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当$a=$时，方程$\frac{ax}{a+1}-\frac{2}{x-1}=1$的解与方程$\frac{x+4}{x}=3$的解相同。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
本题是同解方程类问题，解题思路清晰可分为两步：①先求解不含参数的分式方程$\frac{x+4}{x}=3$，得到它的有效解；②因为两个方程的解相同，将求出的解代入含参数$a$的分式方程，把问题转化为解关于$a$的一元一次方程即可，解题全程要注意分式方程的分母不能为0，需检验结果的合理性。
【解析】
步骤1：求解方程$\frac{x+4}{x}=3$
两边同时乘$x$（$x≠0$）去分母，得：
$x+4=3x$
移项、合并同类项得：$2x=4$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$x≠0$，因此$x=2$是该方程的解。
步骤2：将$x=2$代入第一个方程求$a$
把$x=2$代入$\frac{ax}{a+1}-\frac{2}{x-1}=1$，得：
$\frac{2a}{a+1}-\frac{2}{2-1}=1$
化简得：$\frac{2a}{a+1}-2=1$，即$\frac{2a}{a+1}=3$
两边同时乘$(a+1)$（$a+1≠0$）去分母，得：
$2a=3(a+1)$
去括号得：$2a=3a+3$
移项、合并同类项得：$a=-3$
检验：当$a=-3$时，$a+1=-2≠0$，且$x=2$时分母$x-1=1≠0$，结果有效。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
分式方程解法、同解方程性质、一元一次方程解法
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，核心是利用同解的性质将参数求解转化为代入求值问题，解题时要牢记分式方程必须检验分母不为0，避免出现增根或无意义的错误。
【难度系数】
0.75
本题是同解方程类问题，解题思路清晰可分为两步：①先求解不含参数的分式方程$\frac{x+4}{x}=3$，得到它的有效解；②因为两个方程的解相同，将求出的解代入含参数$a$的分式方程，把问题转化为解关于$a$的一元一次方程即可，解题全程要注意分式方程的分母不能为0，需检验结果的合理性。
【解析】
步骤1：求解方程$\frac{x+4}{x}=3$
两边同时乘$x$（$x≠0$）去分母，得：
$x+4=3x$
移项、合并同类项得：$2x=4$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$x≠0$，因此$x=2$是该方程的解。
步骤2：将$x=2$代入第一个方程求$a$
把$x=2$代入$\frac{ax}{a+1}-\frac{2}{x-1}=1$，得：
$\frac{2a}{a+1}-\frac{2}{2-1}=1$
化简得：$\frac{2a}{a+1}-2=1$，即$\frac{2a}{a+1}=3$
两边同时乘$(a+1)$（$a+1≠0$）去分母，得：
$2a=3(a+1)$
去括号得：$2a=3a+3$
移项、合并同类项得：$a=-3$
检验：当$a=-3$时，$a+1=-2≠0$，且$x=2$时分母$x-1=1≠0$，结果有效。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
分式方程解法、同解方程性质、一元一次方程解法
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，核心是利用同解的性质将参数求解转化为代入求值问题，解题时要牢记分式方程必须检验分母不为0，避免出现增根或无意义的错误。
【难度系数】
0.75
1.(1)如果$\frac{1}{m-1}=1$，那么$m$的值为；
(2)分式方程$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$的解为。
(2)分式方程$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$的解为。
答案
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{x=9}$
解析
【分析】
(1) 对于分式值为1的问题，首先要明确分式有意义的前提是分母不为0，再根据分式值为1的性质列等式求解，最后验证分母是否符合要求即可。
(2) 解分式方程的核心是将分式方程转化为整式方程求解，解题步骤为：先找最简公分母去分母，转化为整式方程后求解，最后必须代入最简公分母检验，判断解是否为增根。
【解析】
(1) 已知$\frac{1}{m-1}=1$，首先分式有意义需满足$m-1≠0$，即$m≠1$。
等式两边同时乘$(m-1)$得：$1=m-1$，
移项计算得$m=2$，
验证：当$m=2$时，分母$m-1=1≠0$，符合要求，因此$m=2$。
(2) 解分式方程$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$：
