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7. 已知函数$y=(2k-1)x+5$（$k$为常数）。若从$-3≤ k≤3$中任取整数$k$值，则得到的函数中具有性质“$y$随$x$的增大而增大”的一次函数的概率为（
A.$\dfrac{5}{12}$
B.$\dfrac{5}{7}$
C.$\dfrac{3}{7}$
D.$\dfrac{7}{12}$
C
）。A.$\dfrac{5}{12}$
B.$\dfrac{5}{7}$
C.$\dfrac{3}{7}$
D.$\dfrac{7}{12}$
答案
7. C。提示:k可以取的整数为-3,-2,-1,0,1,2,3,共7种可能，相应2k-1的值分别为-7,-5,-3,-1,1,3,5。
因为当2k-1＞0时，函数$y=(2k-1)x+5$具有性质“y随x的增大而增大”，所以满足条件的可能数是3，概率为$\frac{3}{7}$。
因为当2k-1＞0时，函数$y=(2k-1)x+5$具有性质“y随x的增大而增大”，所以满足条件的可能数是3，概率为$\frac{3}{7}$。
解析
【分析】
这是一道一次函数性质与简单概率结合的综合题，解题思路可分三步：第一步先确定所有等可能的k的取值：先找出$-3≤k≤3$范围内的所有整数，得到总情况数；第二步回忆一次函数的增减性规律：一次函数$y=ax+b$（$a≠0$）中，当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，据此列出关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围；第三步在总取值中筛选出符合要求的$k$的个数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
解：①先确定$k$的所有等可能整数取值：
在$-3≤k≤3$中的整数有$-3、-2、-1、0、1、2、3$，共7种等可能的结果。
②根据一次函数增减性列不等式：
若函数$y$随$x$的增大而增大，则一次项系数$2k-1＞0$，
解不等式得：$k＞0.5$。
③筛选符合条件的$k$的个数：
在上述7个整数中，满足$k＞0.5$的有$1、2、3$，共3种结果。
④计算概率：
根据概率公式可得，所求概率为$3÷7=\frac{3}{7}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质，简单概率计算，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查对一次函数增减性的掌握和简单随机事件概率的计算，解题的关键是准确找出所有等可能的情况，再正确筛选出符合函数性质的情况，代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.7
这是一道一次函数性质与简单概率结合的综合题，解题思路可分三步：第一步先确定所有等可能的k的取值：先找出$-3≤k≤3$范围内的所有整数，得到总情况数；第二步回忆一次函数的增减性规律：一次函数$y=ax+b$（$a≠0$）中，当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，据此列出关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围；第三步在总取值中筛选出符合要求的$k$的个数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
解：①先确定$k$的所有等可能整数取值：
在$-3≤k≤3$中的整数有$-3、-2、-1、0、1、2、3$，共7种等可能的结果。
②根据一次函数增减性列不等式：
若函数$y$随$x$的增大而增大，则一次项系数$2k-1＞0$，
解不等式得：$k＞0.5$。
③筛选符合条件的$k$的个数：
在上述7个整数中，满足$k＞0.5$的有$1、2、3$，共3种结果。
④计算概率：
根据概率公式可得，所求概率为$3÷7=\frac{3}{7}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质，简单概率计算，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查对一次函数增减性的掌握和简单随机事件概率的计算，解题的关键是准确找出所有等可能的情况，再正确筛选出符合函数性质的情况，代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.7
8. 九年级某班一次抽奖活动的规则如下:50张奖券中,一等奖2张,二等奖10张,三等奖25张,其余为安慰奖,每人限抽1张。
(1) 第一个抽奖者抽得一等奖的概率是多少? 抽得一等奖或二等奖的概率是多少?
(2) 若第一个抽奖者抽走了一张三等奖,则第二个抽奖者抽得一等奖的概率是多少? 抽得二等奖或三等奖的概率是多少?
