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1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（
A.$6xy^2=3x· 2y^2$
B.$x^2+3x=x(x+3)$
C.$x^2+2xy+y^2-1=(x+y)^2-1$
D.$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
B
）A.$6xy^2=3x· 2y^2$
B.$x^2+3x=x(x+3)$
C.$x^2+2xy+y^2-1=(x+y)^2-1$
D.$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
答案
1.B 解析:$6xy^2=3x· 2y^2$ 中 $6xy^2$ 是单项式,则 A 不符合题意;$x^2+3x=x(x+3)$,符合因式分解的定义,则 B 符合题意;$x^2+2xy+y^2-1=(x+y)^2-1$ 中等号右边不是积的形式,则 C 不符合题意;$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ 是乘法运算,则 D 不符合题意。
解析
【分析】
要判断等式变形是否为因式分解，首先要回忆因式分解的核心定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形就是因式分解。解题时可抓住两个判断依据逐一排查选项：一是变形的对象（等式左边）必须是多项式；二是变形的结果（等式右边）必须是几个整式相乘的形式，同时注意因式分解与整式乘法是互逆的变形过程，方向相反。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A. 等式左边的$6xy^2$是单项式，因式分解的对象必须是多项式，不符合因式分解的定义，故A不符合题意；
B. 左边$x^2+3x$是多项式，右边$x(x+3)$是两个整式$x$和$x+3$的乘积形式，符合因式分解的定义，故B符合题意；
C. 等式右边$(x+y)^2-1$是差的形式，不是几个整式的积的形式，不符合要求，故C不符合题意；
D. 该变形是从两个整式的积推导得到多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确理解因式分解的定义，明确其变形方向和结果要求，注意区分因式分解和整式乘法的区别，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要判断等式变形是否为因式分解，首先要回忆因式分解的核心定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形就是因式分解。解题时可抓住两个判断依据逐一排查选项：一是变形的对象（等式左边）必须是多项式；二是变形的结果（等式右边）必须是几个整式相乘的形式，同时注意因式分解与整式乘法是互逆的变形过程，方向相反。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A. 等式左边的$6xy^2$是单项式，因式分解的对象必须是多项式，不符合因式分解的定义，故A不符合题意；
B. 左边$x^2+3x$是多项式，右边$x(x+3)$是两个整式$x$和$x+3$的乘积形式，符合因式分解的定义，故B符合题意；
C. 等式右边$(x+y)^2-1$是差的形式，不是几个整式的积的形式，不符合要求，故C不符合题意；
D. 该变形是从两个整式的积推导得到多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确理解因式分解的定义，明确其变形方向和结果要求，注意区分因式分解和整式乘法的区别，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. 把多项式$x^2 + ax + b$分解因式，得$(x+1)(x-3)$，则$a,b$的值分别是 （
A.$a=2,b=3$
B.$a=-2,b=-3$
C.$a=-2,b=3$
D.$a=2,b=-3$
B
）A.$a=2,b=3$
B.$a=-2,b=-3$
C.$a=-2,b=3$
D.$a=2,b=-3$
答案
2.B 解析:$\because x^2+ax+b=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$,
$\therefore a=1-3=-2,b=-3×1=-3$。
$\therefore a=1-3=-2,b=-3×1=-3$。
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆的变形过程，已知多项式因式分解的结果，我们可以先将分解后的两个因式相乘展开，再把展开得到的多项式和原式$x^2+ax+b$的对应项系数对比，一次项系数即为$a$的值，常数项即为$b$的值，即可得到正确选项。
【解析】
先根据多项式乘多项式法则展开$(x+1)(x-3)$：
$\begin{aligned}(x+1)(x-3)&=x· x - 3x + x - 3×1\\&=x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
由题意得$x^2+ax+b=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，根据两个多项式相等时同类项系数对应相等，可得：$a=-2$，$b=-3$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的逆运算；多项式乘多项式；对应系数相等
【点评】
本题是基础类考题，主要考查因式分解和整式乘法的互逆关系，熟练掌握多项式乘法运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
因式分解与整式乘法是互逆的变形过程，已知多项式因式分解的结果，我们可以先将分解后的两个因式相乘展开，再把展开得到的多项式和原式$x^2+ax+b$的对应项系数对比，一次项系数即为$a$的值，常数项即为$b$的值，即可得到正确选项。
【解析】
先根据多项式乘多项式法则展开$(x+1)(x-3)$：
$\begin{aligned}(x+1)(x-3)&=x· x - 3x + x - 3×1\\&=x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
