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1.【绿化问题】某社区为改善环境，决定加大绿化投入.四月份的绿化投入为25万元，计划四至六月份的绿化总投入为109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同.设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为$x$，根据题意所列方程为(
A.$25(1+x)+25(1+2x)=109$
B.$25(1-x)^2=109$
C.$25(1+x)^2=109$
D.$25+25(1+x)+25(1+x)^2=109$
D
)A.$25(1+x)+25(1+2x)=109$
B.$25(1-x)^2=109$
C.$25(1+x)^2=109$
D.$25+25(1+x)+25(1+x)^2=109$
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确四至六月份的总投入是四月、五月、六月三个月绿化投入的总和，不是单个月份的投入；其次根据月平均增长率x，依次表示出五月份、六月份的绿化投入；最后将三个月的投入相加等于总投入109万元，即可列出方程。同时可通过排除法快速筛选：选项B、C只表示了单个月份的投入，不符合总投入的要求；选项A中六月份投入用$25(1+2x)$是单利计算的错误形式，增长率问题应为复利计算，即可锁定正确答案。
【解析】
已知四月份绿化投入为25万元，五月份和六月份的月平均增长率为$x$：
1. 五月份的绿化投入 = 四月份投入×(1+月增长率) = $25(1+x)$万元；
2. 六月份的绿化投入 = 五月份投入×(1+月增长率) = $25(1+x) · (1+x) = 25(1+x)^2$万元；
3. 由四至六月份总投入为109万元，可得三个月投入之和等于109，列方程为：
$25 + 25(1+x) + 25(1+x)^2 = 109$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
平均变化率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率类的典型基础题，解题核心是准确表示出每个阶段的对应量，易错点为容易遗漏第一个月的投入，或错误使用单利计算增长后的量，做题时需注意审题，明确总量对应的是几个阶段的和。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确四至六月份的总投入是四月、五月、六月三个月绿化投入的总和，不是单个月份的投入；其次根据月平均增长率x，依次表示出五月份、六月份的绿化投入；最后将三个月的投入相加等于总投入109万元，即可列出方程。同时可通过排除法快速筛选：选项B、C只表示了单个月份的投入，不符合总投入的要求；选项A中六月份投入用$25(1+2x)$是单利计算的错误形式，增长率问题应为复利计算，即可锁定正确答案。
【解析】
已知四月份绿化投入为25万元，五月份和六月份的月平均增长率为$x$：
1. 五月份的绿化投入 = 四月份投入×(1+月增长率) = $25(1+x)$万元；
2. 六月份的绿化投入 = 五月份投入×(1+月增长率) = $25(1+x) · (1+x) = 25(1+x)^2$万元；
3. 由四至六月份总投入为109万元，可得三个月投入之和等于109，列方程为：
$25 + 25(1+x) + 25(1+x)^2 = 109$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
平均变化率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率类的典型基础题，解题核心是准确表示出每个阶段的对应量，易错点为容易遗漏第一个月的投入，或错误使用单利计算增长后的量，做题时需注意审题，明确总量对应的是几个阶段的和。
【难度系数】
0.8
2.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定通过某社交平台转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的社交平台上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值为(
A.12
B.11
C.10
D.9
C
)A.12
B.11
C.10
D.9
答案
2.C
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题时先理清每轮参与传播的人数构成：初始发起人是小明1人，第一轮传播中，小明邀请n个好友转发，所以第一轮新增n个参与者；第二轮传播中，第一轮的n个好友每人再邀请n个互不相同的好友，所以第二轮新增$n× n=n^2$个参与者。两轮后总参与人数是初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，据此列一元二次方程求解即可，注意n代表人数，必须为正整数，要舍去不合题意的根。
【解析】
根据传播规则，两轮传播后总参与人数=初始发起人1人+第一轮转发的n人+第二轮转发的$n^2$人，可列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1=10，n_2=-11$
因为n为邀请的好友人数，不能为负数，故舍去$n_2=-11$，所以$n=10$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，传播问题建模
【点评】
