1. 如图，$AC=AD$，$BC=BD$，则().

A.AB与CD互相垂直平分
B.CD垂直平分AB
C.AB垂直平分CD
D.以上说法都不对

1. C

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先根据已知的AC=AD、BC=BD，分别判断点A、点B与线段CD的位置关系，再结合“两点确定一条直线”，即可得到AB与CD的位置关系，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：
∵ AC=AD，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上。
又
∵ BC=BD，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。
分析选项：
题目未给出AC=BC、AD=BD等能证明CD平分AB的条件，因此A（互相垂直平分）、B（CD垂直平分AB）均不成立，C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，注意结合已知条件分析两条线段的关系，不要随意添加未给出的条件判断互相平分的关系。
【难度系数】
0.7

2. 如图，物业公司计划在小区内修建充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在$△ ABC$的().

A.三条边的垂直平分线的交点处
B.三个角的平分线的交点处
C.三条高的交点处
D.三条中线的交点处

2. A

【分析】
首先明确题目核心要求：找到一个点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离都相等。我们可以分步思考：第一步，回忆线段垂直平分线的相关结论：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。第二步，先找满足到A、B两点距离相等的点，这些点都在AB边的垂直平分线上；再找满足到B、C两点距离相等的点，这些点都在BC边的垂直平分线上。第三步，两条垂直平分线的交点就同时满足到A、B、C三点距离相等，这个交点也必然在AC边的垂直平分线上，因此该点就是三角形三条边垂直平分线的交点。
【解析】
我们根据线段垂直平分线的判定分析：
1. 若点到A、B两点的距离相等，则该点在AB边的垂直平分线上；
2. 若点到B、C两点的距离相等，则该点在BC边的垂直平分线上；
3. 上述两条垂直平分线的交点，同时满足到A、B、C三点的距离相等，且该点也在AC边的垂直平分线上，因此到三个顶点距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点。
对照选项，A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定，三角形外心的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，需要区分三角形不同特殊交点的性质：角平分线的交点到三边距离相等，三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，中线交点是重心，高的交点是垂心，注意不要混淆各类交点的性质即可正确解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，MP，NQ分别是AB，AC的垂直平分线，若$△ AMN$的周长为10，则BC的长为。

3. 10

【分析】
解题的核心是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再通过等量代换将△AMN的周长转化为BC的长度。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，据此可得MA=MB、NA=NC；再观察△AMN的周长组成，将AM、AN替换为相等的BM、CN，即可发现周长刚好对应BC的长。
【解析】
∵ MP是AB的垂直平分线，点M在MP上
∴ MA = MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵ NQ是AC的垂直平分线，点N在NQ上
∴ NA = NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
已知△AMN的周长为10，即 $ AM + MN + AN = 10 $
将AM替换为BM，AN替换为NC，可得：
$ BM + MN + NC = 10 $
而 $ BM + MN + NC = BC $
∴ $ BC = 10 $
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过性质对线段进行等量代换，将未知的线段长度和已知的三角形周长建立关联，是垂直平分线相关考点的常见考查形式。
【难度系数】
0.8

4.（教材改编）写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.
（1）全等三角形的面积相等；
（2）直角三角形只有两个锐角.

4. 解：(1)逆命题是面积相等的三角形全等. 原命题是真命题，逆命题是假命题.
(2)逆命题是只有两个锐角的三角形是直角三角形. 原命题是真命题，逆命题是假命题.