由题意得$x^2+ax+b=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，根据两个多项式相等时同类项系数对应相等，可得：$a=-2$，$b=-3$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的逆运算；多项式乘多项式；对应系数相等
【点评】
本题是基础类考题，主要考查因式分解和整式乘法的互逆关系，熟练掌握多项式乘法运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3. 对于式子①$x^2 + 2xy = x(x + 2y)$，②$(x - 3)(x + 2) = x^2 - x - 6$从左到右的变形，下列说法正确的是（
A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法
D.①是整式乘法，②是因式分解
C
）A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法
D.①是整式乘法，②是因式分解
答案
3.C 解析:①$x^2+2xy=x(x+2y)$,左边多项式,右边整式乘积形式,属于因式分解;②$(x-3)(x+2)=x^2-x-6$,左边整式乘积,右边多项式,属于整式乘法。
解析
【分析】
要判断两个变形的类型，首先需要明确两个核心概念：1. 因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式；2. 整式乘法的定义：把几个整式相乘的形式转化为一个多项式的形式，二者是互逆的变形过程。接下来分别对比两个式子左右两边的形式，即可得出结论。
【解析】
先分析式子①：左边$x^2+2xy$是多项式，右边$x(x+2y)$是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，因此①是因式分解；
再分析式子②：左边$(x-3)(x+2)$是两个整式的乘积形式，右边$x^2 - x - 6$是多项式，符合整式乘法的定义，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是准确区分因式分解和整式乘法的变形特征，只要抓住变形前后的形式是多项式还是整式乘积，即可快速判断。
【难度系数】
0.9
要判断两个变形的类型，首先需要明确两个核心概念：1. 因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式；2. 整式乘法的定义：把几个整式相乘的形式转化为一个多项式的形式，二者是互逆的变形过程。接下来分别对比两个式子左右两边的形式，即可得出结论。
【解析】
先分析式子①：左边$x^2+2xy$是多项式，右边$x(x+2y)$是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，因此①是因式分解；
再分析式子②：左边$(x-3)(x+2)$是两个整式的乘积形式，右边$x^2 - x - 6$是多项式，符合整式乘法的定义，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是准确区分因式分解和整式乘法的变形特征，只要抓住变形前后的形式是多项式还是整式乘积，即可快速判断。
【难度系数】
0.9
4. $(x+3)(2x-1)$是多项式
$2x^2+5x-3$
因式分解的结果。答案
4.$2x^2+5x-3$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆因式分解的定义：因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，它和整式乘法是互逆的变形过程。已知因式分解的结果是两个多项式的乘积，求原来的多项式，只需要逆用变形，将这两个多项式相乘、展开并合并同类项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(x+3)(2x-1)&=x·2x + x·(-1) + 3·2x + 3·(-1)\\&=2x^2 - x + 6x - 3\\&=2x^2 + 5x - 3\end{aligned}$
【答案】
$2x^2+5x-3$
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则即可正确解答，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆因式分解的定义：因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，它和整式乘法是互逆的变形过程。已知因式分解的结果是两个多项式的乘积，求原来的多项式，只需要逆用变形，将这两个多项式相乘、展开并合并同类项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(x+3)(2x-1)&=x·2x + x·(-1) + 3·2x + 3·(-1)\\&=2x^2 - x + 6x - 3\\&=2x^2 + 5x - 3\end{aligned}$
【答案】
$2x^2+5x-3$
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则即可正确解答，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
5.根据下面的拼图过程,写出一个多项式的因式分解：
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
。答案
5.$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$ 解析:四个独立图形的面积和:$x^2+2x+4x+4×2=x^2+6x+8$,组合图形面积:$(x+2)(x+4),\therefore x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$。
解析
【分析】
本题可利用面积法求解，解题思路如下：第一步，分别计算四个独立小图形的面积，求和得到总面积的多项式形式；第二步，计算拼接后大长方形的面积，得到乘积形式的总面积表达式；第三步，根据拼接前后总面积相等，即可得到对应的因式分解等式。
【解析】
首先计算四个独立图形的面积之和：
边长为$x$的正方形面积为$x^2$，长为$x$宽为2的长方形面积为$2x$，长为$x$宽为4的长方形面积为$4x$，长为4宽为2的长方形面积为$4×2=8$，
