8.一辆货车送货上山，并按原路下山.上山速度为$a$千米/时，下山速度为$b$千米/时，则货车上、下山的平均速度为（）

A.$\frac{1}{2}(a+b)$千米/时
B.$\frac{ab}{a+b}$千米/时
C.$\frac{a+b}{2ab}$千米/时
D.$\frac{2ab}{a+b}$千米/时

8.D

【分析】
平均速度的计算依据是总路程除以总时间，不能直接对上下山速度求平均值。我们可以先设上山的单程路程为参数s，先分别求出上山、下山的行驶时间，再计算出上、下山的总路程和总时间，最后代入平均速度公式化简即可得到结果。
【解析】
设上山的单程路程为$ s $千米。
1. 计算上山、下山的时间：
上山所需时间$ t_1 = \frac{s}{a} $小时，下山所需时间$ t_2 = \frac{s}{b} $小时。
2. 计算总路程和总时间：
上、下山的总路程为$ 2s $千米；
总时间为$ t_1 + t_2 = \frac{s}{a} + \frac{s}{b} = \frac{sb + sa}{ab} = \frac{s(a + b)}{ab} $小时。
3. 计算平均速度：
根据平均速度公式$ v = \frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} $，代入得：
$ v = \frac{2s}{\frac{s(a + b)}{ab}} = \frac{2s · ab}{s(a + b)} $，约去分子分母的$ s $后得$ v = \frac{2ab}{a + b} $千米/时。
【答案】
D
【知识点】
平均速度计算，分式运算，列代数式
【点评】
本题易误选A选项，需注意平均速度不是速度的算术平均数，必须严格按照“总路程除以总时间”的公式计算，设单程路程为参数s的方法中，参数会在运算过程中自然约去，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6

9.(1)若一组数据$x_1,x_2,x_3$的平均数为3,则数据$x_1+2,x_2+2,x_3+2$的平均数为;
(2)若一组数据$x_1,x_2,x_3$的平均数为3,则数据$x_1-2,x_2+2,x_3-3$的平均数为;
(3)若一组数据$x_1,x_2,x_3$的平均数为3,另一组数据$y_1,y_2,y_3$的平均数为5,则数据$x_1+2y_1,x_2+2y_2,x_3+2y_3$的平均数为.

9.(1)5 (2)2 (3)13

【分析】
解题核心依据是平均数的基本定义：平均数 = 所有数据的总和 ÷ 数据的总个数。解题思路如下：
1. 先根据已知的原数据平均数，求出原数据的总和；
2. 对于变换后的新数据，先计算新数据的总和（可通过原总和加上变换带来的增减量快速计算）；
3. 用新总和除以数据个数3，即可得到新的平均数。第三小问还可以利用平均数的线性运算规律，直接通过两组原数据的平均数推导结果，简化计算。
【解析】
已知数据$x_1,x_2,x_3$的平均数为3，由平均数定义可得：$x_1+x_2+x_3=3×3=9$。
(1) 新数据$x_1+2,x_2+2,x_3+2$的总和为：
$(x_1+2)+(x_2+2)+(x_3+2)=(x_1+x_2+x_3)+2×3=9+6=15$
新平均数为：$15÷3=5$
(2) 新数据$x_1-2,x_2+2,x_3-3$的总和为：
$(x_1-2)+(x_2+2)+(x_3-3)=(x_1+x_2+x_3)+(-2+2-3)=9-3=6$
新平均数为：$6÷3=2$
(3) 已知$y_1,y_2,y_3$的平均数为5，可得$y_1+y_2+y_3=3×5=15$，新数据$x_1+2y_1,x_2+2y_2,x_3+2y_3$的总和为：
$(x_1+2y_1)+(x_2+2y_2)+(x_3+2y_3)=(x_1+x_2+x_3)+2(y_1+y_2+y_3)=9+2×15=39$
新平均数为：$39÷3=13$
【答案】
(1)5；(2)2；(3)13
【知识点】
平均数的定义，数据变换对平均数的影响，平均数的运算性质
【点评】
本题属于平均数的基础应用题型，重点考查对平均数概念的理解和灵活运用能力，无需死记公式，通过“先算总和再算平均数”的基本思路即可求解，掌握数据变换时平均数的变化规律能进一步提升解题速度。
【难度系数】
0.8

10.(2025·启东期末)三位同学在一次数学考试的得分与他们三人的平均成绩的差分别是－8，6，a，则a=.

