1. 在平面直角坐标系中，以点$(-3,4)$为圆心，半径为4的圆一定（）.

A.与$x$轴相切，与$y$轴相切
B.与$x$轴相切，与$y$轴相交
C.与$x$轴相交，与$y$轴相切
D.与$x$轴相交，与$y$轴相交

1. B

【分析】
要判断圆与x轴、y轴的位置关系，需用到直线与圆的位置关系判定方法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，若d=r则直线与圆相切，若d＜r则直线与圆相交，若d＞r则直线与圆相离。首先明确：点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是该点横坐标的绝对值。我们先算出圆心到x轴、y轴的距离，再分别和半径比较大小，即可判断位置关系。
【解析】
已知圆心坐标为$(-3,4)$，圆的半径$r=4$。
1. 判断圆与x轴的位置关系：
圆心到x轴的距离$d_1=|4|=4$，因为$d_1=r$，所以该圆与x轴相切。
2. 判断圆与y轴的位置关系：
圆心到y轴的距离$d_2=|-3|=3$，因为$d_2＜r$，所以该圆与y轴相交。
综上，圆与x轴相切，与y轴相交，故选B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握直线与圆位置关系的判断依据，易错点是容易混淆圆心到x轴、y轴的距离对应的是纵坐标还是横坐标的绝对值，掌握规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8

2. 如图30-4，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，点M在AB上，则$∠ CME$的度数为（）。

A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$


图30-4
图30-5

2. D

【分析】
解题时先明确正六边形内接于圆的性质：正六边形的6个顶点将圆周平分为6等份，每份弧的度数为60°；再结合圆周角定理，先求出∠CME所对的弧的度数，再计算角的度数即可。
【解析】
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴$\odot O$被正六边形的6个顶点六等分，每段劣弧的度数为$\frac{360°}{6}=60°$，
∴劣弧$\overset{\frown}{CDE}$的度数为$60° × 2=120°$，
∵$∠ CME$是$\overset{\frown}{CDE}$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，
∴$∠ CME=\frac{1}{2}× 120°=60°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形和圆；圆周角定理
【点评】
本题重点考查正六边形的性质及圆周角定理的应用，解题核心是准确找到所求圆周角对应的弧的度数，掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图30-5，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ ADC=90°$，$DC=BC$，直线EA与$\odot O$相切于点A.若$∠ BCD=128°$，则$∠ DAE$的度数为（）.

A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$

3. C

【分析】
解题时先从已知条件出发，第一步利用圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数；第二步由∠ADC=90°结合圆周角定理的推论得出AC是直径，再根据等弦对等弧、等弧对等圆周角，求出∠DAC的度数；第三步利用切线的性质得到EA与AC垂直，最后通过角度和差关系求出∠DAE的度数即可。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=128°$，代入得$∠ BAD=180° - 128°=52°$。
2. 因为$∠ ADC=90°$，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知AC是$\odot O$的直径。
又因为$DC=BC$，同圆中相等的弦所对的弧相等，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ BAC=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×52°=26°$。
3. 因为直线EA与$\odot O$相切于点A，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以$EA⊥ AC$，即$∠ EAC=90°$。
因此$∠ DAE=∠ EAC - ∠ DAC=90° - 26°=64°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的基础性质，解题的关键是熟练掌握相关定理，梳理清楚各角度之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

4.（四川模拟）如图30-6，EA，ED是$\odot O$的切线，切点为A，D，点B，C在$\odot O$上. 若$∠ BAE+∠ BCD=237°$，则$∠ E$的度数为（）.

A.$56°$
B.$60°$
C.$66°$
D.$70°$

图30-6 图30-7 图30-8 图30-9

4. C

【分析】
解题可按以下思路逐步推导：首先想到圆内接四边形对角互补的性质，可得到∠BAD与∠BCD的和为180°；再将该结论与已知的∠BAE+∠BCD=237°作差，就能求出∠EAD的度数；接着根据切线长定理可知EA=ED，即△EAD是等腰三角形，两底角相等；最后结合三角形内角和定理即可算出∠E的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补）
又
∵∠BAE + ∠BCD = 237°
∴两式相减得：∠BAE - ∠BAD = 237° - 180° = 57°，即∠EAD = 57°
∵EA，ED是⊙O的切线
∴EA = ED（切线长定理）
∴∠EDA = ∠EAD = 57°
在△EAD中，由三角形内角和为180°得：
∠E = 180° - ∠EAD - ∠EDA = 180° - 57° - 57° = 66°
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质、切线长定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质的综合应用题，解题核心是通过圆内接四边形的性质快速得到等腰三角形的底角度数，要求能熟练关联不同知识点的应用场景。
【难度系数】
0.65

5. 如图30-7，$△ ABC$的内切圆$\odot I$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$. 若$\odot I$的半径为$r$，$∠ A=α$，则$BF+CE-BC$的值和$∠ FDE$的大小分别为（）.

