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10. 如图30-10，△ABC的内切圆⊙O与BC，AB，AC分别相切于点D，E，F，∠A=90°，BD=3，CD=2，求$S_{△ ABC}$. 
答案
10. 解：设 $AE = AF = x$，依题意，得 $BE = BD=3$，$CD=CF=2$，
∴$AB=x+3$，$AC=x+2$，
$BC=BD+CD=5$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，根据勾股定理，得 $(x+3)^2+(x+2)^2=5^2$，整理，得 $x^2+5x-6=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-6$（不合题意，舍去）.
∴$AE=AF=1$.
∴$AB=4$，$AC=3$.
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · AC=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$.
∴$AB=x+3$，$AC=x+2$，
$BC=BD+CD=5$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，根据勾股定理，得 $(x+3)^2+(x+2)^2=5^2$，整理，得 $x^2+5x-6=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-6$（不合题意，舍去）.
∴$AE=AF=1$.
∴$AB=4$，$AC=3$.
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · AC=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$.
解析
【分析】
本题是直角三角形与内切圆结合的求面积问题，解题思路如下：第一步，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可得BE=BD，CF=CD，AE=AF；第二步，设AE=AF=x，即可用含x的式子表示出AB、AC的长度，同时由BD+CD可直接得到BC的长度；第三步，因为△ABC是直角三角形，可根据勾股定理列关于x的方程，求解得到x的值，即可得到两条直角边AB、AC的长度；第四步，用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设 $AE = AF = x$，根据切线长定理可得：$BE = BD=3$，$CD=CF=2$，
∴$AB=AE+BE=x+3$，$AC=AF+CF=x+2$，
$BC=BD+CD=3+2=5$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，∠A=90°，根据勾股定理，得 $AB^2+AC^2=BC^2$，即 $(x+3)^2+(x+2)^2=5^2$，
整理，得 $x^2+5x-6=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-6$（线段长度不能为负，不合题意，舍去）.
∴$AE=AF=1$，
∴$AB=1+3=4$，$AC=1+2=3$.
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · AC=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$.
【答案】
6
【知识点】
切线长定理；勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题将切线长定理与勾股定理相结合，通过设未知数列方程的方法求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，解题的关键是熟练掌握切线长定理得到各线段之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形与内切圆结合的求面积问题，解题思路如下：第一步，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可得BE=BD，CF=CD，AE=AF；第二步，设AE=AF=x，即可用含x的式子表示出AB、AC的长度，同时由BD+CD可直接得到BC的长度；第三步，因为△ABC是直角三角形，可根据勾股定理列关于x的方程，求解得到x的值，即可得到两条直角边AB、AC的长度；第四步，用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设 $AE = AF = x$，根据切线长定理可得：$BE = BD=3$，$CD=CF=2$，
∴$AB=AE+BE=x+3$，$AC=AF+CF=x+2$，
$BC=BD+CD=3+2=5$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，∠A=90°，根据勾股定理，得 $AB^2+AC^2=BC^2$，即 $(x+3)^2+(x+2)^2=5^2$，
整理，得 $x^2+5x-6=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-6$（线段长度不能为负，不合题意，舍去）.
∴$AE=AF=1$，
∴$AB=1+3=4$，$AC=1+2=3$.
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · AC=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$.
【答案】
6
【知识点】
切线长定理；勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题将切线长定理与勾股定理相结合，通过设未知数列方程的方法求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，解题的关键是熟练掌握切线长定理得到各线段之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
11.（山东模拟）如图30-11，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，P为$\odot O$外一点，$OP// AC$，且$∠ OBP=90°$，连接PC.
（1）求证：PC与$\odot O$相切；
（2）若$AO=3$，$OP=5$，求AC的长.
（1）求证：PC与$\odot O$相切；
（2）若$AO=3$，$OP=5$，求AC的长.
答案
11. （1）证明：如图，连接OC。
∵$OC=OA$，
∴$∠OAC=∠OCA$.
∵$OP// AC$，
∴$∠OAC=∠BOP$，$∠OCA=∠COP$.
∴$∠COP=∠BOP$.
∵$OC=OB$，$OP=OP$，
∴$△ COP ≌ △ BOP$.
∴$∠OCP=∠OBP=90°$.
∴$OC⊥ PC$.
∴PC与$\odot O$相切.
（2）解：如图，连接OC，连接BC交OP于点D。
∵$△ COP ≌ △ BOP$，
∴$PC=PB$，$OB=OC$.