(1) 第一个抽奖者抽得一等奖的概率是多少? 抽得一等奖或二等奖的概率是多少?
(2) 若第一个抽奖者抽走了一张三等奖,则第二个抽奖者抽得一等奖的概率是多少? 抽得二等奖或三等奖的概率是多少?
答案
8. (1) $\frac{1}{25},\frac{6}{25}$ (2) $\frac{2}{49},\frac{34}{49}$
解析
【分析】
本题考查简单随机事件的概率计算，解题核心是运用概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是所有等可能的结果总数，$m$是事件$A$发生的结果数）求解。
对于（1），首先确定总奖券数为50张，分别找出抽中一等奖、一等奖或二等奖的结果数，代入公式计算即可。
对于（2），第一个人抽走1张三等奖后，总奖券数减少1，三等奖的数量也减少1，其余奖项数量不变，分别找出此时的总结果数、抽中一等奖的结果数、抽中二等奖或三等奖的结果数，代入公式计算即可。
【解析】
解：（1）已知总共有50张奖券，每张奖券被抽到的可能性相等。
① 抽得一等奖的结果数为2，因此抽得一等奖的概率：
$P(\mathrm{一等奖})=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}$
② 抽得一等奖或二等奖的结果数为$2+10=12$，因此抽得一等奖或二等奖的概率：
$P(\mathrm{一等奖或二等奖})=\frac{12}{50}=\frac{6}{25}$
（2）第一个抽奖者抽走1张三等奖后，剩余奖券总数为$50-1=49$张，剩余三等奖数量为$25-1=24$张，一等奖、二等奖数量不变。
① 抽得一等奖的结果数仍为2，因此第二个抽奖者抽得一等奖的概率：
$P(\mathrm{一等奖})=\frac{2}{49}$
② 抽得二等奖或三等奖的结果数为$10+24=34$，因此抽得二等奖或三等奖的概率：
$P(\mathrm{二等奖或三等奖})=\frac{34}{49}$
【答案】
(1) $\frac{1}{25}$，$\frac{6}{25}$；(2) $\frac{2}{49}$，$\frac{34}{49}$
【知识点】
概率计算公式；简单随机事件概率求解
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是准确梳理不同情境下的总等可能结果数和对应事件的结果数，尤其注意抽奖后总奖券数和对应奖项的数量变化，避免误用原始数量计算导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查简单随机事件的概率计算，解题核心是运用概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是所有等可能的结果总数，$m$是事件$A$发生的结果数）求解。
对于（1），首先确定总奖券数为50张，分别找出抽中一等奖、一等奖或二等奖的结果数，代入公式计算即可。
对于（2），第一个人抽走1张三等奖后，总奖券数减少1，三等奖的数量也减少1，其余奖项数量不变，分别找出此时的总结果数、抽中一等奖的结果数、抽中二等奖或三等奖的结果数，代入公式计算即可。
【解析】
解：（1）已知总共有50张奖券，每张奖券被抽到的可能性相等。
① 抽得一等奖的结果数为2，因此抽得一等奖的概率：
$P(\mathrm{一等奖})=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}$
② 抽得一等奖或二等奖的结果数为$2+10=12$，因此抽得一等奖或二等奖的概率：
$P(\mathrm{一等奖或二等奖})=\frac{12}{50}=\frac{6}{25}$
（2）第一个抽奖者抽走1张三等奖后，剩余奖券总数为$50-1=49$张，剩余三等奖数量为$25-1=24$张，一等奖、二等奖数量不变。
① 抽得一等奖的结果数仍为2，因此第二个抽奖者抽得一等奖的概率：
$P(\mathrm{一等奖})=\frac{2}{49}$
② 抽得二等奖或三等奖的结果数为$10+24=34$，因此抽得二等奖或三等奖的概率：
$P(\mathrm{二等奖或三等奖})=\frac{34}{49}$
【答案】
(1) $\frac{1}{25}$，$\frac{6}{25}$；(2) $\frac{2}{49}$，$\frac{34}{49}$
【知识点】
概率计算公式；简单随机事件概率求解
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是准确梳理不同情境下的总等可能结果数和对应事件的结果数，尤其注意抽奖后总奖券数和对应奖项的数量变化，避免误用原始数量计算导致错误。
