1. 如果$a^2 + ab = 8, ab + b^2 = 9$，那么$a^2 - b^2$的值是()

A.-1
B.1
C.17
D.不确定

1.A

【分析】
我们需要求$a^2 - b^2$的值，首先观察已知的两个等式的结构特征：第一个等式包含$a^2$和$ab$，第二个等式包含$ab$和$b^2$。如果将两个等式相减，中间的$ab$项会相互抵消，恰好得到所求的$a^2 - b^2$，因此可以用整体代入的方法，直接将两个已知等式的数值相减计算结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
解：记$a^2 + ab = 8$为①式，$ab + b^2 = 9$为②式。
用①式减去②式可得：
$(a^2 + ab) - (ab + b^2) = 8 - 9$
去括号得：$a^2 + ab - ab - b^2 = -1$
合并同类项后得：$a^2 - b^2 = -1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.整体代入求值
2.整式的加减运算
3.代数式化简
【点评】
本题考查整式加减的灵活运用，解题的核心是观察所求代数式与已知条件的结构关联，巧用整体代入的思路简化运算，降低解题难度。
【难度系数】
0.8

2. 五个连续奇数，中间的一个是$2n + 1$（$n$为整数），那么这五个数的和是()

A.$10n + 10$
B.$10n + 5$
C.$5n + 5$
D.$5n - 5$

2.B

【分析】
首先明确连续奇数的特点：相邻两个奇数的差为2。已知五个连续奇数的中间数是2n+1，我们可以依次表示出其余四个奇数，再将五个数相加，通过合并同类项求出总和，也可以利用“奇数个连续数的和=中间数×数的个数”的规律直接计算，得到结果后对应选项即可。
【解析】
方法一：分别表示五个连续奇数再求和
∵ 相邻两个奇数相差2，中间的奇数为2n+1
∴ 这五个连续奇数从左到右依次为：
(2n+1)-4=2n-3，(2n+1)-2=2n-1，2n+1，(2n+1)+2=2n+3，(2n+1)+4=2n+5
五个数的和为：
$\begin{aligned}&(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)\\=&2n-3+2n-1+2n+1+2n+3+2n+5\\=&(2n+2n+2n+2n+2n)+(-3-1+1+3+5)\\=&10n+5\end{aligned}$
方法二：利用规律简便计算
奇数个连续数的平均数等于中间数，因此总和=中间数×个数
总和$=5×(2n+1)=10n+5$
所以选B。
【答案】
B
【知识点】
连续奇数的特征；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，既可以通过依次表示数列各项求和，也可以利用连续数列的性质简化计算，熟练掌握整式加减的合并同类项法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如果$\frac{1}{3}a^3b - \frac{3}{4}ab^k + 2^5$是五次多项式，那么$k=$.

3.4

【分析】
拿到这道题首先回忆多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。接下来我们分别计算多项式每一项的次数：第一项$\frac{1}{3}a^3b$是单项式，单项式次数是所有字母的指数和，这里a的指数是3、b的指数是1，总次数为$3+1=4$；第三项$2^5$是常数项，不含字母，次数为0。已知该多项式是五次多项式，说明最高次项的次数为5，前两项的次数都小于5，因此最高次项只能是中间的$-\frac{3}{4}ab^k$，根据单项式次数的计算方法列方程即可求出k的值。
【解析】
根据多项式次数的定义解题：
1. 计算各项的次数：
项$\frac{1}{3}a^3b$的次数：$3+1=4$；
项$2^5$是常数项，次数为0；
2. 该多项式是五次多项式，因此最高次项为$-\frac{3}{4}ab^k$，其次数为5：
单项式$-\frac{3}{4}ab^k$的次数为a的指数加b的指数，即$1+k$，可列方程：
$1+k=5$
解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数
【点评】
本题考查整式相关基础概念，解题的易错点是容易误将常数项的指数当成项的次数，计算单项式次数时要注意是所有字母的指数和，不要漏掉指数为1的字母。
【难度系数】
0.75

4. 用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是。

4.4n - 1

【分析】
解决这类图形规律探究题，首先从已知的前几个图案入手，分别统计对应序号下正方形的总个数，再观察数量与序号n的变化关系：先数n=1时的正方形总数，再数n=2、n=3时的总数，对比发现相邻序号的正方形数量差固定为4，结合首项数值即可推导得到第n个图案的正方形个数表达式。
【解析】
首先统计前3个图案的正方形总个数：
当n=1时，正方形总个数为3，满足$3=4×1 - 1$；
当n=2时，正方形总个数为7，满足$7=4×2 - 1$；
当n=3时，正方形总个数为11，满足$11=4×3 - 1$；
观察规律可得：每增加1个n，正方形的总个数增加4，因此第n个图案中正方形的个数为$4n-1$。
【答案】
$4n - 1$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的图形类规律题，解题的核心是先列举前几个图形的对应数量，找到数量随序号变化的固定增量，再推导通用公式，计数时注意不要遗漏重叠部分的小正方形即可。
【难度系数】
0.7

5. 计算:
(1)$2x^2 + 1 - 3x + 7 - 2x^2 + 5x$;
(2)$(2a^2b + 2ab^2) - [2(a^2b - 1) + 3ab^2 + 2]$.