10.2

【分析】
解题时首先回忆平均数的核心性质：一组数据中所有数据与平均数的差（偏差）之和为0。该性质可由平均数的定义推导：所有数据的和等于平均数乘以数据个数，将每个数据写成“平均数+偏差”的形式相加，总和等于“平均数×个数 + 偏差和”，与平均数乘个数相等，因此偏差和为0。本题已知三个偏差分别是-8、6、a，将三个偏差相加等于0，列简单方程即可求出a的值。
【解析】
设三位同学的平均成绩为$\overline{x}$，则三位同学的实际得分分别为$\overline{x}-8$、$\overline{x}+6$、$\overline{x}+a$。
根据平均数的定义，三人得分总和等于平均成绩乘以人数，可列等式：
$(\overline{x}-8)+(\overline{x}+6)+(\overline{x}+a) = 3\overline{x}$
化简左侧得：$3\overline{x} - 2 + a = 3\overline{x}$
两边同时消去$3\overline{x}$，得：$-2 + a = 0$
解得：$a=2$
【答案】
2
【知识点】
平均数的定义；偏差和性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平均数本质的理解，不需要计算具体的平均成绩，利用各数据与平均数的差的和为0的性质即可快速求解，解题时不要被未知的平均成绩干扰，抓住核心等量关系即可。
【难度系数】
0.8

11. 在数据1,3,x,5,6中再添加一个数4,不改变原数据的平均数,则x的值为.

11.5

12.设有四个数，其中每三个数的和分别为24，36，28，32，则这四个数的平均数为。

12.10

【分析】
我们可以先设这四个数分别为a、b、c、d，根据“每三个数的和分别为24、36、28、32”可列出四个等式。观察等式左侧，将四个式子相加后，每个数都会被计算3次，因此四个和相加的结果等于四个数总和的3倍。我们先通过这个关系求出四个数的总和，再根据平均数的计算公式（平均数=总和÷数的个数）即可算出结果，无需单独求解每个数，用整体思想简化计算。
【解析】
设这四个数分别为$a$、$b$、$c$、$d$，根据题意可得：
$\begin{cases}a+b+c=24 \\a+b+d=36 \\a+c+d=28 \\b+c+d=32\end{cases}$
将四个等式左右两边分别相加，得：
$3(a+b+c+d)=24+36+28+32$
计算右侧的和：$24+36+28+32=120$
因此四个数的总和为：$a+b+c+d=120÷3=40$
根据算术平均数的定义，这四个数的平均数为：$40÷4=10$
【答案】
10
【知识点】
1. 算术平均数计算
2. 整体代入思想
【点评】
本题解题的核心是利用整体思想，发现四个“三个数的和”相加的结果是四个数总和的3倍，无需逐个求解每个数即可快速算出平均数，有效简化了运算过程。
【难度系数】
0.8

13.有一组数据$3,x^2+1,5,2x-3,6$,它们的平均数是4,求$x$的值.

13.解:由题意,得$3+x^2+1+5+2x-3+6=4×5$,
整理,得$x^2+2x-8=0$,解得$x_1=2,x_2=-4$.
所以$x$的值为2或$-4$.

【分析】
解题时首先回忆平均数的计算公式：一组数据的总和除以数据的个数等于这组数据的平均数。本题已知数据的平均数是4，共有5个数据，因此可先算出5个数据的总和为4×5=20；再将所有数据相加令其等于总和，即可得到关于x的一元二次方程，求解方程就能得到x的取值。
【解析】
解：由平均数的定义可得：
$3 + (x^2+1) + 5 + (2x-3) + 6 = 4 × 5$
合并同类项整理得：
$x^2 + 2x - 8 = 0$
因式分解得$(x-2)(x+4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-4$，两个根代入原数据均符合要求。
【答案】
$x$的值为$2$或$-4$
【知识点】
平均数的计算；解一元二次方程
【点评】
本题是基础运算类题型，重点考查对平均数概念的理解运用，以及一元二次方程的求解能力，计算数据总和时要注意各项符号，避免合并同类项出错，求解后可回代验证结果的合理性。
【难度系数】
0.8

14.阅读以下材料:对于三个数$a,b,c$,用$M\{a,b,c\}$表示这三个数的平均数,用$\min\{a,b,c\}$表示这三个数中最小的数.例如,$M\{-1,2,3\}=\frac{-1+2+3}{3}=\frac{4}{3}$,$\min\{-1,2,3\}=-1$,$\min\{-1,2,a\}=\begin{cases}a(a≤ -1),\\-1(a＞-1).\end{cases}$解答下列问题:
(1)如果$\min\{2,2x+2,4-2x\}=2x+2$,那么$x$的取值范围为;
(2)如果$M\{2,x+1,2x\}=\min\{2,x+1,2x\}$,求$x$的值;
(3)根据(2),你发现结论“若$M\{a,b,c\}=\min\{a,b,c\}$”,那么$a,b,c$之间有怎样的大小关系?简单说明理由.