因此总面积为$x^2+2x+4x+8=x^2+6x+8$。
再计算拼接后大长方形的面积：
观察拼接后的图形，大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，因此面积为$(x+2)(x+4)$。
由于拼接前后总面积不变，因此可得$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$。
【答案】
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
【知识点】
因式分解的意义；面积法的应用；整式乘法
【点评】
本题将代数运算与几何图形相结合，直观展现了因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的核心是抓住拼接前后图形的总面积不变，属于数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.8
本题可利用面积法求解，解题思路如下：第一步，分别计算四个独立小图形的面积，求和得到总面积的多项式形式；第二步，计算拼接后大长方形的面积，得到乘积形式的总面积表达式；第三步，根据拼接前后总面积相等，即可得到对应的因式分解等式。
【解析】
首先计算四个独立图形的面积之和：
边长为$x$的正方形面积为$x^2$，长为$x$宽为2的长方形面积为$2x$，长为$x$宽为4的长方形面积为$4x$，长为4宽为2的长方形面积为$4×2=8$，
因此总面积为$x^2+2x+4x+8=x^2+6x+8$。
再计算拼接后大长方形的面积：
观察拼接后的图形，大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，因此面积为$(x+2)(x+4)$。
由于拼接前后总面积不变，因此可得$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$。
【答案】
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
【知识点】
因式分解的意义；面积法的应用；整式乘法
【点评】
本题将代数运算与几何图形相结合，直观展现了因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的核心是抓住拼接前后图形的总面积不变，属于数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.8
6.把多项式$am+bm-cm$因式分解。
答案
6.解:$am+bm-cm=m(a+b-c)$。
解析
【分析】
要对该多项式因式分解，首先观察各项特征：多项式$am+bm-cm$的三项都含有相同的因式$m$，因此适用提公因式法分解。解题步骤分为两步：第一步确定公因式，先看各项系数，系数的最大公约数是1，再找共有的字母，三项都含字母$m$，且$m$的最低次数为1，因此公因式为$m$；第二步提取公因式，用多项式的每一项分别除以公因式$m$，将所得的商组合成另一个因式，注意保留原式各项的符号。
【解析】
解：首先确定多项式$am+bm-cm$的公因式为$m$，提取公因式$m$：
$am+bm-cm$
$=m× a + m× b - m× c$
$=m(a+b-c)$
【答案】
$m(a+b-c)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，重点考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出各项的公因式，提取公因式时要注意剩余项的符号与原式一致，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
要对该多项式因式分解，首先观察各项特征：多项式$am+bm-cm$的三项都含有相同的因式$m$，因此适用提公因式法分解。解题步骤分为两步：第一步确定公因式，先看各项系数，系数的最大公约数是1，再找共有的字母，三项都含字母$m$，且$m$的最低次数为1，因此公因式为$m$；第二步提取公因式，用多项式的每一项分别除以公因式$m$，将所得的商组合成另一个因式，注意保留原式各项的符号。
【解析】
解：首先确定多项式$am+bm-cm$的公因式为$m$，提取公因式$m$：
$am+bm-cm$
$=m× a + m× b - m× c$
$=m(a+b-c)$
【答案】
$m(a+b-c)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，重点考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出各项的公因式，提取公因式时要注意剩余项的符号与原式一致，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
7.已知关于$x$的二次三项式$2x^2 + mx + n$因式分解的结果是$(2x - 1)(x + \frac{1}{4})$，求$m$，$n$的值。
答案
7.解:$\because (2x-1)(x+\frac{1}{4})=2x^2+\frac{1}{2}x-x-\frac{1}{4}$
$=2x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$,
$\therefore m=-\frac{1}{2},n=-\frac{1}{4}$。
$=2x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$,
$\therefore m=-\frac{1}{2},n=-\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
解题思路如下：因式分解与整式乘法是互逆运算，已知二次三项式的因式分解结果，我们可先将因式的乘积展开为整式形式，再将展开后的整式与原二次三项式对比，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，即可求出m、n的值。具体操作时先做多项式乘法展开因式乘积，再合并同类项，最后匹配对应项的系数得到参数值。
【解析】
解：
∵ 因式分解与整式乘法为互逆运算，将因式分解的结果展开可得：
$\begin{split}(2x-1)(x+\frac{1}{4})&=2x^2+\frac{1}{2}x-x-\frac{1}{4}\\&=2x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\end{split}$