5.(1)化简得$2x + 8$ (2)化简得$-ab^2$

【分析】
整式加减运算的核心是去括号和合并同类项：(1)题没有括号，先识别出题目中的同类项：$2x^2$与$-2x^2$是同类项，$-3x$与$5x$是同类项，常数项1和7是同类项，再将同类项的系数相加即可完成化简；(2)题含有多层括号，先按照“先去小括号，再去中括号”的顺序去括号，去括号时注意：括号前是负号时，括号内各项都要变号，括号前有系数时，要将系数乘遍括号内的每一项，去括号后再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}&2x^2 + 1 - 3x + 7 - 2x^2 + 5x\\=&(2x^2 - 2x^2) + (-3x + 5x) + (1 + 7)\\=&0 + 2x + 8\\=&2x + 8\end{aligned}$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}&(2a^2b + 2ab^2) - [2(a^2b - 1) + 3ab^2 + 2]\\=&2a^2b + 2ab^2 - (2a^2b - 2 + 3ab^2 + 2)\\=&2a^2b + 2ab^2 - (2a^2b + 3ab^2)\\=&2a^2b + 2ab^2 - 2a^2b - 3ab^2\\=&-ab^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $2x + 8$；(2) $-ab^2$
【知识点】
合并同类项；去括号法则；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，解题的关键是正确识别同类项，熟练掌握去括号的符号规则和运算顺序，计算时注意不要漏乘括号内的项，避免符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

6. 先化简，再求值：
$(2x^2 - 2y^2) - 3(x^2y^2 + x^2) + 3(x^2y^2 + y^2)$，其中$x = -1, y = 2$。

6. 化简得 $- x^2 + y^2$. 当 x = - 1,y = 2 时,原式 = 3.

【分析】
遇到整式化简求值类题目，按照“先化简、再求值”的思路解题：第一步先对整式去括号，去括号时要注意两点，一是括号前为负号时，去括号后括号内每一项都要变号；二是括号前的系数要乘遍括号内的每一项，不能漏乘。第二步合并同类项，将所含字母相同、相同字母指数也相同的项的系数相加减，字母和字母指数保持不变，得到最简整式。最后代入给定的未知数的值计算，相比直接代入原式计算更简便，也能降低出错率。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2x^2 - 2y^2 - 3x^2y^2 - 3x^2 + 3x^2y^2 + 3y^2\\&=(2x^2 - 3x^2)+(-2y^2 + 3y^2)+(-3x^2y^2 + 3x^2y^2)\\&=-x^2 + y^2\end{aligned}$
将$x=-1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(-1)^2 + 2^2\\&=-1 + 4\\&=3\end{aligned}$
【答案】
化简得 $- x^2 + y^2$，当$x = - 1,y = 2$时，原式$=3$。
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查去括号的符号处理规则和同类项的合并方法，计算时注意负数乘方的运算符号，熟练掌握基础运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7. 某市出租车的收费标准是:3 km 内(含3 km)起步价为12.5元,3 km外每千米收费为2.4元.某乘客坐出租车x km.
(1) 试用关于x的代数式分情况表示该乘客的付费;
(2) 如果该乘客坐了10 km,应付费多少元?

7. (1) 当0 ＜ x ≤ 3时,12.5元;当x ＞ 3时,(2.4x + 5.3)元 (2)29.3元

【分析】
这是分段计费类实际应用题，解题需按收费标准分两种情况讨论：①当行驶里程不超过3km时，直接按起步价收费；②当行驶里程超过3km时，总费用=起步价+超出3km部分的费用，超出部分里程为(x-3)km，按每千米2.4元计算，整理即可得到对应代数式。求解第二问时，先判断10km所属的收费区间，再代入对应代数式计算即可。
【解析】
(1) 分两种情况表示付费：
① 当$0 ＜ x ≤ 3$时，乘客只需支付起步价，付费为12.5元；
② 当$x ＞ 3$时，超出3km的部分为$(x-3)\mathrm{km}$，这部分费用为$2.4(x-3)$元，总付费为：
$12.5 + 2.4(x - 3) = 12.5 + 2.4x - 7.2 = 2.4x + 5.3$（元）
(2) 已知乘客乘车里程为10km，因为$10＞3$，所以代入$x＞3$对应的代数式计算：
当$x=10$时，$2.4×10 + 5.3 = 24 + 5.3 = 29.3$（元）
【答案】
(1) 当$0 ＜ x ≤ 3$时，付费12.5元；当$x ＞ 3$时，付费$(2.4x + 5.3)$元
(2) 29.3元
【知识点】
分段计费问题；列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活场景考查计费类应用，解题关键是明确不同区间的收费规则，正确划分计费范围列出对应代数式，代入数值计算前要先判断数值所属区间，避免错用收费标准。
【难度系数】
0.8