本题考查实际问题中的一元二次方程应用，解题核心是准确梳理每轮传播的人数，不要遗漏初始发起人，同时要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题时先理清每轮参与传播的人数构成：初始发起人是小明1人，第一轮传播中，小明邀请n个好友转发，所以第一轮新增n个参与者；第二轮传播中，第一轮的n个好友每人再邀请n个互不相同的好友，所以第二轮新增$n× n=n^2$个参与者。两轮后总参与人数是初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，据此列一元二次方程求解即可，注意n代表人数，必须为正整数，要舍去不合题意的根。
【解析】
根据传播规则，两轮传播后总参与人数=初始发起人1人+第一轮转发的n人+第二轮转发的$n^2$人，可列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1=10，n_2=-11$
因为n为邀请的好友人数，不能为负数，故舍去$n_2=-11$，所以$n=10$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，传播问题建模
【点评】
本题考查实际问题中的一元二次方程应用，解题核心是准确梳理每轮传播的人数，不要遗漏初始发起人，同时要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
1. 2026年是中国农历马年，一款套装小马玩偶销售火爆.某商店抓住商机，以每套40元的进价购入该套装玩偶，以每套58元的价格出售.经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套.
(1)求该套装玩偶1月份到3月份销售量的月平均增长率；
(2)从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客.若每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套.当该套装玩偶的售价为多少元时，月销售利润为4800元？
(1)求该套装玩偶1月份到3月份销售量的月平均增长率；
(2)从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客.若每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套.当该套装玩偶的售价为多少元时，月销售利润为4800元？
答案
1.解:(1)设该套装玩偶1月份到3月份销售量的月平均增长率为x.根据题意，得
$256(1+x)^2=400$，
解得 $x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$(不合题意，舍去).
答:该套装玩偶1月份到3月份销售量的月平均增长率为25%.
(2)设该套装玩偶的售价为y元，则月销售量为 $400+20(58-y)=(1560-20y)$(套).
根据题意，得
$(y-40)(1560-20y)=4800$，
解得 $y_1=48$，$y_2=70$(不合题意，舍去).
答:当该套装玩偶的售价为48元时，月销售利润为4800元.
$256(1+x)^2=400$，
解得 $x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$(不合题意，舍去).
答:该套装玩偶1月份到3月份销售量的月平均增长率为25%.
(2)设该套装玩偶的售价为y元，则月销售量为 $400+20(58-y)=(1560-20y)$(套).
根据题意，得
$(y-40)(1560-20y)=4800$，
解得 $y_1=48$，$y_2=70$(不合题意，舍去).
答:当该套装玩偶的售价为48元时，月销售利润为4800元.
解析
【分析】
(1) 第一问为平均增长率问题，核心公式为：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。已知1月销量为初始量256套，到3月共增长2次后销量为400套，设月平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
(2) 第二问为销售利润问题，核心等量关系为：单套利润×月销售量=月总利润。设售价为y元，先表示出单套利润为(y-40)元；再根据“每降价1元销量增加20套”，得出相比原价58元降价了(58-y)元，因此月销量为3月销量加新增销量，即$400+20(58-y)$套。代入利润等量关系列方程，求解后结合降价促销的实际，售价应低于原售价58元，舍去不符合的根即可。
【解析】
(1) 设该套装玩偶1月份到3月份销售量的月平均增长率为x。
根据题意得：
$256(1+x)^2=400$
解得 $x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$(不合题意，舍去)。
(2) 设该套装玩偶的售价为y元，则月销售量为 $400+20(58-y)=(1560-20y)$套。
根据月销售利润为4800元得：
$(y-40)(1560-20y)=4800$
解得 $y_1=48$，$y_2=70$(不合题意，舍去)。
【答案】
(1) 该套装玩偶1月份到3月份销售量的月平均增长率为25%；
(2) 当该套装玩偶的售价为48元时，月销售利润为4800元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
3. 销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，考查了平均增长率和销售利润两类常见模型的应用，解题时需注意结合实际情境对求得的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为平均增长率问题，核心公式为：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。已知1月销量为初始量256套，到3月共增长2次后销量为400套，设月平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
