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1. (2023·无锡改编)下列说法正确的是 ( )
A.-9 的平方根是-3
B.9 的平方根是 3
C.9 的算术平方根是±3
D.9 的算术平方根是 3
A.-9 的平方根是-3
B.9 的平方根是 3
C.9 的算术平方根是±3
D.9 的算术平方根是 3
答案
D
2. (2023·南通)如图,数轴上的五个点 A,B,C,D,E 分别表示数 1,2,3,4,5,则表示数$\sqrt {10}$的点应在 ( )
A.线段 AB 上
B.线段 BC 上
C.线段 CD 上
D.线段 DE 上
A.线段 AB 上
B.线段 BC 上
C.线段 CD 上
D.线段 DE 上
答案
C
解析
$\because 9＜10＜16$，$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
$\because$点$C$表示$3$，点$D$表示$4$，
$\therefore$表示数$\sqrt{10}$的点在线段$CD$上。
C
$\because$点$C$表示$3$，点$D$表示$4$，
$\therefore$表示数$\sqrt{10}$的点在线段$CD$上。
C
3. 设边长为 3 的正方形的对角线长为 a. 给出下列关于 a 的四种说法:①a 是无理数;②a 可以用数轴上的一个点来表示;③$3\lt a＜4$;④a 是 18 的算术平方根. 其中,正确的是 ( )
A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④
A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④
答案
C
解析
①由勾股定理得，$a=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$是无理数，故①正确；
②实数与数轴上的点一一对应，$a$是实数，可用数轴上的点表示，故②正确；
③$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25}$，即$4＜a＜5$，故③错误；
④$a=\sqrt{18}$，$a$是$18$的算术平方根，故④正确。
正确的是①②④。
C
②实数与数轴上的点一一对应，$a$是实数，可用数轴上的点表示，故②正确；
③$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25}$，即$4＜a＜5$，故③错误；
④$a=\sqrt{18}$，$a$是$18$的算术平方根，故④正确。
正确的是①②④。
C
4. (2024·宿迁期末)在实数$-\frac {21}{7},\sqrt [3]{-8},0,\sqrt {27},\frac {π}{3},3.1415,0.2121121112...$(相邻两个 2 之间依次多一个 1)中,无理数有 ( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
B
解析
$-\frac{21}{7}=-3$，是整数，属于有理数；
$\sqrt[3]{-8}=-2$，是整数，属于有理数；
$0$是整数，属于有理数；
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，是无理数；
$\frac{\pi}{3}$是无理数；
$3.1415$是有限小数，属于有理数；
$0.2121121112...$（相邻两个2之间依次多一个1）是无理数。
无理数有$\sqrt{27}$，$\frac{\pi}{3}$，$0.2121121112...$，共3个。
B
$\sqrt[3]{-8}=-2$，是整数，属于有理数；
$0$是整数，属于有理数；
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，是无理数；
$\frac{\pi}{3}$是无理数；
$3.1415$是有限小数，属于有理数；
$0.2121121112...$（相邻两个2之间依次多一个1）是无理数。
无理数有$\sqrt{27}$，$\frac{\pi}{3}$，$0.2121121112...$，共3个。
B
5. 正整数 a,b 分别满足$\sqrt [3]{53}\lt a＜\sqrt [3]{98},\sqrt {2}\lt b＜\sqrt {7}$,则$b^{a}$的值为 ( )
A.4
B.8
C.9
D.16
A.4
B.8
C.9
D.16
答案
D
解析
因为$\sqrt[3]{27} ＜ \sqrt[3]{53} ＜ \sqrt[3]{64} ＜ \sqrt[3]{98} ＜ \sqrt[3]{125}$，即$3 ＜ \sqrt[3]{53} ＜ 4 ＜ \sqrt[3]{98} ＜ 5$，且$a$为正整数，$\sqrt[3]{53} ＜ a ＜ \sqrt[3]{98}$，所以$a = 4$。
因为$\sqrt{1} ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，且$b$为正整数，$\sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7}$，所以$b = 2$。
则$b^a = 2^4 = 16$。
D
因为$\sqrt{1} ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，且$b$为正整数，$\sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7}$，所以$b = 2$。
则$b^a = 2^4 = 16$。
D
6. (2023·凉山)如图,边长为 2 的等边三角形 ABC 的两个顶点 A,B 分别在两条射线 OM,ON 上滑动. 若$OM⊥ON$,则 OC 长的最大值为 ( )
A.$\sqrt {3}$
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {3}+1$
D.$\sqrt {3}-1$
A.$\sqrt {3}$
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {3}+1$
D.$\sqrt {3}-1$
答案
C
解析
取AB中点D，连接OD,CD。
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴CD⊥AB，AD=BD=1，
CD=√(AC²-AD²)=√(2²-1²)=√3。
∵OM⊥ON，D为AB中点，
∴OD=1/2AB=1。
在△OCD中，OC≤OD+CD，当O,C,D三点共线时取等号，
∴OC的最大值为OD+CD=1+√3。
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴CD⊥AB，AD=BD=1，
CD=√(AC²-AD²)=√(2²-1²)=√3。
∵OM⊥ON，D为AB中点，
∴OD=1/2AB=1。
在△OCD中，OC≤OD+CD，当O,C,D三点共线时取等号，
∴OC的最大值为OD+CD=1+√3。
7. 用四舍五入法按要求对下列各数取近似值:
(1)349995(精确到百位,用科学记数法表示):______;
(2)3.4995(精确到 0.01):______;
(3)0.003584(精确到千分位):______.