【分析】
解决这类问题需遵循固定思路：首先明确逆命题的改写规则，先将原命题拆分为“题设（条件）”和“结论”两部分，再将题设和结论互换位置，即可得到逆命题。判断命题真假时，真命题要符合已学的定理、性质，假命题只要举出1个符合题设但不符合结论的反例即可。本题具体解题步骤为：①分别拆分两个原命题的条件和结论；②互换条件和结论得到逆命题；③结合全等三角形、三角形内角和的相关知识判断原命题和逆命题的真假。
【解析】
(1) 拆分原命题：题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“这两个三角形的面积相等”。
交换题设和结论，得到逆命题：面积相等的三角形全等。
真假判断：全等三角形的对应边、对应高均相等，因此面积一定相等，原命题为真命题；举反例：底为2、高为3的三角形和底为3、高为2的三角形，面积均为3，但形状不同，不全等，因此逆命题为假命题。
(2) 拆分原命题：题设为“一个三角形是直角三角形”，结论为“这个三角形只有两个锐角”。
交换题设和结论，得到逆命题：只有两个锐角的三角形是直角三角形。
真假判断：直角三角形有1个内角为90°，剩余两个内角和为90°，均为锐角，因此原命题为真命题；举反例：钝角三角形有1个钝角，剩余两个角也是锐角，也满足只有两个锐角，但不属于直角三角形，因此逆命题为假命题。
【答案】
(1)逆命题是面积相等的三角形全等. 原命题是真命题，逆命题是假命题.
(2)逆命题是只有两个锐角的三角形是直角三角形. 原命题是真命题，逆命题是假命题.
【知识点】
逆命题的改写、真假命题判断、三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查互逆命题的改写能力和命题真假的判断能力，解题核心是准确区分原命题的条件和结论，判断假命题时通过举反例可快速验证，该类题型是几何逻辑推理的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

5. 如图，在$△ ABC$中，$DE$垂直平分$AB$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$△ ADC$的周长为$17\ \mathrm{cm}$. 求$BC$的长.

5. 解：$\because DE$ 垂直平分 $AB$，$\therefore DA = DB$. $\because C_{△ ADC} = DA+DC+AC=17\ \mathrm{cm}$，$\therefore DA+DC=17-AC=17-5=12(\mathrm{cm})$. $\therefore BC=DB+DC=DA+DC=12\ \mathrm{cm}$.

【分析】
解题时首先从已知条件“DE垂直平分AB”入手，回忆线段垂直平分线的性质，可得DA=DB，完成线段的等量转化。接下来观察BC的组成：BC=BD+DC，将BD替换为DA后，可知BC=DA+DC。再结合△ADC的周长公式，△ADC的周长=DA+DC+AC，已知周长和AC的长度，即可求出DA+DC的值，最终得到BC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得$DA = DB$。
∵△ADC的周长$C_{△ADC} = DA+DC+AC=17\ \mathrm{cm}$，且$AC=5\ \mathrm{cm}$，
∴$DA+DC=17-AC=17-5=12(\mathrm{cm})$。
又
∵$BC=DB+DC$，且$DB=DA$，
∴$BC=DA+DC=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成相等线段的代换，将未知线段长度转化为与已知周长相关的线段和，进而求解，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$于点$E$. 求证：直线$AD$是$CE$的垂直平分线.

6. 证明：$\because ∠ ACB = 90°$，$DE ⊥ AB$，$\therefore ∠ AED = ∠ ACB = 90°$. $\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$. 在$△ AED$ 和$△ ACD$ 中，$\begin{cases}∠ AED=∠ ACB,\\∠ BAD=∠ CAD,\\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ AED ≌ △ ACD$ (AAS). $\therefore AE = AC$，$DE = DC$. $\therefore$ 点 $A$，$D$ 在 $CE$ 的垂直平分线上. $\therefore$ 直线 $AD$ 是 $CE$ 的垂直平分线.

【分析】
要证明直线AD是CE的垂直平分线，依据线段垂直平分线的判定定理，只需证明直线AD上有两个点分别到C、E两点的距离相等即可。首先结合已知的直角条件、角平分线条件和公共边AD，可通过AAS证明△AED和△ACD全等，再利用全等三角形的性质得到AE=AC、DE=DC，即可说明点A、点D都在CE的垂直平分线上，最后结合两点确定一条直线，就能得出结论。
【解析】
证明：$\because ∠ ACB = 90°$，$DE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB = 90°$.
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$.
在$△ AED$ 和$△ ACD$ 中，
$\begin{cases}∠ AED=∠ ACB,\\∠ BAD=∠ CAD,\\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ AED ≌ △ ACD$ (AAS).
$\therefore AE = AC$，$DE = DC$.
根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知点$A$，$D$ 在 $CE$ 的垂直平分线上，
又两点确定一条直线，
$\therefore$ 直线$AD$是$CE$的垂直平分线.
【答案】
直线$AD$是$CE$的垂直平分线，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是掌握线段垂直平分线的判定逻辑，需找到两个满足条件的点才能确定直线为垂直平分线，易错点是仅证明一个点在垂直平分线上就直接下结论，忽略两点确定一条直线的要求。
【难度系数】
0.7