦长性质
【点评】
本题是圆相关计算的典型题型，核心是理解过圆内一点最短弦的判定逻辑，熟练运用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确圆内过一点的最短弦的特征：过圆内一点的所有弦中，与过该点的半径（或直径）垂直的弦最短。这是因为弦长由圆心到弦的距离决定，圆心到弦的距离越大，弦长越短，而过点P的弦中，圆心到弦的最大距离就是OP的长度，此时弦与OP垂直，对应弦长最短。确定最短弦的位置后，结合垂径定理和勾股定理即可计算出弦长。
【解析】
过点P作弦AB⊥OP，此时AB为过点P的最短弦，连接OA。
∵ OA是⊙O的半径，
∴ OA=3 cm，
又
∵ OP⊥AB，根据垂径定理，P为AB的中点，即AB=2AP，
在Rt△OPA中，由勾股定理可得：
$AP=\sqrt{OA^2 - OP^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
∴ 最短弦长$AB=2AP=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆内弦长性质
【点评】
本题是圆相关计算的典型题型，核心是理解过圆内一点最短弦的判定逻辑，熟练运用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