∴OP 垂直平分 BC.
在 $\mathrm{Rt}△ BOP$ 中，
$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∵$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB · BP=\frac{1}{2}OP · BD$，
∴$BD=\frac{OB · BP}{OP}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}$.
∴$BC=2BD=\frac{24}{5}$.
∵AB 是$\odot O$的直径，
∴$AB=2OA=6$，$∠ACB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$.
解析
【分析】
（1）要证明PC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径OC垂直于PC，因此先连接辅助线OC。结合等腰$△ OAC$的底角相等、$OP// AC$的性质，可推出$∠ COP=∠ BOP$，再证明$△ COP$和$△ BOP$全等，即可得到$∠ OCP=90°$，从而完成切线的证明。
（2）求AC的长时，因为AB是直径，根据圆周角定理可知$∠ ACB=90°$，在$Rt△ ABC$中已知AB长度，只需要求出BC的长，即可用勾股定理计算AC。BC的长度可通过OP垂直平分BC的性质，结合$Rt△ BOP$的面积法先求出BD，再得到$BC=2BD$，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
（1）证明：如图，连接OC。
∵$OC=OA$，
∴$∠ OAC=∠ OCA$。
∵$OP// AC$，
∴$∠ OAC=∠ BOP$，$∠ OCA=∠ COP$，
∴$∠ COP=∠ BOP$。
在$△ COP$和$△ BOP$中：
$\begin{cases}OC=OB \\∠ COP=∠ BOP \\OP=OP\end{cases}$
∴$△ COP≌△ BOP(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ OCP=∠ OBP=90°$，即$OC⊥ PC$。
又
∵OC是$\odot O$的半径，
∴PC与$\odot O$相切。
（2）解：如图，连接OC，连接BC交OP于点D。
∵$△ COP≌△ BOP$，
∴$PC=PB$，
又
∵$OC=OB$，
∴OP垂直平分BC，即$BD⊥ OP$，D为BC中点。
在$\mathrm{Rt}△ BOP$中，$OB=AO=3$，$OP=5$，
由勾股定理得：$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB·BP=\frac{1}{2}OP·BD$，
∴$BD=\frac{OB·BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴$BC=2BD=\frac{24}{5}$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，$AB=2AO=6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$。
【答案】
（1）PC与$\odot O$相切，证明见上述解析；
（2）AC的长为$\boldsymbol{\frac{18}{5}}$。
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是掌握圆的相关性质和常见辅助线的作法：证明切线时优先考虑连接半径证垂直，计算线段长度时可结合全等、面积法、勾股定理转化求解，考查了几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明PC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径OC垂直于PC，因此先连接辅助线OC。结合等腰$△ OAC$的底角相等、$OP// AC$的性质，可推出$∠ COP=∠ BOP$，再证明$△ COP$和$△ BOP$全等，即可得到$∠ OCP=90°$，从而完成切线的证明。
（2）求AC的长时，因为AB是直径，根据圆周角定理可知$∠ ACB=90°$，在$Rt△ ABC$中已知AB长度，只需要求出BC的长，即可用勾股定理计算AC。BC的长度可通过OP垂直平分BC的性质，结合$Rt△ BOP$的面积法先求出BD，再得到$BC=2BD$，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
（1）证明：如图，连接OC。
∵$OC=OA$，
∴$∠ OAC=∠ OCA$。
∵$OP// AC$，
∴$∠ OAC=∠ BOP$，$∠ OCA=∠ COP$，
∴$∠ COP=∠ BOP$。
在$△ COP$和$△ BOP$中：
$\begin{cases}OC=OB \\∠ COP=∠ BOP \\OP=OP\end{cases}$
∴$△ COP≌△ BOP(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ OCP=∠ OBP=90°$，即$OC⊥ PC$。
又
∵OC是$\odot O$的半径，
∴PC与$\odot O$相切。
（2）解：如图，连接OC，连接BC交OP于点D。
∵$△ COP≌△ BOP$，
∴$PC=PB$，
又
∵$OC=OB$，
∴OP垂直平分BC，即$BD⊥ OP$，D为BC中点。
在$\mathrm{Rt}△ BOP$中，$OB=AO=3$，$OP=5$，
由勾股定理得：$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB·BP=\frac{1}{2}OP·BD$，
∴$BD=\frac{OB·BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴$BC=2BD=\frac{24}{5}$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，$AB=2AO=6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$。
【答案】
（1）PC与$\odot O$相切，证明见上述解析；
（2）AC的长为$\boldsymbol{\frac{18}{5}}$。
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是掌握圆的相关性质和常见辅助线的作法：证明切线时优先考虑连接半径证垂直，计算线段长度时可结合全等、面积法、勾股定理转化求解，考查了几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12.【提出问题】（1）如图30-12①，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AD ⊥ BC$，垂足为D。若$AB = 15$，$AC = 8$，则AD的长为
【解决问题】（2）如图30-12②，某工厂剩余一块形如$△ ABC$的板材，其中$AB = 100 \ \mathrm{cm}$，$BC = 160 \ \mathrm{cm}$，$AC = 140 \ \mathrm{cm}$。为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件。你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出$\odot O$的半径；若不可以，请说明理由。
图30-12
$\frac{120}{17}$
。【解决问题】（2）如图30-12②，某工厂剩余一块形如$△ ABC$的板材，其中$AB = 100 \ \mathrm{cm}$，$BC = 160 \ \mathrm{cm}$，$AC = 140 \ \mathrm{cm}$。为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件。你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出$\odot O$的半径；若不可以，请说明理由。
图30-12
答案
12. 解：（1）$\frac{120}{17}$
（2）可以.