又
∵ 原二次三项式为$2x^2+mx+n$，两个相等的多项式对应项系数相等
∴ $m=-\frac{1}{2}$，$n=-\frac{1}{4}$
【答案】
$m=-\frac{1}{2},n=-\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法互逆
2. 多项式乘多项式运算
3. 多项式系数对应相等
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题关键是熟练掌握多项式乘法运算法则，准确合并同类项，再通过对应项系数相等求解参数，计算时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：因式分解与整式乘法是互逆运算，已知二次三项式的因式分解结果，我们可先将因式的乘积展开为整式形式，再将展开后的整式与原二次三项式对比，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，即可求出m、n的值。具体操作时先做多项式乘法展开因式乘积，再合并同类项，最后匹配对应项的系数得到参数值。
【解析】
解：
∵ 因式分解与整式乘法为互逆运算，将因式分解的结果展开可得：
$\begin{split}(2x-1)(x+\frac{1}{4})&=2x^2+\frac{1}{2}x-x-\frac{1}{4}\\&=2x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\end{split}$
又
∵ 原二次三项式为$2x^2+mx+n$，两个相等的多项式对应项系数相等
∴ $m=-\frac{1}{2}$，$n=-\frac{1}{4}$
【答案】
$m=-\frac{1}{2},n=-\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法互逆
2. 多项式乘多项式运算
3. 多项式系数对应相等
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题关键是熟练掌握多项式乘法运算法则，准确合并同类项，再通过对应项系数相等求解参数，计算时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
8.已知关于$x$的二次三项式$x^2 + mx + 10$有一个因式为$x + 5$，求另一个因式和$m$的值。
答案
8.解:设另一个因式为 $x+a$。
$\because (x+a)(x+5)=x^2+(5+a)x+5a$,
$\therefore \begin{cases}5+a=m,\\5a=10。\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\m=7。\end{cases}$
$\therefore$ 另一个因式是 $x+2,m$ 的值为 7。
$\because (x+a)(x+5)=x^2+(5+a)x+5a$,
$\therefore \begin{cases}5+a=m,\\5a=10。\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\m=7。\end{cases}$
$\therefore$ 另一个因式是 $x+2,m$ 的值为 7。
解析
【分析】
这道题可利用因式分解与整式乘法互逆的思路求解。首先，原式是二次项系数为1的二次三项式，已知因式$x+5$的一次项系数也为1，因此另一个因式必为一次项系数为1的一次二项式，我们可以设为$x+a$；再将两个因式相乘展开，与原式的各项系数对应相等，列出关于$a$和$m$的方程组，解方程组即可求出$a$和$m$的值，进而得到另一个因式。
【解析】
解：设另一个因式为 $x+a$。
$\because (x+a)(x+5)=x^2+(5+a)x+5a$，且$(x+a)(x+5)=x^2 + mx + 10$，
根据多项式相等时同次项系数相等，可得：
$\begin{cases}5+a=m,\\5a=10。\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=2,\\m=7。\end{cases}$
$\therefore$ 另一个因式是 $x+2$，$m$ 的值为 7。
【答案】
另一个因式是$x+2$，$m$的值为7。
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 待定系数法
3. 多项式对应系数相等
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，通过待定系数法建立方程求解，熟练掌握多项式乘法运算规则和对应系数相等的原则就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
这道题可利用因式分解与整式乘法互逆的思路求解。首先，原式是二次项系数为1的二次三项式，已知因式$x+5$的一次项系数也为1，因此另一个因式必为一次项系数为1的一次二项式，我们可以设为$x+a$；再将两个因式相乘展开，与原式的各项系数对应相等，列出关于$a$和$m$的方程组，解方程组即可求出$a$和$m$的值，进而得到另一个因式。
【解析】
解：设另一个因式为 $x+a$。
$\because (x+a)(x+5)=x^2+(5+a)x+5a$，且$(x+a)(x+5)=x^2 + mx + 10$，
根据多项式相等时同次项系数相等，可得：
$\begin{cases}5+a=m,\\5a=10。\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=2,\\m=7。\end{cases}$
$\therefore$ 另一个因式是 $x+2$，$m$ 的值为 7。
【答案】
另一个因式是$x+2$，$m$的值为7。
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 待定系数法
3. 多项式对应系数相等
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，通过待定系数法建立方程求解，熟练掌握多项式乘法运算规则和对应系数相等的原则就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