① 确定最简公分母为$x(x-3)$，且分式有意义需满足$x≠0$，$x≠3$；
② 去分母：等式两边同时乘$x(x-3)$，得$2x=3(x-3)$；
③ 解整式方程：展开右边得$2x=3x-9$，移项合并同类项得$x=9$；
④ 检验：将$x=9$代入最简公分母$x(x-3)=9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{x=9}$
【知识点】
分式有意义的条件、分式方程的解法、一元一次方程的求解
【点评】
这两道题是分式与分式方程的基础题型，侧重考察基础运算能力，需注意解分式方程时务必检验，避免因忽略增根的情况出现错误。
【难度系数】
0.8
(1) 对于分式值为1的问题，首先要明确分式有意义的前提是分母不为0，再根据分式值为1的性质列等式求解，最后验证分母是否符合要求即可。
(2) 解分式方程的核心是将分式方程转化为整式方程求解，解题步骤为：先找最简公分母去分母，转化为整式方程后求解，最后必须代入最简公分母检验，判断解是否为增根。
【解析】
(1) 已知$\frac{1}{m-1}=1$，首先分式有意义需满足$m-1≠0$，即$m≠1$。
等式两边同时乘$(m-1)$得：$1=m-1$，
移项计算得$m=2$，
验证：当$m=2$时，分母$m-1=1≠0$，符合要求，因此$m=2$。
(2) 解分式方程$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$：
① 确定最简公分母为$x(x-3)$，且分式有意义需满足$x≠0$，$x≠3$；
② 去分母：等式两边同时乘$x(x-3)$，得$2x=3(x-3)$；
③ 解整式方程：展开右边得$2x=3x-9$，移项合并同类项得$x=9$；
④ 检验：将$x=9$代入最简公分母$x(x-3)=9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{x=9}$
【知识点】
分式有意义的条件、分式方程的解法、一元一次方程的求解
【点评】
这两道题是分式与分式方程的基础题型，侧重考察基础运算能力，需注意解分式方程时务必检验，避免因忽略增根的情况出现错误。
【难度系数】
0.8
2.如图，A，B，C三点在数轴上，对应的数分别是$\frac{1}{x+2}$，1，$\frac{3x}{2x+4}$，且点B到A，C的距离相等，则x=。
答案
解：由点B到A，C的距离相等，可得方程：
$1 - \frac{1}{x+2} = \frac{3x}{2x+4} - 1$
整理得：
$2 = \frac{3x}{2(x+2)} + \frac{1}{x+2}$
方程两边同乘最简公分母$2(x+2)$，得：
$4(x+2) = 3x + 2$
去括号：
$4x + 8 = 3x + 2$
移项、合并同类项：
$x = -6$
检验：当$x=-6$时，$2(x+2)=-8≠0$，故$x=-6$是原分式方程的解。
$\boldsymbol{-6}$
$1 - \frac{1}{x+2} = \frac{3x}{2x+4} - 1$
整理得：
$2 = \frac{3x}{2(x+2)} + \frac{1}{x+2}$
方程两边同乘最简公分母$2(x+2)$，得：
$4(x+2) = 3x + 2$
去括号：
$4x + 8 = 3x + 2$
移项、合并同类项：
$x = -6$
检验：当$x=-6$时，$2(x+2)=-8≠0$，故$x=-6$是原分式方程的解。
$\boldsymbol{-6}$
解析
【分析】
首先根据数轴的性质，数轴上右侧点对应的数大于左侧点对应的数，两点之间的距离等于右侧点的数值减去左侧点的数值。已知点B到A、C的距离相等，因此B到A的距离（1减去A对应的数）等于B到C的距离（C对应的数减去1），据此可列出分式方程。再按照分式方程的求解步骤：去分母转化为整式方程、求解整式方程、检验根是否使原分式分母不为0，即可得到x的取值。
【解析】
解：
∵点B到A、C的距离相等
∴$1 - \frac{1}{x+2} = \frac{3x}{2x+4} - 1$
整理得：$2 = \frac{3x}{2(x+2)} + \frac{1}{x+2}$
方程两边同时乘最简公分母$2(x+2)$，得：
$4(x+2) = 3x + 2$
去括号：$4x + 8 = 3x + 2$
移项、合并同类项得：$x = -6$
检验：当$x=-6$时，$2(x+2)=2×(-6+2)=-8≠0$，故$x=-6$是原分式方程的解。
【答案】
$-6$
【知识点】
数轴两点距离，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题结合数轴特征考查分式方程的应用，解题关键是根据距离相等的条件准确列方程，要牢记解分式方程最后必须验根，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
首先根据数轴的性质，数轴上右侧点对应的数大于左侧点对应的数，两点之间的距离等于右侧点的数值减去左侧点的数值。已知点B到A、C的距离相等，因此B到A的距离（1减去A对应的数）等于B到C的距离（C对应的数减去1），据此可列出分式方程。再按照分式方程的求解步骤：去分母转化为整式方程、求解整式方程、检验根是否使原分式分母不为0，即可得到x的取值。