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
∴所求圆的圆心是$△ ABC$的内心.
如图，作$∠ABC$ 和 $∠ACB$ 的平分线 BE，CF 交于点 O，则点 O 就是可裁出的最大圆形部件的圆心 O 的位置.
过点 O 作 $OH⊥ BC$，$OP⊥ AC$，$OQ⊥ AB$，垂足分别为 H，P，Q，连接 OA，OB，OC，过点 A 作 $AM⊥ BC$，垂足为 M.
设 $BM=x$ cm，$\odot O$ 的半径为 $R$ cm.
∵$AB=100$ cm，$BC=160$ cm，$AC=140$ cm，
∴$CM=(160-x)$cm.
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中，
$AM^2=AB^2-BM^2=100^2-x^2$，
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中，
$AM^2=AC^2-CM^2=140^2-(160-x)^2$.
∴$100^2-x^2=140^2-(160-x)^2$.
解得 $x=50$.
∴$AM=\sqrt{100^2-x^2}=50\sqrt{3}$(cm).
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AM=\frac{1}{2} × 160 × 50\sqrt{3}=4000\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$.
∵点 O 为$△ ABC$的内心，
∴$OH=OP=OQ=R$ cm.
又 $S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OCA}+S_{△ OAB}$，
∴$\frac{1}{2}BC · OH+\frac{1}{2}AC · OP+\frac{1}{2}AB · OQ=4000\sqrt{3}$，
即 $\frac{1}{2} × 160R + \frac{1}{2} × 140R + \frac{1}{2} × 100R = 4000\sqrt{3}$，解得 $R=20\sqrt{3}$，
即$\odot O$ 的半径为 $20\sqrt{3}$ cm.
解析
【分析】
（1）第一问先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长度，再根据直角三角形面积的两种计算方式：“两直角边乘积的一半”和“斜边×斜边上的高的一半”列等式，即可求出AD的长度。
（2）第二问首先明确三角形内面积最大的圆形是三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形的内心，即三个内角角平分线的交点。求内切圆半径时，先过点A作BC边上的高AM，利用勾股定理列方程求出BM的长度，进而求出AM的长度得到△ABC的总面积；再根据内心到三角形三边距离相等（都等于内切圆半径）的性质，将△ABC的面积拆分为三个以内切圆半径为高的小三角形的面积和，列等式即可求出内切圆半径。
【解析】
（1）在$Rt△ABC$中，$∠BAC=90°$，$AB=15$，$AC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17$
∵三角形面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×15×8=\frac{1}{2}×17×AD$
解得$AD=\frac{120}{17}$。
（2）可以裁出最大的圆形部件，该圆为$△ABC$的内切圆，求解过程如下：
作$∠ABC$ 和 $∠ACB$ 的平分线 BE，CF 交于点 O，该点即为内切圆的圆心。
过点 O 作 $OH⊥ BC$，$OP⊥ AC$，$OQ⊥ AB$，垂足分别为 H，P，Q，连接 OA，OB，OC，过点 A 作 $AM⊥ BC$，垂足为 M。
设 $BM=x$ cm，$\odot O$ 的半径为 $R$ cm，则$CM=(160-x)$cm。
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中，由勾股定理得：$AM^2=AB^2-BM^2=100^2-x^2$，
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中，由勾股定理得：$AM^2=AC^2-CM^2=140^2-(160-x)^2$，
联立等式得：$100^2-x^2=140^2-(160-x)^2$，
解得 $x=50$。
代入得$AM=\sqrt{100^2-50^2}=50\sqrt{3}$(cm)，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AM=\frac{1}{2} × 160 × 50\sqrt{3}=4000\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$。