【难度系数】
0.8
9. 某班甲、乙、丙三个综合实践活动小组准备向全班同学展示成果，现通过抽签确定三个小组展示的先后顺序。
（1）三个小组排列的顺序有多少种不同的可能？
（2）甲排在第二个的概率是多少？
（1）三个小组排列的顺序有多少种不同的可能？
（2）甲排在第二个的概率是多少？
答案
9. (1) 有6种不同的排列顺序，分别是:甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲。
(2) 甲排在第二个的可能性有2种，概率是$\frac{1}{3}$。
(2) 甲排在第二个的可能性有2种，概率是$\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
（1）要确定三个小组的展示顺序，属于3个不同元素的全排列问题，可通过分步计数思路思考：先确定第一个展示的小组，有3种选择；再确定第二个展示的小组，此时剩余2个小组可选，有2种选择；最后剩余的1个小组为第三个展示的，只有1种选择，将各步选择数相乘就能得到总排列数，也可通过枚举法列出所有情况验证。（2）求甲排在第二个的概率属于古典概型计算，只需先找出甲排在第二个的情况数，再除以总的等可能情况数，即可得到对应概率。
【解析】
（1）我们可以通过分步计数或枚举法求解：
第一步，确定第一个展示的小组，有甲、乙、丙共3种选择；
第二步，确定第二个展示的小组，第一个选完后剩余2个小组，共2种选择；
第三步，第三个展示的小组为最后剩余的1个，仅1种选择。
总排列数为$3×2×1=6$种，枚举所有排列为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲。
（2）所有6种排列出现的可能性相等，其中甲排在第二个的情况有乙甲丙、丙甲乙，共2种。根据古典概型概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}$，可得甲排在第二个的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 有6种不同的排列顺序，分别是:甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲。
(2) 甲排在第二个的概率是$\frac{1}{3}$。
【知识点】
1. 简单排列计数
2. 古典概型概率计算
【点评】
本题是概率基础题，重点考查排列的计数方法和古典概型的概率求解，解题时要注意不重不漏地列举出所有等可能事件，再结合概率公式计算即可，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）要确定三个小组的展示顺序，属于3个不同元素的全排列问题，可通过分步计数思路思考：先确定第一个展示的小组，有3种选择；再确定第二个展示的小组，此时剩余2个小组可选，有2种选择；最后剩余的1个小组为第三个展示的，只有1种选择，将各步选择数相乘就能得到总排列数，也可通过枚举法列出所有情况验证。（2）求甲排在第二个的概率属于古典概型计算，只需先找出甲排在第二个的情况数，再除以总的等可能情况数，即可得到对应概率。
【解析】
（1）我们可以通过分步计数或枚举法求解：
第一步，确定第一个展示的小组，有甲、乙、丙共3种选择；
第二步，确定第二个展示的小组，第一个选完后剩余2个小组，共2种选择；
第三步，第三个展示的小组为最后剩余的1个，仅1种选择。
总排列数为$3×2×1=6$种，枚举所有排列为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲。
（2）所有6种排列出现的可能性相等，其中甲排在第二个的情况有乙甲丙、丙甲乙，共2种。根据古典概型概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}$，可得甲排在第二个的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 有6种不同的排列顺序，分别是:甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲。
(2) 甲排在第二个的概率是$\frac{1}{3}$。
【知识点】
1. 简单排列计数
2. 古典概型概率计算
【点评】
本题是概率基础题，重点考查排列的计数方法和古典概型的概率求解，解题时要注意不重不漏地列举出所有等可能事件，再结合概率公式计算即可，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