【解析】
解：
∵点B到A、C的距离相等
∴$1 - \frac{1}{x+2} = \frac{3x}{2x+4} - 1$
整理得：$2 = \frac{3x}{2(x+2)} + \frac{1}{x+2}$
方程两边同时乘最简公分母$2(x+2)$，得：
$4(x+2) = 3x + 2$
去括号：$4x + 8 = 3x + 2$
移项、合并同类项得：$x = -6$
检验：当$x=-6$时，$2(x+2)=2×(-6+2)=-8≠0$，故$x=-6$是原分式方程的解。
【答案】
$-6$
【知识点】
数轴两点距离，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题结合数轴特征考查分式方程的应用，解题关键是根据距离相等的条件准确列方程，要牢记解分式方程最后必须验根，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
3.若关于$x$的分式方程$2-\dfrac{1-kx}{x-2}=\dfrac{1}{2-x}$无解，则$k$的值为。
答案
解：
方程两边同乘$(x-2)$，去分母得：
$2(x-2)-(1-kx) = -1$
整理得：
$(k+2)x = 4$
分两种情况讨论：
1. 当$k+2=0$，即$k=-2$时，整式方程变为$0· x=4$，该整式方程无解，则原分式方程无解，符合题意；
2. 当$k+2≠0$时，整式方程的解为$x=\dfrac{4}{k+2}$。
若原分式方程无解，则$x=\dfrac{4}{k+2}$是原方程的增根，原方程的增根满足$x-2=0$，即$x=2$。
将$x=2$代入$x=\dfrac{4}{k+2}$，得$2=\dfrac{4}{k+2}$，解得$k=0$。
综上，$k$的值为$\boldsymbol{0}$或$\boldsymbol{-2}$。
方程两边同乘$(x-2)$，去分母得：
$2(x-2)-(1-kx) = -1$
整理得：
$(k+2)x = 4$
分两种情况讨论：
1. 当$k+2=0$，即$k=-2$时，整式方程变为$0· x=4$，该整式方程无解，则原分式方程无解，符合题意；
2. 当$k+2≠0$时，整式方程的解为$x=\dfrac{4}{k+2}$。
若原分式方程无解，则$x=\dfrac{4}{k+2}$是原方程的增根，原方程的增根满足$x-2=0$，即$x=2$。
将$x=2$代入$x=\dfrac{4}{k+2}$，得$2=\dfrac{4}{k+2}$，解得$k=0$。
综上，$k$的值为$\boldsymbol{0}$或$\boldsymbol{-2}$。
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解包含两种情形：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但该解是使原分式方程分母为0的增根。解题时先对原分式方程去分母转化为整式方程，再分别对两种情形分类讨论，即可求出k的取值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$去分母得：
$2(x-2)-(1-kx) = -1$
展开并整理等式：
$2x - 4 -1 + kx = -1$
合并同类项得：
$(k+2)x = 4$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程本身无解时：
若$k+2=0$，即$k=-2$时，整式方程变为$0·x=4$，该等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意。
2. 当整式方程有解，但解为原分式方程的增根时：
若$k+2≠0$，则整式方程的解为$x=\dfrac{4}{k+2}$。
原分式方程的增根满足分母为0，即$x-2=0$，得增根为$x=2$。
将$x=2$代入$x=\dfrac{4}{k+2}$，得$2=\dfrac{4}{k+2}$，解得$k=0$。
综上，k的值为0或-2。
【答案】
$\boldsymbol{0}$或$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
分式方程无解判定；分式方程的增根；分类讨论思想
【点评】
本题是分式方程含参无解类的典型题型，解题的核心是明确分式方程无解的两种情况，避免只考虑增根、遗漏整式方程本身无解的情况，重点考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.4
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解包含两种情形：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但该解是使原分式方程分母为0的增根。解题时先对原分式方程去分母转化为整式方程，再分别对两种情形分类讨论，即可求出k的取值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$去分母得：
