9.解方程$(y^2 - 3y + 2)(y^2 + 3y - 2) = y^2(y + 3)(y - 3)$。

$(y^2 - 3y + 2)(y^2 + 3y - 2) = y^2(y + 3)(y - 3)$,
$[y^2-(3y-2)][y^2+(3y-2)]=y^2(y+3)(y-3)$,
$y^4-(3y-2)^2=y^2(y^2-9)$,
$y^4-9y^2+12y-4=y^4-9y^2$,
$12y-4=0$,
解得$y=\frac{1}{3}.$

【分析】
观察方程左右两边的整式结构，可优先利用平方差公式简化运算：左边两个因式中，$y^2$是相同项，$-(3y-2)$与$+(3y-2)$是互为相反数的项，可将左边变形为平方差公式的标准形式$(a-b)(a+b)$；右边$(y+3)(y-3)$也符合平方差公式的结构。先通过平方差公式化简左右两边，消去高次项后即可转化为一元一次方程求解，避免直接展开所有项带来的繁琐计算。
【解析】
第一步：将方程左右两边分别变形为平方差形式：
左边：$(y^2 - 3y + 2)(y^2 + 3y - 2)=[y^2-(3y-2)][y^2+(3y-2)]$
右边：$y^2(y + 3)(y - 3)=y^2(y^2-9)$
第二步：利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$展开：
左边展开得：$y^4-(3y-2)^2$
第三步：展开完全平方式并整理左边，同时展开右边：
左边：$y^4-(9y^2-12y+4)=y^4-9y^2+12y-4$
右边展开得：$y^4-9y^2$
第四步：移项消去左右两边相同的项$y^4$和$-9y^2$，得：
$12y-4=0$
第五步：解一元一次方程：
$12y=4$，解得$y=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
【答案】
$y=\frac{1}{3}$
【知识点】
平方差公式；整式化简；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查乘法公式在解方程中的灵活应用，解题核心是准确识别式子中符合平方差公式的结构特征，通过公式简化运算，既提升解题效率，也能减少直接展开多项式带来的计算错误。
【难度系数】
0.7

10.【问题背景】在同类项中，$5a - 3a + a = (5 - 3 + 1)a = 3a$，类似的，$5(x + y) - 3(x + y) + (x + y) = (5 - 3 + 1)(x + y) = 3(x + y)$。整体思想是中学数学解题中一种重要思想，在多项式求值与化简中应用广泛。
去括号法则的逆向运用就是添括号，将$a - b$整体放入“$-$（）”就变为$-(-a + b)$，将$a - b$整体放入“$+$（）”就变为$+(a - b)$。
【问题再现】(1)若将$(x - y)^2$看作一个整体，化简$3(x - y)^2 - 6(x - y)^2 + 2(x - y)^2$。
【问题推广】(2)已知$a^2 - 2b = 1$，求$3 - 2a^2 + 4b$的值。
【拓展提升】(3)已知$a - 2b = 1$，$2b - c = -1$，$c - d = 2$，求$a - 4b + 4c - 3d$的值。

(1)$3(x-y)^2-6(x-y)^2+2(x-y)^2=(3-6+2)(x-y)^2=-(x-y)^2.$
(2)$\because a^2-2b=1,\therefore 3-2a^2+4b=3-2(a^2-2b)=3-2×1=1.$
(3)$a-4b+4c-3d=a-2b-2b+c+3c-3d=a-2b-(2b-c)+3(c-d)$,
$\because a-2b=1,2b-c=-1,c-d=2,\therefore 原式=1-(-1)+3×2=1+1+6=8.$