A.$2r$，$90°-α$
B.$0$，$90°-α$
C.$2r$，$90°-\frac{α}{2}$
D.$0$，$90°-\frac{α}{2}$

5. D

【分析】
本题需要求解两个结果，可分步思考：
1. 求线段和差BF+CE-BC的值：看到三角形内切圆与各边相切，首先想到切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线长度相等，将BF、CE、BC用相等的切线长替换，即可化简计算结果，先排除不符合的选项。
2. 求∠FDE的大小：∠FDE是圆周角，根据圆周角定理，需先求它所对弧对应的圆心角，因此连接IF、IE，利用切线的性质（切线垂直于过切点的半径）得到两个直角，再通过四边形内角和求出圆心角∠FIE，最后根据圆周角定理计算∠FDE即可。
【解析】
1. 计算BF+CE-BC的值：
根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长相等，可得：
BF=BD，CE=CD，
∴BF+CE=BD+CD，
又
∵BD+CD=BC，
∴BF+CE-BC=BC-BC=0。
2. 计算∠FDE的大小：
连接IF、IE，
∵AB、AC分别是⊙I的切线，F、E为切点，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，即∠AFI=∠AEI=90°，
在四边形AFIE中，内角和为360°，已知∠A=α，
∴∠FIE=360°-∠AFI-∠AEI-∠A=360°-90°-90°-α=180°-α，
∵∠FDE是弧FE所对的圆周角，∠FIE是弧FE所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠FDE=½∠FIE=½(180°-α)=90°-½α。
综上，BF+CE-BC=0，∠FDE=90°-½α，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是三角形内切圆的常考题，解题核心是熟练运用切线相关定理，通过切线长定理简化线段运算，通过作辅助线连接圆心和切点，结合圆周角定理求解角度，整体解题思路清晰，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7

6. 如果一个正多边形的中心角是$20°$，那么这个正多边形的边数为。

6. 18

【分析】
解题时首先回忆正多边形中心角的相关性质：任意正多边形的所有中心角之和为周角360°，且正多边形的每个中心角大小相等，边数与中心角的个数相等。因此要求正多边形的边数，只需用周角360°除以单个中心角的度数即可，直接套用对应关系计算即可。
【解析】
解：
∵正多边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角的度数相等，正多边形的边数等于中心角的个数，
∴设该正多边形的边数为$n$，可得公式：$\mathrm{每个中心角的度数}=\frac{360°}{n}$
已知中心角为$20°$，代入公式计算得：
$n=\frac{360°}{20°}=18$
【答案】
18
【知识点】
正多边形的性质、中心角计算
【点评】
本题属于基础题型，考查正多边形中心角和边数的对应关系，解题核心是牢记正多边形中心角总和为360°的性质，只要掌握该知识点就能快速得出结果，是正多边形相关考点中的基础必掌握内容。
【难度系数】
0.9

7. 如图30-8，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，若$∠ APB=60°$，$PO=5$，则直径AC的长是。

7. 5

【分析】
解题时先回忆圆的切线相关性质：首先，切线垂直于过切点的半径；其次，从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。我们可以先连接OA构造直角三角形，结合已知的∠APB=60°推出直角三角形内的特殊角，再利用直角三角形30°角的性质求出半径，最后计算直径长度。
【解析】
连接OA，
∵PA是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
∵PA、PB是$\odot O$的切线，$∠ APB=60°$，
∴PO平分$∠ APB$，即$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$。
在$Rt△ OAP$中，$∠ APO=30°$，斜边$PO=5$，
∴$OA=\frac{1}{2}PO=\frac{5}{2}$。
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$AC=2OA=2×\frac{5}{2}=5$。
【答案】
5
【知识点】
切线的性质；切线长定理；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，结合切线相关性质即可求出结果，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

8.（青海模拟）如图30-9，四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形，若$AB=9$，$CD=15$，则四边形ABCD的周长为。

8. 48

【分析】
看到题目给出四边形是圆的外切四边形，首先回忆圆外切四边形的核心性质：圆外切四边形的两组对边之和相等。已知AB和CD是一组对边，先计算这组对边的和，再根据性质得到另一组对边的和，两组对边和相加就是四边形的周长，这样就能快速算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形
∴根据圆外切四边形的性质可得：两组对边之和相等，即$AB + CD = BC + AD$
已知$AB=9$，$CD=15$，代入得：
$AB + CD = 9 + 15 = 24$
∴$BC + AD = 24$
则四边形ABCD的周长为：
$AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD) = 24 + 24 = 48$
【答案】
48
【知识点】
1. 圆外切四边形的性质
2. 四边形周长计算
【点评】
本题是基础题，主要考查圆外切四边形性质的直接应用，解题的关键是牢记圆外切四边形两组对边和相等的性质，代入数据即可快速求解。
【难度系数】
0.8

9. 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是。

9. 36°或108°

【分析】
解题首先要明确圆内接正五边形的基础角度，再结合角的顶点位置分类讨论：第一步先计算正五边形的内角、外角大小；第二步分两种情况分析：①角的顶点在圆上，恰好为正五边形的顶点，此时角就是正五边形的内角；②角的顶点在圆外，角的两边为圆的两条割线，分别截得正五边形的边，借助三角形内角和计算角度，两种情况均符合题设要求，不要漏解。
【解析】
首先计算正五边形的基础角度：
圆内接正五边形的每个内角为 $\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，每个外角为 $180°-108°=72°$。
分两种情况讨论：
1. 角的顶点在圆上，为正五边形的一个顶点：此时角的两条边是正五边形的两条邻边，也就是圆在角两边上截得的弦，两边各有2个公共点（顶点+弦的另一个端点），满足题设，该角大小等于正五边形的内角，为$108°$。
2. 角的顶点在圆外：设正五边形为$ABCDE$，延长边$AB$和$DC$交于点$P$，此时边$PA$截圆得到的弦$AB$、边$PD$截圆得到的弦$CD$都是正五边形的边，满足题设。在$△ PBC$中，$∠ PBC=∠ PCB=72°$，因此$∠ P=180°-72°×2=36°$。
综上，这个角的大小为$36°$或$108°$。
【答案】
$36°$或$108°$
【知识点】
正多边形和圆，三角形内角和，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查正多边形与圆的结合应用，解题关键是全面考虑角的顶点位置，避免漏解，需要熟练掌握正多边形的角度计算方法。
【难度系数】
0.6