$2(x-2)-(1-kx) = -1$
展开并整理等式：
$2x - 4 -1 + kx = -1$
合并同类项得：
$(k+2)x = 4$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程本身无解时：
若$k+2=0$，即$k=-2$时，整式方程变为$0·x=4$，该等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意。
2. 当整式方程有解，但解为原分式方程的增根时：
若$k+2≠0$，则整式方程的解为$x=\dfrac{4}{k+2}$。
原分式方程的增根满足分母为0，即$x-2=0$，得增根为$x=2$。
将$x=2$代入$x=\dfrac{4}{k+2}$，得$2=\dfrac{4}{k+2}$，解得$k=0$。
综上，k的值为0或-2。
【答案】
$\boldsymbol{0}$或$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
分式方程无解判定；分式方程的增根；分类讨论思想
【点评】
本题是分式方程含参无解类的典型题型，解题的核心是明确分式方程无解的两种情况，避免只考虑增根、遗漏整式方程本身无解的情况，重点考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.4
4.若分式方程$\frac{x}{x-1} - \frac{m}{1-x} = 2$有增根，则这个增根是.
答案
$\boldsymbol{x=1}$
解析
【分析】
解题时首先要明确分式方程增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程的分母为0的根。我们可以分两步思考：第一步先找出令原分式方程所有分母为0的x的取值，得到增根的候选值；第二步验证候选值是否是去分母后整式方程的根，满足的就是该分式方程的增根。
【解析】
1. 找增根的候选值：要使原分式方程的分母为0，则$x-1=0$或$1-x=0$，解得$x=1$，即增根只可能是$x=1$。
2. 验证：将原方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$去分母，可得整式方程：$x + m = 2(x-1)$。把$x=1$代入该整式方程，左边为$1+m$，右边为$0$，整式方程有解，说明$x=1$是该分式方程的增根。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 分式方程增根的定义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程增根的基础应用，解题关键是掌握增根的两个特征，属于概念考查类基础题，理解增根的含义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确分式方程增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程的分母为0的根。我们可以分两步思考：第一步先找出令原分式方程所有分母为0的x的取值，得到增根的候选值；第二步验证候选值是否是去分母后整式方程的根，满足的就是该分式方程的增根。
【解析】
1. 找增根的候选值：要使原分式方程的分母为0，则$x-1=0$或$1-x=0$，解得$x=1$，即增根只可能是$x=1$。
2. 验证：将原方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$去分母，可得整式方程：$x + m = 2(x-1)$。把$x=1$代入该整式方程，左边为$1+m$，右边为$0$，整式方程有解，说明$x=1$是该分式方程的增根。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 分式方程增根的定义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程增根的基础应用，解题关键是掌握增根的两个特征，属于概念考查类基础题，理解增根的含义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5. 解分式方程$\frac{1}{x-1}-2=\frac{3}{1-x}$，去分母得()
A.$1-2(x-1)=-3$
B.$1-2(x-1)=3$
C.$1-2x-2=-3$
D.$1-2x-2=3$
A.$1-2(x-1)=-3$
B.$1-2(x-1)=3$
C.$1-2x-2=-3$
D.$1-2x-2=3$
答案
A
解析
【分析】
要解决分式方程去分母的问题，首先需确定最简公分母：观察方程的分母$x-1$和$1-x$，二者互为相反数，可将$1-x$转化为$-(x-1)$，因此最简公分母为$(x-1)$。去分母时要遵循两个原则：一是方程的每一项都要乘最简公分母，不能漏乘不含分母的常数项；二是注意变形过程中的符号变化。按照这个思路计算就能得到去分母后的结果。
【解析】
原分式方程为：$\frac{1}{x-1}-2=\frac{3}{1-x}$
