8. 观察下面日历中“阶梯框”中的数字规律,回答问题.

(1) 若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数,请根据规律补全下图“阶梯框”;
a
(2) 请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数.

8.(1) (2)由(1)可得“阶梯框”中的数字之和为a - 7 + a - 6 + a - 1 + a + a + 5 + a + 6 = 6a - 3 = 3(2a - 1),所以“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数.

【分析】
解题时先明确日历的数字排列规律：同一行中左右相邻两个数相差1，同一列中上下相邻两个数相差7。
第(1)问：以中间数a为基准，按照相邻数的差的规律，依次推导其余5个数的表达式，即可补全阶梯框。
第(2)问：要证明6个数的和是3的倍数，只需要将6个含a的式子相加，化简后判断结果是否为3乘以某个整数的形式即可。
【解析】
(1) 根据日历数字规律推导各数：
a的同列上方数比a小7，为$a-7$，$a-7$右侧相邻数为$a-7+1=a-6$；
a的左侧相邻数比a小1，为$a-1$；
$a-1$的同列下方数比$a-1$大7，为$a-1+7=a+6$，$a+6$左侧相邻数为$a+6-1=a+5$，即可补全阶梯框。
(2) 计算6个数的总和：
将6个数相加得$(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+5)+(a+6)$，合并同类项后化简为$6a-3$，提取公因式3可得$3(2a-1)$。
由于$a$是日历中的正整数，因此$2a-1$为整数，$3(2a-1)$是3的整数倍，即可证明阶梯框中数字之和一定是3的倍数。
【答案】
(1)
(2)由(1)可得“阶梯框”中的数字之和为$a - 7 + a - 6 + a - 1 + a + a + 5 + a + 6 = 6a - 3 = 3(2a - 1)$，所以“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数。
【知识点】
日历数字规律，整式加减运算，倍数判定
【点评】
本题结合生活中日历场景考查数字规律探究与整式化简应用，解题核心是抓住日历数字的排列特征，通过代数运算验证结论，能有效锻炼观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.7

9. 已知 k 为常数,化简关于 y 的代数式:
$4y + 3[ky^2 - 2(2y^2 - 3y) - 5(y^2 + 2y - 3)] - 4(1 - 2y)$. 当 k 为何值时,此式子的值为定值? 求出此定值.
第四章

9. 化简为41 + 3(k - 9)y². 当k = 9时,有定值41.

【分析】
解决本题首先要按照整式加减的运算规则化简代数式，运算顺序为先去小括号，再去中括号，之后合并同类项；若代数式的值为定值，说明式子的取值和y的取值无关，因此化简后所有含y的项的系数必须为0，根据这个规律就能求出k的值，代入化简后的式子即可得到定值。
【解析】
解：对原式分步去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4y + 3[ky^2 - 4y^2 + 6y - 5y^2 - 10y + 15] - 4 + 8y\\&=4y + 3[(k-9)y^2 -4y +15] -4 +8y\\&=4y + 3(k-9)y^2 -12y +45 -4 +8y\end{aligned}$
合并同类项：
一次项：$4y-12y+8y=0$
常数项：$45-4=41$
因此化简结果为：$41+3(k-9)y^2$
若代数式的值为定值，则含$y^2$项的系数为0，即：
$3(k-9)=0$，解得$k=9$
此时代数式的值为常数41。
【答案】
化简为$41 + 3(k - 9)y^2$，当$k = 9$时，有定值41。
【知识点】
整式的加减，合并同类项，代数式定值
【点评】
本题核心考查整式的加减运算，解题关键是理解代数式为定值的本质是含字母变量的项的系数为0，运算过程中要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7