14.(1)$x≤0$
(2)解:$\because M\{2,x+1,2x\}=\min\{2,x+1,2x\}$,而$M\{2,x+1,2x\}=\frac{1}{3}(2+x+1+2x)=x+1$,
$\therefore \begin{cases} x+1≤2, \\ x+1≤2x, \end{cases}$解得$\begin{cases} x≤1, \\ x≥1, \end{cases} \therefore x=1$.
(3)解:$a=b=c$,理由:由$M\{a,b,c\}=\min\{a,b,c\}$,可令$\frac{1}{3}(a+b+c)=a$,即$b+c=2a$.
$\therefore \begin{cases} \frac{1}{3}(a+b+c)≤ b, \\ \frac{1}{3}(a+b+c)≤ c, \end{cases}$
解得$a+c≤2b,a+b≤2c$.
由$b+c=2a$,得$a=\frac{b+c}{2}$,代入$a+c≤2b$可得$c≤ b$;
代入$a+b≤2c$可得$b≤ c$.
$\therefore b=c$.将$b=c$代入$b+c=2a$,得$c=a$.
$\therefore a=b=c$.

【分析】
(1) 要解决本小问，首先明确$\min\{a,b,c\}$表示三个数中的最小值，已知$\min\{2,2x+2,4-2x\}=2x+2$，说明$2x+2$是三个数中最小的数，因此$2x+2$要小于等于另外两个数，据此列不等式组求解即可。
(2) 第一步先根据平均数的定义计算$M\{2,x+1,2x\}$，化简得到结果为$x+1$；因为平均数等于三个数的最小值，说明$x+1$是三个数中最小的，因此$x+1$要小于等于另外两个数$2$和$2x$，列出不等式组求解即可得到$x$的值。
(3) 结合(2)的结论推广：若三个数的平均数等于这三个数的最小值，可设最小值为$a$，则平均数也等于$a$，因此三个数的和为$3a$，且另外两个数都大于等于$a$，再通过不等式推导可得出三个数相等的结论。
【解析】
(1) 由题意得$\begin{cases}2x+2≤2 \\2x+2≤4-2x \end{cases}$，
解第一个不等式得$x≤0$，解第二个不等式得$x≤0.5$，
取公共解集得$x≤0$。
(2) $\because M\{2,x+1,2x\}=\frac{1}{3}(2+x+1+2x)=x+1$，
又$\because M\{2,x+1,2x\}=\min\{2,x+1,2x\}$，
$\therefore \begin{cases} x+1≤2, \\ x+1≤2x, \end{cases}$解得$\begin{cases} x≤1, \\ x≥1, \end{cases}$ $\therefore x=1$。
(3) $a=b=c$，理由：由$M\{a,b,c\}=\min\{a,b,c\}$，可令$\frac{1}{3}(a+b+c)=a$，即$b+c=2a$。
$\therefore \begin{cases} \frac{1}{3}(a+b+c)≤ b, \\ \frac{1}{3}(a+b+c)≤ c, \end{cases}$
解得$a+c≤2b,a+b≤2c$。
由$b+c=2a$，得$a=\frac{b+c}{2}$，代入$a+c≤2b$可得$c≤ b$；
代入$a+b≤2c$可得$b≤ c$。
$\therefore b=c$。将$b=c$代入$b+c=2a$，得$c=a$。
$\therefore a=b=c$。
【答案】
(1)$x≤0$；(2)$x=1$；(3)$a=b=c$
【知识点】
1.新定义运算 2.一元一次不等式组的解法 3.平均数的计算
【点评】
本题是新定义类题型，解题关键是准确理解题中给出的新定义含义，将陌生的新定义问题转化为熟悉的不等式（组）问题求解，第三问考察从特殊到一般的逻辑推理能力，对知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6