第一步先统一分母形式，对右侧分式变形：$\frac{3}{1-x}=\frac{3}{-(x-1)}=-\frac{3}{x-1}$，原方程可改写为：
$\frac{1}{x-1}-2=-\frac{3}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$，每一项都参与乘法运算：
$\frac{1}{x-1}×(x-1) - 2×(x-1) = -\frac{3}{x-1}×(x-1)$
约分化简后可得：$1-2(x-1)=-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母；分式的符号法则；等式的性质
【点评】
本题考查分式方程去分母的基础操作，易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项、处理互为相反数的分母时符号出错，解题时需牢记每一项都要乘最简公分母，同时注意符号的变化。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程去分母的问题，首先需确定最简公分母：观察方程的分母$x-1$和$1-x$，二者互为相反数，可将$1-x$转化为$-(x-1)$，因此最简公分母为$(x-1)$。去分母时要遵循两个原则：一是方程的每一项都要乘最简公分母，不能漏乘不含分母的常数项；二是注意变形过程中的符号变化。按照这个思路计算就能得到去分母后的结果。
【解析】
原分式方程为：$\frac{1}{x-1}-2=\frac{3}{1-x}$
第一步先统一分母形式，对右侧分式变形：$\frac{3}{1-x}=\frac{3}{-(x-1)}=-\frac{3}{x-1}$，原方程可改写为：
$\frac{1}{x-1}-2=-\frac{3}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$，每一项都参与乘法运算：
$\frac{1}{x-1}×(x-1) - 2×(x-1) = -\frac{3}{x-1}×(x-1)$
约分化简后可得：$1-2(x-1)=-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母；分式的符号法则；等式的性质
【点评】
本题考查分式方程去分母的基础操作，易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项、处理互为相反数的分母时符号出错，解题时需牢记每一项都要乘最简公分母，同时注意符号的变化。
【难度系数】
0.7
6.有下列关于$x,y$的方程：$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$；$\frac{4x-5}{2}=\frac{1-x}{3}$；$\frac{y}{a}-\frac{y-1}{b}=-1$；$\frac{4}{x-1}=\frac{2}{y+3}$。其中，是分式方程的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解题前先明确两个前提：①题目说明所有方程是关于$x、y$的方程，因此只有$x、y$是未知数，其余字母均为常数参数；②分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程是分式方程。接下来我们逐个对4个方程进行判定，数出符合分式方程定义的数量即可得到答案。
【解析】
我们根据分式方程的定义逐个判断：
1. 方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$：分母为$x-1$和$x$，均含有未知数$x$，属于分式方程；
2. 方程$\frac{4x-5}{2}=\frac{1-x}{3}$：分母为2和3，都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
3. 方程$\frac{y}{a}-\frac{y-1}{b}=-1$：未知数是$y$，分母中的$a、b$是常数参数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
4. 方程$\frac{4}{x-1}=\frac{2}{y+3}$：分母为$x-1$和$y+3$，含有未知数$x、y$，属于分式方程。
综上，分式方程共有2个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是准确把握分式方程的判定标准，特别要注意区分分母中的字母是常数参数还是未知数，不要看到分母含字母就直接判定为分式方程。
【难度系数】
0.8
解题前先明确两个前提：①题目说明所有方程是关于$x、y$的方程，因此只有$x、y$是未知数，其余字母均为常数参数；②分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程是分式方程。接下来我们逐个对4个方程进行判定，数出符合分式方程定义的数量即可得到答案。
【解析】
我们根据分式方程的定义逐个判断：