10. 让我们轻松一下,做一个数字游戏:
第一步:取一个自然数 $ n_1 = 5 $,计算 $ n_1^2 + 1 $ 得 $ a_1 $.
第二步:算出 $ a_1 $ 的各位数字之和得 $ n_2 $,计算 $ n_2^2 + 1 $ 得 $ a_2 $.
第三步:算出 $ a_2 $ 的各位数字之和得 $ n_3 $,计算 $ n_3^2 + 1 $ 得 $ a_3 $.
……
依此类推,则 $ a_{2024} = $ .
11. 已知两个关于 $ m,n $ 的多项式 $ A = m^2 - 3mn $, $ B = 9 - 2m^2 - amn $ ( $ a $ 为常数).
(1) 已知 $ A - B = 3m^2 + 2mn - 9 $,求 $ a $ 的值.
(2) 若 $ k $ 是一有理数,且 $ kA + 2B $ 的结果中不含关于 $ m^2 $ 的项,求 $ k $ 的值.
(3) 是否存在一个有理数 $ a $,使得 $ 2A + B $ 的值恒定?若存在,求出这个数;若不存在,请说明理由.

10. 65 11.(1)5 (2)4 (3)存在,a = - 6.

【分析】
第10题
本题是规律探索类题目，解题思路为：先按照题目给定的运算步骤依次计算前几项的$a_n$值，观察是否存在循环周期，再用总项数2024除以周期，根据余数确定$a_{2024}$对应的数值。
第11题
(1) 本题考察整式的加减运算，将$A$、$B$代入$A-B$的表达式，合并同类项后，和已知的$A-B$结果对比，令同类项的系数相等即可求出$a$的值。
(2) 将$A$、$B$代入$kA+2B$的表达式，合并同类项后，若不含$m^2$项，则$m^2$项的系数为0，据此列方程求解$k$即可。
(3) 将$A$、$B$代入$2A+B$的表达式，合并同类项后，若结果恒定，则含$m$、$n$的项的系数都为0，据此判断是否存在满足条件的$a$并求值。
【解析】
第10题
按照运算步骤计算：
第一步：$n_1=5$，$a_1=5^2+1=26$；
第二步：$n_2=2+6=8$，$a_2=8^2+1=65$；
第三步：$n_3=6+5=11$，$a_3=11^2+1=122$；
第四步：$n_4=1+2+2=5$，$a_4=5^2+1=26$，可得$a_n$的周期为3，循环为$26,65,122$。
计算$2024÷3=674······2$，余数为2，对应循环中的第2项，即$a_{2024}=65$。
第11题
(1) 把$A=m^2-3mn$，$B=9-2m^2-amn$代入$A-B$：
$\begin{aligned}A-B&=(m^2-3mn)-(9-2m^2-amn)\\&=m^2-3mn-9+2m^2+amn\\&=3m^2+(a-3)mn-9\end{aligned}$
已知$A-B=3m^2+2mn-9$，对比同类项系数得$a-3=2$，解得$a=5$。
(2) 代入$kA+2B$：
$\begin{aligned}kA+2B&=k(m^2-3mn)+2(9-2m^2-amn)\\&=km^2-3kmn+18-4m^2-2amn\\&=(k-4)m^2+(-3k-2a)mn+18\end{aligned}$
结果不含$m^2$项，则$m^2$项系数为0，即$k-4=0$，解得$k=4$。
(3) 代入$2A+B$：
$\begin{aligned}2A+B&=2(m^2-3mn)+(9-2m^2-amn)\\&=2m^2-6mn+9-2m^2-amn\\&=(-6-a)mn+9\end{aligned}$
要让结果恒定，需含$mn$的项系数为0，即$-6-a=0$，解得$a=-6$，此时$2A+B=9$，值恒定，故存在满足条件的$a$。
【答案】
10. $\boxed{65}$；11.(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{4}$；(3) 存在，$\boxed{a=-6}$
【知识点】
规律探索、整式加减运算、多项式系数应用
【点评】
两道题分别考察了规律探索能力和整式加减的实际应用，解题核心是熟练掌握合并同类项法则，理解多项式不含某项、值恒定的核心特征是对应项系数为0，规律类题目需通过前几项计算找到循环特征再求解，整体侧重基础运算和逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.65