(1)349995(精确到百位,用科学记数法表示):______;
(2)3.4995(精确到 0.01):______;
(3)0.003584(精确到千分位):______.
答案
（1）3.500×10⁵ （2）3.50 （3）0.004
解析
(1)$3.500×10^{5}$
(2)$3.50$
(3)$0.004$
8. (2023·徐州改编)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },CA= CB= 1$,点 D 在边 BC 上. 将$△ACD$沿 AD 折叠,使点 C 落在点$C'$处,连接$BC'$,则$BC'$长的最小值为______.
答案
$\sqrt{2}-1$
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$CA=CB=1$，由勾股定理得$AB=\sqrt{CA^{2}+CB^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
折叠后$AC'=AC=1$，点$C'$在以$A$为圆心，$1$为半径的圆上。
当点$C'$在$AB$上时，$BC'$最小，此时$BC'=AB - AC'=\sqrt{2}-1$。
$\sqrt{2}-1$
折叠后$AC'=AC=1$，点$C'$在以$A$为圆心，$1$为半径的圆上。
当点$C'$在$AB$上时，$BC'$最小，此时$BC'=AB - AC'=\sqrt{2}-1$。
$\sqrt{2}-1$
9. 若$(a-3)^{2}+\sqrt {b-5}= 0$,则以 a,b 为边长的等腰三角形的周长为______.
答案
11 或 13
解析
因为$(a - 3)^2 + \sqrt{b - 5} = 0$，且$(a - 3)^2 \geq 0$，$\sqrt{b - 5} \geq 0$，所以$a - 3 = 0$，$b - 5 = 0$，解得$a = 3$，$b = 5$。
情况一：当腰长为$3$，底边长为$5$时，$3 + 3 ＞ 5$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 5 = 11$。
情况二：当腰长为$5$，底边长为$3$时，$5 + 3 ＞ 5$，能构成三角形，周长为$5 + 5 + 3 = 13$。
故该等腰三角形的周长为$11$或$13$。
情况一：当腰长为$3$，底边长为$5$时，$3 + 3 ＞ 5$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 5 = 11$。
情况二：当腰长为$5$，底边长为$3$时，$5 + 3 ＞ 5$，能构成三角形，周长为$5 + 5 + 3 = 13$。
故该等腰三角形的周长为$11$或$13$。
10. 求下列各式中 x 的值:
(1)$16x^{2}-49= 0;$
(2)$(x-1)^{2}= \sqrt {625};$
(3)$(2x)^{3}= -8;$
(4)$-(x-\sqrt {9})^{3}= 27.$
(1)$16x^{2}-49= 0;$
(2)$(x-1)^{2}= \sqrt {625};$
(3)$(2x)^{3}= -8;$
(4)$-(x-\sqrt {9})^{3}= 27.$
答案
（1）$x=\pm \frac{7}{4}$ （2）$x=6$或$x=-4$ （3）$x=-1$ （4）$x=0$
解析
(1) $16x^{2}=49$，$x^{2}=\frac{49}{16}$，$x=\pm \frac{7}{4}$；
(2) $(x-1)^{2}=25$，$x-1=\pm 5$，$x=1+5=6$或$x=1-5=-4$；
(3) $2x=\sqrt[3]{-8}=-2$，$x=-1$；
(4) $(x-\sqrt{9})^{3}=-27$，$x-3=-3$，$x=0$。
