10. 筒车工作时盛水桶运行路线示意图如图29.2-7所示，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心、半径为5 m的圆，且圆心在水面上方. 若圆被水面截得的弦AB长为8 m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度.

图29.2-7

10. 解：如图，过点O作$OD⊥ AB$，垂足为E，交$\odot O$于点D.

$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m}).$
在$\mathrm{Rt}△ AEO$中，由勾股定理，得$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{m}),$
$\therefore ED=OD-OE=5-3=2(\mathrm{m}).$
故筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2 m.

【分析】
要计算盛水桶在水面以下的最大深度，实际是求水面截圆所得弦AB对应的劣弧上的点到AB的最大距离。解题思路如下：第一步，过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理，该垂线会平分弦AB，同时与劣弧AB交于最低点，该最低点到AB的距离就是所求的最大深度；第二步，在构造出的直角三角形中，结合圆的半径与弦长的一半，用勾股定理求出圆心到AB的距离；第三步，用圆的半径减去圆心到AB的距离，即可得到水面以下的最大深度。
【解析】
过点O作$OD⊥ AB$，垂足为E，交$\odot O$于点D。
由垂径定理可得：$AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m})$。
已知$\odot O$的半径$OA=OD=5\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△AEO$中，根据勾股定理：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{m})$。
因此盛水桶在水面以下的最大深度为$ED=OD-OE=5-3=2(\mathrm{m})$。
【答案】

筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2 m。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、与圆有关的计算
【点评】
本题属于几何知识的实际应用类问题，解题核心是通过作垂直于弦的直径这一常见辅助线，将实际问题转化为圆内线段长度求解的几何问题，结合基础定理即可解决，能有效考查学生对基础知识的应用能力和建模能力。
【难度系数】
0.7

11. 如图29.2-8，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，求BC的长。 图29.2-8

11. 解：如图，延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BD，垂足为E.

∴BC=2BE.
∵∠A=∠B=60°,
∴∠ADB=60°.
∴AD=BD=AB=12.
∴OD=AD-AO=12-8=4.
∵∠ADB=60°, OE⊥BC,
∴DE=1/2OD=2.
∴BE=BD-DE=12-2=10.
∴BC=2BE=20.

【分析】
解题时先观察已知条件，∠A和∠B都是60°，首先想到构造等边三角形：延长AO交BC于点D，可证△ABD是等边三角形，从而得到AD、BD的长度，进而算出OD的长度。要求弦BC的长，根据垂径定理，过圆心O作OE⊥BC，可得BC=2BE，因此只需求出BE的长度即可。再在Rt△ODE中，利用含30°角的直角三角形的性质求出DE的长度，用BD减去DE就得到BE的长度，最后乘2就是BC的长。
【解析】
解：如图，延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BD，垂足为E。

根据垂径定理可得BC=2BE。
∵∠A=∠B=60°，
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AD=BD=AB=12。
∴OD=AD-AO=12-8=4。
∵∠ADB=60°，OE⊥BC，
∴在Rt△ODE中，∠DOE=30°，
∴DE=1/2OD=2。
∴BE=BD-DE=12-2=10，
∴BC=2BE=2×10=20。
【答案】
BC的长为20。

【知识点】
等边三角形的判定与性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的典型习题，解题的关键是合理构造辅助线，将已知条件转化到等边三角形和直角三角形中求解，能有效考查几何性质的综合运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6