【分析】
(1) 按照题目给出的整体思想，将$(x-y)^2$看作一个整体，类比合并同类项的方法，只需将各项的系数相加减，整体部分保持不变即可完成化简。
(2) 观察已知条件$a^2-2b=1$和待求式$3-2a^2+4b$，发现可对待求式的后两项提取公因式$-2$，变形为含有$a^2-2b$的形式，再整体代入已知数值计算即可。
(3) 首先将待求式$a-4b+4c-3d$通过拆项、添括号的方式，转化为含有已知式$a-2b$、$2b-c$、$c-d$的组合形式，再将已知的三个式子的值整体代入计算，注意添括号时的符号变化。
【解析】
(1) 把$(x-y)^2$看作整体合并同类项：
$3(x-y)^2-6(x-y)^2+2(x-y)^2=(3-6+2)(x-y)^2=-(x-y)^2$
(2) 先对待求式变形，再整体代入：
$\because a^2-2b=1$
$\therefore 3-2a^2+4b=3-2(a^2-2b)=3-2×1=1$
(3) 先将待求式拆分化为已知式的组合，再代入计算：
$a-4b+4c-3d=a-2b-2b+c+3c-3d=a-2b-(2b-c)+3(c-d)$
$\because a-2b=1,2b-c=-1,c-d=2$
$\therefore$ 原式$=1-(-1)+3×2=1+1+6=8$
【答案】
(1) $-(x-y)^2$；(2) $1$；(3) $8$
【知识点】
整体代入思想，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题主要考查整体思想在整式运算和代数式求值中的应用，解题关键是观察已知条件和所求代数式的结构特点，通过拆项、提取公因式、添括号等变形方式，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，代入计算时要注意添去括号的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7

11.阅读材料:若$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,求$m,n$的值.
$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$.
$\therefore (m-n)^2 + (n-4)^2=0$.
$\therefore (m-n)^2=0,(n-4)^2=0$.
$\therefore n=4,m=4$.
根据你的观察,探究下面的问题.
(1)$a^2 +b^2 -4a +4=0$,则$a=$, $b=$.
(2)已知$x^2 +2y^2 -2xy -6y +9=0$,求$x^y$的值.
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$(a+b+c)^2=3(a^2 +b^2 +c^2)$,求证$△ ABC$为等边三角形.

(1)2 0
(2)$\because x^2 +2y^2 -2xy -6y +9=0,\therefore x^2 +y^2 -2xy +y^2 -6y +9=0$,
即$(x-y)^2+(y-3)^2=0$,则$x-y=0,y-3=0$,解得$x=y=3$.
$\therefore x^y=(3)^3=27.$
(3)$\because (a+b+c)^2=3(a^2 +b^2 +c^2),\therefore 2a^2 -2ab +2b^2 -2bc -2ac +2c^2=0.$
$\therefore (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0$,则$a-b=0,b-c=0,a-c=0$,解得$a=b=c$,
$\therefore △ABC$是等边三角形.

【分析】
本题考查配方法与非负数性质的结合应用，解题核心思路是利用完全平方公式的结构特征，将等式左边的多项式拆项分组，配成若干个完全平方式的和，再根据“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质，求出对应未知数的值或关系，进而解决问题。
(1) 先将含a的项配成完全平方式，剩余部分为$b^2$，即可根据非负性求a、b；
(2) 把$2y^2$拆分为两个$y^2$，分别与含x的项、常数项配成两个完全平方式，求出x、y后代入计算$x^y$；
(3) 先将等式左边完全展开，移项整理后拆项配成三个完全平方式的和，推导得到a、b、c的数量关系，即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 对等式变形：
$\because a^2 +b^2 -4a +4=0$
$\therefore (a^2-4a+4)+b^2=0$
$\therefore (a-2)^2 + b^2=0$
$\because$ 平方具有非负性，$\therefore (a-2)^2≥0, b^2≥0$
$\therefore (a-2)^2=0, b^2=0$
解得$a=2, b=0$。
(2) 对等式变形：
$\because x^2 +2y^2 -2xy -6y +9=0$
$\therefore (x^2 + y^2 -2xy)+(y^2 -6y +9)=0$
$\therefore (x-y)^2 + (y-3)^2=0$
$\because$ 平方具有非负性，$\therefore (x-y)^2≥0, (y-3)^2≥0$
$\therefore x-y=0, y-3=0$
解得$x=y=3$
$\therefore x^y=3^3=27$。
(3) 证明：
$\because (a+b+c)^2=3(a^2 +b^2 +c^2)$
将左边展开得：$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3a^2+3b^2+3c^2$
移项整理得：$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac=0$
拆项分组得：$(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0$
$\therefore (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2=0$
$\because$ 平方具有非负性，$\therefore (a-b)^2≥0, (a-c)^2≥0, (b-c)^2≥0$
$\therefore a-b=0, a-c=0, b-c=0$
解得$a=b=c$
$\therefore △ ABC$为等边三角形。
【答案】
(1) $2$；$0$
(2) $27$
(3) $△ ABC$为等边三角形，得证。
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；完全平方公式
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，解题关键是掌握完全平方公式的结构，能够对多项式合理拆项配方，结合非负数的性质推导未知量的关系，能够有效考查代数变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65