(2) 第二问为销售利润问题，核心等量关系为：单套利润×月销售量=月总利润。设售价为y元，先表示出单套利润为(y-40)元；再根据“每降价1元销量增加20套”，得出相比原价58元降价了(58-y)元，因此月销量为3月销量加新增销量，即$400+20(58-y)$套。代入利润等量关系列方程，求解后结合降价促销的实际，售价应低于原售价58元，舍去不符合的根即可。
【解析】
(1) 设该套装玩偶1月份到3月份销售量的月平均增长率为x。
根据题意得：
$256(1+x)^2=400$
解得 $x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$(不合题意，舍去)。
(2) 设该套装玩偶的售价为y元，则月销售量为 $400+20(58-y)=(1560-20y)$套。
根据月销售利润为4800元得：
$(y-40)(1560-20y)=4800$
解得 $y_1=48$，$y_2=70$(不合题意，舍去)。
【答案】
(1) 该套装玩偶1月份到3月份销售量的月平均增长率为25%；
(2) 当该套装玩偶的售价为48元时，月销售利润为4800元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
3. 销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，考查了平均增长率和销售利润两类常见模型的应用，解题时需注意结合实际情境对求得的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
2.张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”，并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”.假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员.求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”.
答案
2.解:设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”.
根据题意，得 $x(x+1)+x+1=121$，
即 $(x+1)^2=121$，
$\therefore x+1=\pm11$，
解得 $x_1=10$，$x_2=-12$(不合题意，舍去).
答:每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”.
根据题意，得 $x(x+1)+x+1=121$，
即 $(x+1)^2=121$，
$\therefore x+1=\pm11$，
解得 $x_1=10$，$x_2=-12$(不合题意，舍去).
答:每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”.
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题时先梳理人数增长规律：初始只有张亮1人，第一周他1人可号召x人，第一周结束后总人数为1+x人；第二周时第一周的所有成员每人都号召x人，第二周新加入人数为x(1+x)，两周后的总人数等于第一周总人数加第二周新加入人数，恰好为121，据此列方程求解即可，最后要结合人数为正的实际意义舍去不符合要求的根。
【解析】
解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”。
根据题意，得 $x(x+1)+x+1=121$，
即 $(x+1)^2=121$，
$\therefore x+1=\pm11$，
解得 $x_1=10$，$x_2=-12$，
由于号召的人数不能为负数，故$x_2=-12$不合题意，舍去。
【答案】
每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”
【知识点】
一元二次方程的应用，传播问题，根的检验
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，核心是理清传播过程中每一轮的参与人数基数，准确找到等量关系列方程，求解后注意结合实际情景舍去不符合常理的根即可。
【难度系数】
0.8
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题时先梳理人数增长规律：初始只有张亮1人，第一周他1人可号召x人，第一周结束后总人数为1+x人；第二周时第一周的所有成员每人都号召x人，第二周新加入人数为x(1+x)，两周后的总人数等于第一周总人数加第二周新加入人数，恰好为121，据此列方程求解即可，最后要结合人数为正的实际意义舍去不符合要求的根。
【解析】
解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”。
根据题意，得 $x(x+1)+x+1=121$，
即 $(x+1)^2=121$，
$\therefore x+1=\pm11$，
解得 $x_1=10$，$x_2=-12$，
由于号召的人数不能为负数，故$x_2=-12$不合题意，舍去。
【答案】
每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”
【知识点】
一元二次方程的应用，传播问题，根的检验
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，核心是理清传播过程中每一轮的参与人数基数，准确找到等量关系列方程，求解后注意结合实际情景舍去不符合常理的根即可。
【难度系数】
0.8