1. 方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$：分母为$x-1$和$x$，均含有未知数$x$，属于分式方程；
2. 方程$\frac{4x-5}{2}=\frac{1-x}{3}$：分母为2和3，都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
3. 方程$\frac{y}{a}-\frac{y-1}{b}=-1$：未知数是$y$，分母中的$a、b$是常数参数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
4. 方程$\frac{4}{x-1}=\frac{2}{y+3}$：分母为$x-1$和$y+3$，含有未知数$x、y$，属于分式方程。
综上，分式方程共有2个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是准确把握分式方程的判定标准，特别要注意区分分母中的字母是常数参数还是未知数，不要看到分母含字母就直接判定为分式方程。
【难度系数】
0.8
7.用换元法解分式方程$\frac{x+1}{x}+\frac{6x}{x+1}=5$时，如果设$\frac{x+1}{x}=y$，将原方程化为关于$y$的整式方程，那么这个整式方程是（）
A.$y+\frac{6}{y}=5$
B.$y^2+5y+6=0$
C.$y^2-5y+6=0$
D.$y^2+6y-5=0$
A.$y+\frac{6}{y}=5$
B.$y^2+5y+6=0$
C.$y^2-5y+6=0$
D.$y^2+6y-5=0$
答案
C
解析
【分析】
本题考查用换元法将分式方程转化为整式方程，解题思路如下：首先根据换元的设定，找到原方程中另一个分式与所设$y$的关系，将原方程替换为只含$y$的分式方程，再根据等式的性质去分母，化为整式方程即可。要注意题目要求的是整式方程，不要误选未去分母的分式方程选项。
【解析】
解：已知设$\frac{x+1}{x}=y$，则$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{y}$，因此原方程中的$\frac{6x}{x+1}=\frac{6}{y}$。
将其代入原方程可得：$y+\frac{6}{y}=5$。
因为原分式方程有意义时$x≠0$且$x≠-1$，故$y≠0$，等式两边同时乘$y$去分母得：
$y^2 + 6 = 5y$
移项整理为标准整式方程形式：$y^2 -5y +6 =0$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
换元法解分式方程、去分母、等式的性质
【点评】
本题是换元法应用的基础题型，核心是发现换元代换式与剩余分式的倒数关系，再通过去分母完成分式到整式的转化，解题时需注意审题，明确题目要求的是整式方程，避免误选分式形式的选项。
【难度系数】
0.8
本题考查用换元法将分式方程转化为整式方程，解题思路如下：首先根据换元的设定，找到原方程中另一个分式与所设$y$的关系，将原方程替换为只含$y$的分式方程，再根据等式的性质去分母，化为整式方程即可。要注意题目要求的是整式方程，不要误选未去分母的分式方程选项。
【解析】
解：已知设$\frac{x+1}{x}=y$，则$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{y}$，因此原方程中的$\frac{6x}{x+1}=\frac{6}{y}$。
将其代入原方程可得：$y+\frac{6}{y}=5$。
因为原分式方程有意义时$x≠0$且$x≠-1$，故$y≠0$，等式两边同时乘$y$去分母得：
$y^2 + 6 = 5y$
移项整理为标准整式方程形式：$y^2 -5y +6 =0$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
换元法解分式方程、去分母、等式的性质
【点评】
本题是换元法应用的基础题型，核心是发现换元代换式与剩余分式的倒数关系，再通过去分母完成分式到整式的转化，解题时需注意审题，明确题目要求的是整式方程，避免误选分式形式的选项。
【难度系数】
0.8
8.按照如图所示的流程，若输出的$M=-6$，则输入的$m$为（）
A.$-3$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$
A.$-3$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$
答案
A
解析
【分析】
这是一道程序流程图求值题，解题思路是根据判断条件“2m-1≥0”分两种情况讨论：①当满足判断条件时，代入对应分式方程求解，再验证解是否符合该情况的取值范围，同时检验分式分母不为0；②当不满足判断条件时，代入对应整式方程求解，同样验证解是否符合该情况的取值范围，最终得到符合要求的m值。
【解析】
我们分两种情况讨论：
情况1：当$2m-1≥0$，即$m≥\frac{1}{2}$时，此时$M=\frac{6}{m-1}=-6$
解方程：
两边同乘$(m-1)$得：$6=-6(m-1)$
展开得：$6=-6m+6$