∵点O为$△ABC$的内心，
∴$OH=OP=OQ=R$，
又
∵$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OCA}+S_{△ OAB}$，
代入得：$\frac{1}{2} × 160R + \frac{1}{2} × 140R + \frac{1}{2} × 100R = 4000\sqrt{3}$，
化简得$200R=4000\sqrt{3}$，解得$R=20\sqrt{3}$ cm。
【答案】
（1）$\frac{120}{17}$
（2）可以，圆心O是$△ABC$的两个内角角平分线的交点，$\odot O$的半径为$20\sqrt{3}$ cm。
【知识点】
等面积法、三角形内心性质、勾股定理
【点评】
本题分为基础计算和实际应用两部分，既考查了直角三角形斜边上高的基础求法，也结合场景考查了三角形内切圆的相关知识，解题过程需要灵活运用勾股定理和面积拆分的思路，兼顾了基础知识点掌握和综合应用能力的考察。
【难度系数】
0.65
（1）第一问先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长度，再根据直角三角形面积的两种计算方式：“两直角边乘积的一半”和“斜边×斜边上的高的一半”列等式，即可求出AD的长度。
（2）第二问首先明确三角形内面积最大的圆形是三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形的内心，即三个内角角平分线的交点。求内切圆半径时，先过点A作BC边上的高AM，利用勾股定理列方程求出BM的长度，进而求出AM的长度得到△ABC的总面积；再根据内心到三角形三边距离相等（都等于内切圆半径）的性质，将△ABC的面积拆分为三个以内切圆半径为高的小三角形的面积和，列等式即可求出内切圆半径。
【解析】
（1）在$Rt△ABC$中，$∠BAC=90°$，$AB=15$，$AC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17$
∵三角形面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×15×8=\frac{1}{2}×17×AD$
解得$AD=\frac{120}{17}$。
（2）可以裁出最大的圆形部件，该圆为$△ABC$的内切圆，求解过程如下：
作$∠ABC$ 和 $∠ACB$ 的平分线 BE，CF 交于点 O，该点即为内切圆的圆心。
过点 O 作 $OH⊥ BC$，$OP⊥ AC$，$OQ⊥ AB$，垂足分别为 H，P，Q，连接 OA，OB，OC，过点 A 作 $AM⊥ BC$，垂足为 M。
设 $BM=x$ cm，$\odot O$ 的半径为 $R$ cm，则$CM=(160-x)$cm。
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中，由勾股定理得：$AM^2=AB^2-BM^2=100^2-x^2$，
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中，由勾股定理得：$AM^2=AC^2-CM^2=140^2-(160-x)^2$，
联立等式得：$100^2-x^2=140^2-(160-x)^2$，
解得 $x=50$。
代入得$AM=\sqrt{100^2-50^2}=50\sqrt{3}$(cm)，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AM=\frac{1}{2} × 160 × 50\sqrt{3}=4000\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$。
∵点O为$△ABC$的内心，
∴$OH=OP=OQ=R$，
又
∵$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OCA}+S_{△ OAB}$，
代入得：$\frac{1}{2} × 160R + \frac{1}{2} × 140R + \frac{1}{2} × 100R = 4000\sqrt{3}$，
化简得$200R=4000\sqrt{3}$，解得$R=20\sqrt{3}$ cm。
【答案】
（1）$\frac{120}{17}$
（2）可以，圆心O是$△ABC$的两个内角角平分线的交点，$\odot O$的半径为$20\sqrt{3}$ cm。
【知识点】
等面积法、三角形内心性质、勾股定理
【点评】
本题分为基础计算和实际应用两部分，既考查了直角三角形斜边上高的基础求法，也结合场景考查了三角形内切圆的相关知识，解题过程需要灵活运用勾股定理和面积拆分的思路，兼顾了基础知识点掌握和综合应用能力的考察。
【难度系数】
0.65