移项计算得：$6m=0$，即$m=0$
检验：$m=0＜\frac{1}{2}$，不满足该情况的取值范围$m≥\frac{1}{2}$，故舍去该解。
情况2：当$2m-1＜0$，即$m＜\frac{1}{2}$时，此时$M=m-3=-6$
解方程得：$m=-6+3=-3$
检验：$m=-3＜\frac{1}{2}$，符合该情况的取值范围，该解有效。
综上，输入的$m$为$-3$。
【答案】
A
【知识点】
程序框图计算，解分式方程，分类讨论
【点评】
本题需要结合程序的判断条件分情况求解，易错点是解完方程后忽略验证解是否符合对应情况的取值范围，同时求解分式方程时也要注意分母不能为0。
【难度系数】
0.7
这是一道程序流程图求值题，解题思路是根据判断条件“2m-1≥0”分两种情况讨论：①当满足判断条件时，代入对应分式方程求解，再验证解是否符合该情况的取值范围，同时检验分式分母不为0；②当不满足判断条件时，代入对应整式方程求解，同样验证解是否符合该情况的取值范围，最终得到符合要求的m值。
【解析】
我们分两种情况讨论：
情况1：当$2m-1≥0$，即$m≥\frac{1}{2}$时，此时$M=\frac{6}{m-1}=-6$
解方程：
两边同乘$(m-1)$得：$6=-6(m-1)$
展开得：$6=-6m+6$
移项计算得：$6m=0$，即$m=0$
检验：$m=0＜\frac{1}{2}$，不满足该情况的取值范围$m≥\frac{1}{2}$，故舍去该解。
情况2：当$2m-1＜0$，即$m＜\frac{1}{2}$时，此时$M=m-3=-6$
解方程得：$m=-6+3=-3$
检验：$m=-3＜\frac{1}{2}$，符合该情况的取值范围，该解有效。
综上，输入的$m$为$-3$。
【答案】
A
【知识点】
程序框图计算，解分式方程，分类讨论
【点评】
本题需要结合程序的判断条件分情况求解，易错点是解完方程后忽略验证解是否符合对应情况的取值范围，同时求解分式方程时也要注意分母不能为0。
【难度系数】
0.7
9.对于实数$a,b$,定义一种新运算“$\otimes$”：$a\otimes b=\frac{1}{a - b^2}$,这里等式右边是实数运算.例如：$1\otimes 3=\frac{1}{1 - 3^2}=-\frac{1}{8}$.则方程$x\otimes (-2)=\frac{2}{x - 4}-1$的解是()
A.$x=4$
B.$x=5$
C.$x=6$
D.$x=7$
A.$x=4$
B.$x=5$
C.$x=6$
D.$x=7$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要理解新定义运算“⊗”的运算规则，先将方程左边的$x\otimes(-2)$按照规则转化为常规分式，将原方程转化为熟悉的分式方程，再按照分式方程的求解步骤：确定分母不为0的取值范围、去分母化为整式方程、求解整式方程、检验解是否为增根，最终得到正确的解。
【解析】
根据新运算“⊗”的定义$a\otimes b=\frac{1}{a - b^2}$，可得：
$x\otimes (-2)=\frac{1}{x - (-2)^2}=\frac{1}{x - 4}$
代入原方程得：
$\frac{1}{x - 4}=\frac{2}{x - 4} - 1$
由分母不为0可知$x≠4$，方程两边同时乘以最简公分母$(x-4)$去分母得：
$1=2 - (x - 4)$
去括号得：
$1=2 - x + 4$
整理得：
$1=6 - x$
移项解得：
$x=5$
检验：将$x=5$代入$x-4=5-4=1≠0$，因此$x=5$是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的求解，核心是准确转化新运算为常规代数式，求解过程中要注意分式方程必须验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理解新定义运算“⊗”的运算规则，先将方程左边的$x\otimes(-2)$按照规则转化为常规分式，将原方程转化为熟悉的分式方程，再按照分式方程的求解步骤：确定分母不为0的取值范围、去分母化为整式方程、求解整式方程、检验解是否为增根，最终得到正确的解。
【解析】
根据新运算“⊗”的定义$a\otimes b=\frac{1}{a - b^2}$，可得：
$x\otimes (-2)=\frac{1}{x - (-2)^2}=\frac{1}{x - 4}$
代入原方程得：
$\frac{1}{x - 4}=\frac{2}{x - 4} - 1$
由分母不为0可知$x≠4$，方程两边同时乘以最简公分母$(x-4)$去分母得：
$1=2 - (x - 4)$
去括号得：
$1=2 - x + 4$
整理得：
$1=6 - x$
移项解得：
$x=5$
检验：将$x=5$代入$x-4=5-4=1≠0$，因此$x=5$是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的求解，核心是准确转化新运算为常规代数式，求解过程中要注意分式方程必须验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
